数值分析试卷及其答案4

1、1、 (本题 5分 取 99的 6位有效数字 94987. 9, 问以下这种算法有几位有效数字05013. 094987. 9109910=-解:令99=x , 94987. 9*=x则5*1021 (-=x x x e (2分由于( 10(*x e x e -故5*1021 ( 10(-x e x e另一方面05013. 0991-故在这里 2-=m , 由 51-=+-n m 有 4=n . (3分 即算式至少有 4位有效数字 .2、(本题 6分用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 .-=+=+-=-+3344531213332321321x x x x x x x x解:-=3344

2、747470453312334131134533123344533121311312r r r B -1649164900334045331247474703340453312 (4分故等价方程组为:=-=+=+-16491649334453312332321x x x x x x (1分同代得13-=x , 02=x , 43=x (1分3、(本题 6分已知 -=6134A ,求 1A , A, 2A .解:96314max 1=+-+=A (1分76134max =+-+=A(1分-=-=4518181761346314A A T18 45(17(451818172=-=-=-A A E

3、T即0441622=+-(3分 解得 2311+=, 2312-=, 231 (+=A A T 231 (2+=A A AT (1分4、(本题 7分给定线性方程组-=-71420328112315321x x x (1 试分别写出 Jacobi 迭代格式和 Gauss-Seidel 迭代格式;(2 分析 Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性 . 解:(1 Jacobi迭代格式为:+-=-=-+=+20/ 327( 1/( 81(15/ 234( (3 (1 1(3(3 (1 1(2(3 (2 1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (2 分Gauss

4、-Seidel 迭代格式:+-=-=-+=+20/ 327( 1/( 81(15/ 234( 1(3 1(1 1(3(3 1(1 1(2(3 (2 1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (2分(2Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵 G 的特征方程为02032823=-0 48418300(2=+-解得127. 0600483004 418(418126. 1600483004 418(418023221-=>-+=则 1 (2>=G故 Gauss-Seidel 迭代格式发散 . (3分 5、(本题 8分用下列方法求 013 (3=-=

5、x x x f 在 20=x 附近的根,根的准 确值 87938524. 1*=x ,要求计算结果准确到四位有效数字 . (1用牛顿法;(2用弦截法,取 20=x , 9. 11=x 解:(1 33 (2-='x x f 牛顿法的迭代公式为=-+=-=+2 1(3123313023231x x x x x x x x k k k k k k k计算得888889. 11=x , 879452. 12=x3*21021-<-xx故 879. 1*=x (4分 (2弦截法的迭代公式为=-+=-=-+-+9. 1, 21(31( ( (102212111x x x x x x x x

6、f x f x x x f x x k a k k k k k k k k k k k 计算得881094. 12=x 879411. 12=x 3*21021-<-xx故 879. 1*=x (4分 6、(本题 8分给定数据如下 (1 写出 (x f 的 3次 Lagrange 插值多项式 (3x L (2 写出 (x f 的 3次 Newton 插值多项式 (3x N 解:(1由题设条件有00=x1 (0=x f21=x 3 (1-=x f 32=x 4 (2-=x f53=x2 (3=x f由于 n 次 Lagrange 插值多项式的基函数为.(.( .(.(1101110n k

7、k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x l -=+-+-故三次 Lagrange 插值多项式的基函数为5(3(2(301 50(30(20( 5(3(2( ( (3020103210-=-=-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l5(3(61 52(32(02( 5(3(0( ( (3121013201-=-=-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l5(2(61 53(23(03( 5(2(0( ( (3212023102-=-=-=x x x

8、 x x x x x x x x x x x x x x x x l3(2(301 35(25(05( 3(2(0( ( (2313032103-=-=-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l (3分故所求三次 Lagrange 插值多项式3(2(151 5(2(32 5(3(21 5(3(2(3013(2(30125(2( 61( 4( 5(3(63( 5(3(2(301(1 ( ( ( ( ( ( ( ( (332211003-+-+-=-+-+-+-=+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

9、x x l x f x l x f x l x f x l x f x L (1分(2由题中所给数据,构造下列差商表 (3分 由于(, , , (, , (, ( (21032101021001003x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N -+-+-+=故所求三次 Newton 插值多项式3(2(51 2(31213(2(0(51 2(0(31 0(21 (3-+-+-=-+-+-=x x x x x x x x x x x x x N (1分7、(本题 8分设 xa x f -=1 (,且 n x x x a ,., ,

10、 , 10互不相同,证明=-=kj jk xa x x x f 010(1,., , n k , . . . , 1, 0=并写出 (x f 的 n 次 Newton 插值多项式 . 证:用数学归纳法来证明 当 1=k 时(1(111( (, 01011001010110110x a x a x a x a x a x a x x x x x a x a x x x f x f x x f -=-+-=-=-=即当 1=k 时公式成立 . (2分假设当 n m k <=时等式成立 即=-=mi im xa x x x f 010(1,., , +=+-=1110(1,., , m i i

11、 m x a x x x f那么当 1+=m k 时+=+=+=+=+-=-=-=-=1101001010011012101110(1( ( (1 (1 (11,., , ,., , 1 ,., , (m i im i i m m mi i m i i m m m m m xa x a x a x a x x x a x a x x x x x f x x x f x x x x x f即公式对 1+=m k 亦成立有归纳法原则知原等式对任意 n k 均成立 (4分 我们以 n x x x ,., , 10为插值节点来求 n 次 Newton 插值多项式 因为.(,., , . (, , (,

12、 ( (110101021001003-+-+-+=n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N故所求插值多项式为(1(103x xa x N k nk ki i-=-=其中.( (101k k x x x x x x x -=- (4分8、 (本题 5分求满足条件 的艾尔米特差值多项式 .解:令 10=x , 21=x ,代入艾尔米特差值多项式121112101102000201003 ( ( (1(21 ( ( (1 (21 (y x l x x y x l x x x x y x l x x y x l x x x x

13、 x H '-+-+'-+-= (2分这里 1010 (x x x x x l -=, 0101 (x x x x x l -=,得5982 (233+-+-=x x x x H(3分9、(本题 6分求函数 x y arctan =在 0, 1上的一次最佳平方逼近多项式 . 解:设 1 (0=x , x x = (1, , 10span =,所求函数为x a a x *1*0*1 (+=,则214arctan , (2ln 214arctan , (31 , (21 , (11 , (11101211110100-=-=dx x x y dx x y dx x dx x dx(

14、3分由正规方程组-=+-=+21431212ln 21421*1*0*1*a a a a (1分 解得042909. 022ln 23*0-=a791831. 02ln 3623*1+-=ax x 791831. 0042909. 0 (*1+= (2分 10、 (本题 9分 运用梯形公式、 辛普森公式、 柯特斯公式分别计算积分 dx e x 10,并估计各种方法的误差(要求小数点后至少保留 5位 . 解:运用梯形公式:8591409. 121101=+e e dx e x(2分其误差2265235. 012101(1213=-=e e f R (1分运用辛普森公式:7188612. 1461

15、12101=+e e e dx e x(2分其误差00094385. 0288028801=-=e ef R (1分运用柯特斯公式:718282688. 17321232790114321411=+e e e e e dx e x(2分其误差000001404. 0494524945 (266=-=e a b a b f R (1分11、 (本题 6分已知 (x f 的函数值如下: 用复合梯形公式和复合辛普森公式求 dx x f 6. 28. 1 (的近似值 .解:用复合梯形公式,小区间数 4=n ,步长2. 0 8. 16. 2(41=-=h则99. 40. 10 0. 80. 64. 4(

16、21. 322. 04=+=T (3分复合辛普森公式,小区间数 2=n ,步长4. 0 8. 16. 2(21=-=h则98. 40. 10 0. 84. 4(40. 621. 364. 02=+=S (3分12、 (本题 8分用 3, 2=n 高斯 -勒让德公式计算积分 dx x ex31sin .解:由于高斯求积公式为=-nk k kx f Adx x f 011( (其中 k x 是 (1x P n +的零点 首先将积分区间转化为 1, 1-令 2+=t x 则 3, 1x 时 1, 1-t (1分 而dt t edx x e I t x-+=112312sin(sin (2分令 2si

17、n( (2+=+t e t g t2=n 时7745967. 01-=t 02=t 7745967. 03=t 5555556. 01=A 8888889. 02=A 5555556. 03=A (2分3=n 时8611363. 01-=t 3399810. 02-=t 3399810. 03=t 8611363. 04=t 3478548. 01=A 6521452. 02=A 6521452. 03=A 3478548. 04=A(2分I A1 g (t1 + A2 g (t 2 + A3 g (t 3 + A4 g (t 4 = 10.95014051 （1 分） y' = x

18、+ y 13、 （本题 6 分） 用改进欧拉法求解 (0 x 1 ，h = 0.2 ， 取两位小数。 y ( 0 = 1 1 y n+1 = y n + (k1 + k 2 2 改进欧拉法格式为 k1 = hf ( x n , y n k = hf ( x + h, y + k n n 1 2 解 n = 0,1,2, L （2 分） 其中 f ( x, y = x + y, y 0 = 1, h = 0.2, n = 0,1,2,3,4 代入上式得： n xn yn 1 0.2 1.24 2 0.4 1.58 3 0.6 2.04 4 0.8 2.64 5 1.0 3.42 （4 分） 14

19、、 （本题 6 分）写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公 式： y' = x + y 1 ,0 < x <1 y ( 0 = 1 3y y' = 2 1+ x ,0 < x <1 y ( 0 = 1 解：令 h = 0.2 k1 = k 2 = 1 k 3 = k 4 = f ( xn , y n = xn + y n h h h h f ( x n + , y n + k1 = x n + + y n + k1 = 1.1( x n + y n + 0.1 2 2 2 2 h h h h f ( x n + , y n + k 2 = x n + + y n + k 2 = 1.11( x n + y n + 0.11 2 2 2 2 f ( x n + h, y n + hk 3 = x n + h + y n + hk 3 = 1.222( x n + y n + 0.222 h (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 = 0.2214 x n + 1.2214 y n + 0.0214 6 y n +1 = y n + （3 分） k1 = 3 y n (1 + x n k = 3( y + 0.1k (1 + x + 0.1 n 1 n 2 2