教学课题§ 2第二型曲面积分

1、教学课题：§ 2第二型曲面积分教学目的：了解曲面的侧；掌握第二型曲面积分的概念、性质与计算方法教学重点：第二型曲面积分的概念、性质与计算公式教学过程：22.2.1曲面的侧我们考察一个闭的或非闭的光滑曲面.若是非闭的,则它的边缘是由逐段光滑的闭曲线构成.在曲面上任取一固定点,过作的方向n, n有两个方向，认定其一。设动点从出发沿完全落在曲面上的任意一条闭曲线运动再回到点，若是非闭的，还规定不越过的边缘。由于闭曲线上每一点都有一法向量，并设此法向量的方向是从点处指定的法向量方向连续变动而得到的，见图6.1 。当点回到点时，所得到法方向与点处的指定的法向量方向相同，则称曲面是双侧的，若曲面

2、上存在一条闭曲线，当动点回到时，法方向与点处指定的法方向相反，则称该曲面是单侧的。如球面、旋转抛物面、马鞍面等实际生活中经常碰到的曲面大多是双侧的。当然单侧曲面也是有的。所谓的牟彼乌斯（Mobius，1790-1868，德国数学家）带就是一个单侧曲面。牟彼乌斯带是将长方形纸条的一端扭转，再与另一端粘合起来形成的单侧曲面，如图（6.2）所示。今后我们讨论问题是，如无特殊说明，曲面都是双侧的。设曲面是双侧曲面，在上选定一点处的法向量方向，随之其它点的法向量是由定点处的法向量连续变动而得到，这样也就是选定了曲面的一侧。若改变定点处的法向量方向，则在其它点处的法方向也随之一起改变，这样就确定了曲面的另

3、一侧。因而要确定曲面的一侧只须在上确定一点处的法向量方向即可。今后我们把规定了侧的曲面，称为有向曲面。上面是从几何方面来说明曲面侧的概念，如果从分析观点出发可有如下结论。设曲面的方程为                 ：且、在连续。此时，曲面上每一点处都有切平面。从而曲面的法向量          其方向余弦为，   

4、                ，                                  

5、0;          （6.1）由假设知,方向余弦是坐标的连续函数,从而上的发方向是随点而连续变化的.如在根式前选定一个符号,就等于在上全部点都确定了法方向,从而确定了曲面的一侧.例如取“”，则，即法方向与轴正方向之间的夹角为锐角，自然把这样的曲面的一侧称为上侧，反之称为曲面的下侧，此时法方向与轴正方向之间的夹角为钝角。类似也可规定曲面的前、后侧和左、右侧。若曲面是一个闭曲面，则通常分为外侧和内侧，即向着所围立体的一侧为内侧，而另一侧则为外侧。22.2.2 第二型曲面积分的概念我们首先用流体流过一空间曲

6、面的流量来引出第二型曲面积分的概念。设在三维空间中体有流体稳定（与时间无关）流动，已知流体的流速是点的向量函数              其中分量、在上连续。于是构成了一个流速场。又设是中的一个曲面。下面计算在单位时间内从曲面的一侧流向另一侧的流体总量，简称为流量  。将曲面分割n个小曲面              &

7、#160;         ，将此分法记为 ，设的面积是,，n 。   ，以近似代替上的每一点处的流速，则流体速度场单位时间内通过小曲面的流量近似等于以为底、向量为母线的斜柱体的体积，而这个体积又等同于等高的直柱体的体积，见图6.3  。于是                    

8、;     其中表示点处的单位法向量，则   于是流速场在单位时间内通过曲面的流量=其中 。 ，  。   如果记的方向余弦为 、 、；称 、为小曲面在平面、平面、平面上的有向投影，分别记做，即           于是=+          =+从而 

9、60; 如果我们抽去上式的物理意义,这个极限就是向量函数在有向曲面上的底二型曲面积分。一般的定义如下：定义22.2.1   设向量函数在光滑或逐片光滑的曲面上有定义。选定的一侧为正，将分割成n个小曲面                              ，记为分法，用表示的面积。 ，

10、是过点处的单位法向量。作和式         =                     （6.2）令,若当时,和式（6.2）的极限的存在与的分法及的选取无关,则称向量函数沿曲面的正侧的第二型曲面积分存在,并且称这个极限值为向量函数沿曲面的正侧的第二型曲面积分。记做     =&

11、#160;             （6.3） 如果定义曲面面积微元向量                  这里是在点的单位法向量,是面积微元,那么第二型曲面积分又可写做=          

12、0;     （6.4）这里第二型曲面积分是以向量形式定义的。在直角坐标系下,也可以把定义用坐标形式给出,即= =   =                 （6.5）这里、分别是面积微元向量在平面、平面、平面上的有向投影。   上式右端就是第二型曲面积分的坐标形式，因此第二型曲面积分也称对坐标的曲面积分。在式（6.5）中的三个和式当时，极限分别存在，依次记之

13、为             （6.6）分别称为函数、关于坐标的曲面积分。因此式（6.4）是（6.6）的三个积分的结合,当然式（6.6）的三个积分也可以单独出现。由定义6.1可知，前面所述流速场由曲面的负侧流向的正侧的流量是流速向量函数沿曲面的正侧的第二型曲面积分，即由定义22.2.1可直接推导出第二型曲面积分有如下性质：    性质6.1   若，则       &#

14、160; =性质6.2  若表示与相同但侧相反的曲面，则性质6.3  若，且无内点，则                        性质6.4  若、在上连续，则向量函数沿着的第二型曲面积分存在，且以上性质的证明从略，读者可参照线积分的平行内容自行完成。22.2.3第二型曲面积分的计算定理22.2  设曲面的方程为 

15、       的光滑曲面,向量函数的三个分量函数在上连续,则  =                                      

16、0;                                 (6.7)公式(6.6)中,若,则=          =     &

17、#160;             (6.8)同理,若曲面的方程为    且，则= =        (6.9)   若曲面的方程为：                且，则=    

18、;      =           (6.10)      例22.2.1 计算 ,其中曲面是球面的,取球面的外侧为正侧,见图6.5 .    解 曲面在平面的上、下两部分的方程分别为              

19、60;        其中，且，取上侧，取下侧，从而    =    =     =  =     =             例22.2.2计算,其中曲面是旋转抛物面与所围成的闭曲面，取外侧，见图6.6 .解  由，其中为旋转抛物面：，取下侧。为平

20、面：，取上侧，且、在平面上的投影区域于是=              =例22.2.3 计算，其中同例6.2  。解  此时可把曲面分为前、后两部分，即             其中为在平面上的投影区域          

21、;      于是=                =                =  此时平面垂直于平面，于是           因

22、此         故  =例22.2.4 计算,其中是棱长为的立方体的外表面。解  用，分别表示这个立方体的前、后；左、右；上、下表面，见图6.7。因为、上的法向量与轴垂直，从而  且、在平面上的投影区域于是   =同理可得=及 =  =  =  =所以=例22.2.5计算，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的夹角为锐角。解 设、分别表示在平面、平面上的投影区域，则    = =其中=所以

23、0;   =。 例22.2.6计算       其中是由曲面及两平面、所围成立体表面的外侧，见图6.8  。解  设、依次为的上、下底和圆柱面部分，则= 0记、在平面上的投影区域为，则=在上，有    记在平面上的投影区域为，则= =所以    例22.2.7计算    其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。解  设在平面、平面上的投影区域分别为和 。由于  

24、;         而   =  =   = = 因此         例22.2.8计算  ，其中表示锥体的外表面，见图6.9  。 解   因为在的上底的法向量与轴和轴垂直，与轴同向，从而有 记在平面上的投影区域为，有=在侧面上，其方程为      

25、60;   又               于是根据公式（6.7）,有  =从而原积分。22.2.4 第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系 如在本节第二段所述，知第二型曲面积分        （6.11）即                               =                (6.12)式（6.11）或式（6.12）揭示了两类曲面积分之间的关系。等式的左端表示向量函数沿曲面的第二型曲面积分，右端表示数值函数在曲面上的第一型曲面积