必修五第一章1.1.2 余弦定理_第1页
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文档简介

1、 sin A· cos Bcos A· sin B sin A· cos Bcos A· sin B a2c2b2 b2c2a2 a· b· 2ac 2bc 2 2 2 2 a c b b c2a2 a· 2ac b· 2bc a2c2b2(b2c2a2) 2c a2b2 2 2 2 c2 左边， a c b b2c2a2 2c 结论成立 余弦定理的证明 教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用另外， 还可以用解析法、三角法证明余弦定理 法一 以 A 为原点，以ABC 的边 A

2、B 所在直线为 x 轴，以过 A 与 AB 垂直的直线为 y 轴，建立直 角坐标系，如图(1所示，则 A(0,0，C(bcos A，bsin A，B(c,0，由两点间的距离公式得 BC2(bcos A c2(bsin A02， a2b2cos2Ac22bccos Ab2sin2A， a2b2c22bccos A， 同理可证 b2a2c22accos B， c2a2b22abcos C. (1 法二 (2 (3 当ABC 为锐角三角形时，如图(2所示，过 C 作 CDAB 于 D，则 CDbsin A，BDAB ADcbcos A， 在 RtBCD 中，由勾股定理得 BC2CD2BD2， 即 a2b2sin2A(cbcos A2， 整理得 a2b2c22bccos A. 同理可证 b2c2a22accos B， c2a2b22abcos C. 当ABC 为钝角三角形时， 如图(3所示，过 C 作 CDAB，交 AB 的延长线于点 D，则 CDbsin A， BDbcos Ac， 在 RtBCD 中，BC2CD2BD2， a2b2sin2A(bcos Ac2，即 a2b2c22bccos A. 同理可证 b2a2c22accos B， c

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