江苏2012高考数学二轮专题复习：第4讲　函数的实际应用

1、函数的实际应用1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)1. 函数f(x)exx2的零点为x0，则不小于x0的最小整数为_2.关于x的

2、方程x有负实根，则实数a的取值范围是_3.某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率为_4.某人在2009年初贷款 m万元，年利率为x，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n万元，到2012年初恰好还清，则n的值是_【例1】已知直线ymx(mR)与函数f(x)的图象恰有3个不同的公共点，求实数m的取值范围【例2】某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2014年青奥会水上运动项目将在J地举行截至2010年底，投资集团

3、B在J地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元(1) B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(

4、预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B集团投资是否成功？【例4】 已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由1. (2010·浙江)已知x0是函数f(x)2x 的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则f(x1)f(x2)_0.(填“>”或“<”)2.(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)

5、已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是_3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为_4.(2011·重庆)设m，k为整数，方程mx2kx20在区间(0,1)内有两个不同的实根，则mk的最小值为_5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两

6、端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元设该容器的建造费用为y千元(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，

7、试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大(2011·湖南)(本小题满分12分)如图，长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|×S成正比，比例系数为；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100，面积S时(1) 写出y的表达式；(2) 设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少解析：(1) 由题意知，E

8、移动时单位时间内的淋雨量为|vc|，(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知，当0<vc时，y(3c3v10)15当c<v10时，y(3v3c10)15.故y( 8分) 当0<c时，y是关于v的减函数故当v10时，ymin20. (10分) 当<c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数；故当vc时，ymin. (12分)第4讲函数的实际应用1. 下列命题正确的是_(填所有正确命题的序号) 若f(x)f(2x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称； 若f(x)f(2x)，则f(x)的图象关于直线x1对称； 若yf(

9、x1)是奇函数，则yf(x)关于点(1,0)对称； 若yf(x1)是偶函数，则yf(x)关于直线x1对称【答案】2. 已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行，且yg(x)在x1处取得最小值m1(m0)设函数f(x).(1) 若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2) k(kR)取何值时，函数yf(x)kx存在零点，并求出零点解： (1) 设g(x)ax2bxc，a0则g(x)2axb；又g(x)的图象与直线y2x平行， 2a2， a1.又g(x)在x1时取最小值， 1， b2. g(1)abc12cm1， cm. f(x)x2.设P(x0，y0)，

10、则|PQ|2x(y02)2x22x2m22m. 22m2， m1或m1.(2) 由yf(x)kx(1k)x20，得(1k)x22xm0.(*)当k1时，方程(*)有一解x，函数yf(x)kx有一零点x；当k1时，方程(*)有两解44m(1k)0.若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；若m0，k1，函数yf(x)kx有两个零点x；当k1时，方程(*)有一解44m(1k)0，k1， 函数yf(x)kx有一零点x.基础训练1. 1解析：f(0)0，f(1)0，x0(0,1)2. 解析：由1，得a5.3. (1p)1214. 解析：m(1x)3n(1x)2n(1x)n.n.例题选讲例1解：作出

11、函数f(x)的图象，可见要使直线ymx(mR)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要yx21(x0)与直线ymx(mR)有两个交点，即x21mx有两个不等的正根，x22mx20有两个不等的正根， 解得m.变式训练(2011·北京)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】(0,1)解析：f(x)(x2)单调递减且值域为(0,1，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域为(，1)，f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)例2解：设温室的长为x m，则宽为 m由已知得蔬菜的种植面积为S m2：S(x2)8004x88

12、084648(当且仅当x即x20时，取“”)答：当矩形温室的边长分别为20 m，40 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m2.变式训练某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间区域矩形的长、宽分别为x m、y m，中间的矩形区域面积为S m2.则半圆的周长为 m，因为操场周长为400 m，所以2x2×400，即2xy400. Sxy·(2x)·(y)·2，由解得当时等号成立答：设计矩形的长为100 m，宽约

13、为(63.7)m时，面积最大例3解：(1) 设B集团用于水上运动项目的投资为x百万元，四年的总利润为y百万元，由题意，y0.2(100x)100.2x30，x0,100即y0.2(2.5)231.25，0,10所以当2.5，即x6.25时，ymax31.25.答：B集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元(2) 由(1)知，在上缴资源占用费前，ymax31.25，ymin20.由题意，从2012年到2014年，B集团需上缴J地政府资源占用费共为2(11.111.12)6.62百万元所以B集团这四年的预期利润中值为6.6219.005.由于19.005%18%，

14、所以B集团投资能成功答：B集团在J地投资能成功注：若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k0)倍，如何讨论？例4解：(1) f(x)x28x(x4)216.当t14，即t3时，f(x)在t，t1上单调递增h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7；当t4t1，即3t4时，h(t)f(4)16；当t4时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)t28t.综上，h(t)(2) 函数yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 (x)x28x6lnxm， (x)2x8(x0)，当x(0,1

15、)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是减函数；当x(3，)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0. (x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315. 当x充分接近0时，(x)0，当x充分大时，(x)0. 要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7m156ln3.所以存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3)高考回顾1. 解析：f(x)在(1，)单调递增，f(x0)0，f(x1)0，f(x2)0.2. 60,16解析：由条件可知，xA时所用时间为常数，所以组装

16、第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)30c60，f(A)15A16.3. 20解析：3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，x20.4. 13解析： 设f(x)mx2kx2，则方程mx2kx20在区间(0,1)内有两个不同的根等价于因为f(0)2，所以f(1)mk20，故抛物线开口向上，于是m0,0k2m，令m1，则由k28m0，得k3，则m，所以m至少为2，但k28m0，故k至少为5，又m，所以m至少为3，又由mk252，所以m至少为4，依次类推，发现当m6，k7时，m，k首次满足所有条件，故mk的最小值为13.5. 解：(1) 因为容器的体积为立方米，所以r3r2l，解得lr，由于l2r，因此0<r2，所以建造费用y2rl×34r2c2r××34r2c，因此y8r24cr2，定义域为(0,2(2) y16r8cr，由于c>3，所以c2>0，当r3时r，令m，则m>0，所以y(rm)(r2mrm2)当0<m<2即c>时，当rm时，y0；当r(0，m)时，y<0；当r(m,2)时，y>0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点，当m2，即3<c时，当r(0,2)时，y<0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综