数值分析模拟试题答案3

1、数值分析模拟试题3解答一、 填空题(每空3分，共15分)1. n , 2n+1 . 2. (-1)n(n+1)!3. f1,2,3,4,5=24. 解Lx=b,其中LRnn,为下三角阵,xRn,bRn二、 简单计算题(每小题6分，共18分)1.解:令x=(-2,T,=-3,y=(3,0)T,u=x-y=(-5,T2uuT-2/33H1=I-T=uu2/33I从而所求变换阵为H=110T0010=0-2/33 H12/30332T12. 解：AA=，,AA的特征值为=7,=2,cond(A)=1222621002-113. 解：A=LU=210010 1-11002三（.12分）解法1：由A对称

2、正定可定义两向量的A内积为(x,y)A=(x,y)=(x,Ay)2,进而引入向量的A范数:xA=x=111于是有v1=u1=(1,1,-1)T,1=v1v1=(,-)T222111v2=u2-(u2,A1)1=(2,1,0)T-2(,-)T=(1,0,1)T 2222=v2v2=-Tv3=u3-(u3,A1)1-(u3,A2)21111T=(0,1,1)T-(,-)T-2222 3=(-1,1,1)T43=v3111Tv3=(-,) 2221,2,3即为所求向量组。三（.12分）解法2：v1=u1=(1,1,-1)T,v2=u2+v1,其中=-(u2,Av1)4=-=-1(v1,Av1)4 故

3、v2=(2,1,0)T-(1,1,-1)T=(1,0,1)Tv3=u3+1v1+2v2,其中1=-(u3,Av1)(u,Av2)11=-,2=-3=-,(v1,Av1)4(v2,Av2)2113故v3=(0,1,1)T-(1,1,-1)T-(1,0,1)T=(-1,1,1)T424v1,v2,v3即为所求向量组。四、（12分）解:设所求的Hermite插值多项式为H(x)=h1(x)+2h2(x)令h1(x)=x2(x-2)2,由h1(1)=1,h1(x)=x2(x-2)2令h2(x)=x2(x-1)(ax+b),'h2(x)=(3x2-2x)(ax+b)+ax2(x-1),1a=-h

4、2(2)=4(2a+b)=1,2由'解得h2(2)=8(2a+b)+4a=0,b=5415h2(x)=x2(x-1)(-x+)24于是得到15H(x)=h1(x)+2h2(x)=x2(x-2)2+2x2(x-1)(-x+)2431=x2-x322截断误差为f(5)()2R(x)=f(x)-H(x)=x(x-1)(x-2)25!五.(12分)解:(k+1)(k)(k)(k)x=1+(1-4x1-x2+2x3)14(k+1)(k+1)(k)(k)(1)SOR分量迭代格式为：=2+(2-x1-3x2-x3)x23(k+1)(k+1)(k+1)(k)x=3+(3+2x1-x2-4x3)24(2

5、)当=2时,SOR迭代法发散。(3)当=1时,此时SOR迭代法为Gauss-Seidel迭代法，由于A是严格对角占优的所以SOR迭代法收敛。六、（12分）解：11/10=0+1/211=+4-4-111 8=0.66924七（12分）解：设所求曲线为s(x)=a1(x)+b2(x)， 其中 1(x)=x+1,2(x)=(x+1)21122222.81=,2=2,Y=, 333.62444.8则法方程为(1,1)(1,2)a(Y,1)(,)(,)=(Y,)2122b2即30100a37.6100354b=122.6解之得a1.69414b=-0.13226于是所求曲线为 s(x)=1.69414(x+1)-0.13226(x+1)2。证明：G非奇异0(x),1(x),.,n(x)线性无关 八、（7分）反证：假设0(x),1(x),.,n(x)线性相关，存在不全为零的cj(j=0,1, ,n)使cjj(x)=0j