【2019-2020】高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系章末复习课

1、1 / 23 【2019- 2020】人教 A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末复习课 1. 四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平 面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2. 直线与直线的位置关系 3. 平行的判定与性质 (1) 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 a - - a - 甲一 X / |Z7 条件 aAa= ? a? a, b? a

2、, a / b a / a a / a, a ? aCl 3= b 点鶯直线备平面之间的位置关系 2 / 23 结论 a/a b / a a n a= ? a / b (2) 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 / B % / 条件 an 3= ? a ? 3, b? 3, an b= P, a/ a, b / a a / 3, an Y= a, 3n Y= b a / 3, a? 3 结论 a / 3 a/ 3 a / b a / a (3) 空间中的平行关系的内在联系 4. 垂直的判定与性质 (1) 直线与平面垂直的判定与性质 如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这

3、两个平面 互相垂直 图形 条件 结论 判定 d a 丄 b , b? ab 为a内的任意直线) a 丄a a 丄 m , a 丄 n , m、n? a, mn n = O a 丄a 才r I l a / b , a 丄 a b 丄a 性质 Z a 丄 a , b? a a 丄 b 厂t I f a 丄a , b 丄a a / b 图形语言 符号语言 (2)平面与平面垂直的判定与性质定理 文字语言 判定定理 3 / 23 5. 空间角 （1） 异面直线所成的角 定义：设 a, b 是两条异面直线，经过空间任一点 0 作直线 a/ a, b/ b,把 a与 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a,

4、 b所成的角（或夹角）. 范围：设两异面直线所成角为 B ,则 0 B W 90 . （2） 直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与 这个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面 所成的角分别为 90。和 0. （3） 二面角的有关概念 二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角. 类型一 几何中共点、共线、共面问题 例 1 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E,

5、F 分别为 AB, AD 的中 点，G, H 分别在 BC CD 上，且 BG： GC= DH： HC= 1 : 2. 求证：（1）E、F、G H 四点共面； (2) GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 4 / 23 证明 (1) v BG： GC= DH： HC GH/ BD 又 EF/ BD EF/ GH E、F、G H 四点共面. v G H 不是 BC CD 的中点，二 EFM GH. 又 EF/ GH 二 EG 与 FH 不平行， 则必相交，设交点为 M. HG?面 ACD? MW ABC 且 MW ACD HF?面 ACD ? M 在面 ABC 与面 ACD 的交线上， 又面

6、 AB面 ACD-AC? M AC. GE 与 HF 的交点在直线 AC 上. 反思与感悟 (1)证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面， 再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平 面，再证明这些平面重合. 证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即 先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平 面的公共点，当然必在两个平面的交线上. (3) 证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直 线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题. 跟踪训练 1 如图，0 是正方

7、体 ABCD- A1B1C1D1 上底面 ABCD 的中 心，M 是正方体对角线 AC1 和截面 A1BD 的交点.求证：O M A1 三 点共线 5 / 23 证明 T0 AC AC?平面 ACC1A1 0 平面 ACC1A1. v M AC1 AC?平面 ACC1A1 M 平面 ACC1A1. 又已知 A1平面 ACC1A1 即有 O M A1 三点都在平面 ACC1A 上，又 O M A1 三点都在平面 A1BD 上，所以 O M A1 三点都在平面 ACC1A1 与平面 A1BD 的交线 上， 所以 O、M、A1 三点共线 类型二 平行、垂直关系 例 2 如图，在直三棱柱 ABC- A

8、1B1C1 中，A1B1= A1C1, D, E 分别 是棱BC CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 ADLDE F 为 B1C1 的中 点 八、 求证：（1）平面 ADEL 平面 BCC1B1 直线 A1F/平面 ADE. 证明（1）因为 ABC- A1B1C1 是直三棱柱， 所以 CCL平面 ABC. 又 AD?平面 ABC 所以 CCLAD. 又因为 ADLDE， CC1，DE? 平面 BCC1B1 ccm DE=E, 所以 ADL 平面 BCC1B1 又 AD?平面 ADE 所以平面 ADEL 平面 BCC1B1. 因为 A1B1= A1C1, F 为 B1C1 的中点， 所以

9、 A1F 丄 B1C1. 因为CC1L平面 A1B1C1 且 A1F? 平面 A1B1C1， 6 / 23 所以 CC1LA1F. 又因为 CC1，B1C1? 平面 BCC1B，1 oom BIC仁 ci, 所以 A1F 丄平面 BCC1B1. 由(1)知 ADL 平面 BCC1B1 所以 A1F/AD. 又 AD?平面 ADE A1F?平面 ADE 所以 A1F/平面 ADE. 引申探究 如图所示，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AC= 3 , BC= 4 , AB= 5, AA1= 4，点 D 是 AB 的中点. (1) 求证：ACL BC1 (2) 求证：AC1/平面 CDB1.

10、 证明 (1)在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，底面三边长 AC= 3 , BC= 4 , AB= 5 ,所以 ACL BC. 又因为 cicLAC CionCB= C, 所以 ACL 平面 BCC1B1. 因为 BC1? 平面 BCC1B1 所以 ACLBC1. 设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连接 DE 四边形 BCC1B 伪正方形. 因为 D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， 所以 DE/ AC1. 因为 DE? 平面 CDB1， AC?平面 CDB1 所以 AC”/平面 CDB1. 7 / 23 反思与感悟 (1) 判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚

11、点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法 是必要的，判定线面平行的两种方法： 利用线面平行的判定定理 利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一 直线平行于另一平面 (2) 判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理 面面平行的传递性(a/B, BY ? aY ). 利用线面垂直的性质(I 丄a, I 丄B ? a / B ). (3) 判定线面垂直的方法 线面垂直定义 (一般不易验证任意性 ) 线面垂直的判定定理(a b , a c , b? a , c? a , bAc = M? a 丄 a ). 平行线垂直平面的传递性质(a / b, b 丄a ? a a ). 面面垂

12、直的性质(a丄B, aAp= I , a? B, aXl ? a 丄a ). 面面平行的性质(a 丄a , a / B ? a 丄B ). 面面垂直的性质(a A B = I , a丄Y, B丄丫 ? I 丄丫). 跟踪训练 2 如图，AB 是圆 0 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O上的点. (1) 求证：BCX平面 PAC 设 Q 为 PA 的中点，GAOC 勺重心，求证：QG/平面 PBC. 证明(1)由 AB 是圆 0 的直径，得 ACL BQ 由 P平面 ABC, BC? 平面 ABC得 PAL BC. 又 PAH AC= A, PA?平面 PAC AC?平面 PAC

13、 8 / 23 所以 BCL 平面 PAC. 连接 0G 并延长交 AC 于点 M 连接 QM Q0 由 GAOC 的重心，得 M 为 AC 的中点. 由 Q 为 PA 的中点，得 QM PC 又 O 为 AB 的中点，得 OM BC. 因为 QMn MO= M QM 平面 QMO MC?平面 QMO BCH PC= C, BC?平 面 PBC PC? 平面 PBC 所以平面 QMO 平面 PBC. 因为 Q(?平面 QMO 所以 QG/平面 PBC. 类型三 空间角的求解 例 3 如图所示，四棱锥 P- ABCD 勺底面 ABCD 是平行四边形，BA= BD= , AD= 2, PA=PD=

14、 , E, F 分别是棱 AD PC 的中点. (1) 证明：EF/平面 PAB 若二面角 P- AD- B 为 60. 证明：平面 PBCL 平面 ABCD 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值. (1) 证明 如图所示，取 PB 的中点 M 连接 MF AM. 因为 F 为 PC 的中点，所以 MF/ BC 且 MF= BC. 由已知有 BC/ AD BC= AD, 又由于 E 为 AD 的中点， 因而 MF/ AE 且 MF= AE, 故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF/ AM. 又 AMP 平面 PAB 而 EF?平面 PAB 所以 EF/平面 PAB. (2) 证明

15、 连接 PE，BE. 因为 PA= PD BA= BD 而 E 为 AD 的中点， 9 / 23 所以 PEI AD BE! AD 所以/ PEB 为二面角 P- AD- B 的平面角. 在厶 PAD 中 ,由 PA= PD= , AD= 2,可解得 PE= 2. 在厶 ABD 中，由 BA= BD=, AD= 2,可解得 BE= 1. 在厶 PEB 中，PE= 2, BE= 1,Z PEB= 60 ,故可得/ PBE= 90 ，即 BE! PB. 又 BC/ AD BE! AD 从而 BE! BC 又 B8 PB= B , 因此 BE!平面 PBC. 又 BEP 平面 ABCD 所以平面 P

16、BCL 平面 ABCD. 解 连接 BF,由知，BE!平面 PBC 所以/ EFB 为直线 EF 与平 面 PBC所成的角.由 PB=及已知，得/ ABP 为直角，而 MB= PB=, 可得 AM=,故EF=.又 BE= 1,故在 Rt EBF 中， sin / EFB=.所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为. 反思与感悟 (1) 求异面直线所成的角常用平移转化法 ( 转化为相交 直线的夹角 ). (2) 求直线与平面所成的角常用射影转化法 ( 即作垂线、找射影 ) . (3) 二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面 法. 跟踪训练 3 如图，正方体的棱长为 1 , B

17、 CH BC = O,求： (1) AO 与A C 所成角的大小； (2) AO 与平面 ABCD 所成角的正切值； 平面 AOB 与平面 AOC 所成角的大小. 解(1) v A C/ AC 二 AO 与A C 所成的角就是/ OAC. v AB 丄平面 BC , OC?平面 BC , OCLAB 又 OCL BO ABA B8 B, 10 / 23 OCL 平面 ABO. 又 OA?平面 ABO 二 OCL OA. 在 Rt AOC 中, OC=, AC=, sin / OAC= = , / OAC= 30 即 AO 与 A C 所成角为 30. 如图，作 OEL BC 于 E,连接 AE

18、. v平面 BC 丄平面 ABCD OEL 平面 ABC, / OAE 为 OA 与平面 ABC所成的角. 在 Rt OAE 中，OE=, AE=f(1,2)2) =, tan Z OAE=. 即 AO 与平面 ABCD 所成角的正切值为. (3) v OCL OA， OCL OB， OAA OB= O， OCL 平面 AOB. 又v OC?平面 AOC 平面 AOBL 平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成角为 90 1 .若 l1 ，l2 ，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( ) A. 11 丄 12,12 丄 13 ? 11 / 13 B. 11 丄 12

19、,12 / 13 ? 11 丄 13 C. l1 / l2 / l3 ? l1 ，l2 ，l3 共面 D. 11 ，12，13 共点 ? 11 ，12 ，13 共面 答案 B 11 / 23 解析 当 11 丄 12 , 12 丄 13 时，11 也可能与 13 相交或异面，故 A 错；11 丄 12 , 12 / 13 ? 11 丄 13 , B 正确；当 11 / 12 / 13 时，11 , 12 ，13 未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错； 11 ，12 ，13 共点 时， 11 ，12 ，13 未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱， 故 D 错. 2. 设有不同的直线 m

20、 n 和不同的平面a、B ,下列四个命题中， 正确的是 ( ) A. 若 mil a , n / a ,贝卩 mn B. 若 a , n? a , m/ B , n / B ,贝卩 a / B C. 若a丄B, m? a,贝卩ml B D. 若 a 丄 B, ml B , m?a,贝 y ma 答案 D 解析 选项 A 中当 m/ a , n/ a 时, m 与 n 可以平行、相交、异 面；选项 B 中满足条件的 a 与 B 可以平行,也可以相交；选项 C 中，当a l B , m? a时，m 与B可以垂直，也可以平行等.故选 项 A、B、C 均不正确. 3. _ 在正方体 ABCD- A1B

21、1C1D 仲，E 为 DD1 的中点，贝卩 BD1 与平面 ACE 的关系是 . 答案 BD1/平面 ACE 解析 如图，连接 BD 交 AC 于点 Q 连接 EO. 在厶 BDD1 中，E0 綊 BD1, BD1?平面 AEC EO 平面 AEC BD1/平面 ACE. 4. 空间四边形 ABCD 中，平面 ABDL 平面 BCD / BAD= 90 ,/ BCD =90 ,且 AB= AD 则 AC 与平面 BCD 所成的角是 _ . 答案 45 解析 如图所示，取 BD 的中点 O,连接 AO CO. 因为 AB= AD 所以 ACL BD 又平面 ABDL 平面 BCD 所以 ACL平

22、面 BCD. 12 / 23 因此，/ ACC 即为 AC 与平面 BCD 所成的角. 由于/ BAD= 90 =/ BCD 所以 AC= OC= BD 又 ACLCC 所以/ ACC=45. 5. 如图，在棱锥 P ABC 中，D, E , F 分别为棱 PC, AC AB 的中 点.已知 PAL AC PA= 6 BC= 8 DF= 5. 求证：（1）直线 PA/平面 DEF 平面 BDEL 平面 ABC. 证明（1）因为 D, E 分别为棱 PC AC 的中点，所以 DE/ PA. 又因为 PA?平面 DEF DE?平面 DEF 所以直线 PA/平面 DEF. 因为 D, E , F 分

23、别为棱 PC AC AB 的中点，PA= 6 , BC= 8,所 以 DE/ PA DE= PA= 3 EF= BC= 4. 又因为 DF=5 故 DF2=DE2EF2 所以/ DEF= 90 即 DELEF. 又 PAL AC DE/ PA 所以 DEL AC. 因为 ACT EF= E, AC?平面 ABC EF?平面 ABC 所以 DE!平面 ABC. 又 DE?平面 BDE 所以平面 BDEL 平面 ABC. 一、 平行关系 1平行问题的转化关系 2直线与平面平行的主要判定方法 (1) 定义法； (2) 判定定理； (3) 面与面平行的性质 3平面与平面平行的主要判定方法 (1) 定义

24、法； (2) 判定定理； (3) 推论； a 丄 a, a 丄 B ? a II B . 13 / 23 二、 垂直关系 1空间中垂直关系的相互转化 2判定线面垂直的常用方法 (1) 利用线面垂直的判定定理 (2) 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂 直” (3) 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂 直” (4) 利用面面垂直的性质 3判定线线垂直的方法 (1) 平面几何中证明线线垂直的方法 (2) 线面垂直的性质： a! a， b? a ? a! b. (3) 线面垂直的性质： a! a， bI a ? a! b. 4判断面面垂直的方法 (1) 利用

25、定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角 (2) 判定定理： a? a ， a! B ? a! B . 三、空间角的求法 1找异面直线所成角的三种方法 (1) 利用图中已有的平行线平移 (2) 利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移 (3) 补形平移 2线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射 影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常是解由斜线 段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形 课时作业 一、选择题 1下列说法正确的是 ( ) A. 经过空间内的三个点有且只有一个平面 14 / 23 B. 如果直线 I 上有一个点不在平面 a内，那么直线上所有

26、点都不 在平面a内 C. 四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形 D. 用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台 答案 C 解析 在 A 中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面， 故 A 错误；在 B 中，如果直线 I 上有一个点不在平面 a内，那么直 线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面 a内，故 B 错 误；在 C 中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那 么它的四个侧面都是直角三角形，故 C 正确；在 D 中，用一个平行 于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱 台，故 D 错误.故选C. 2 .设a l p是二面角，直线 a 在平

27、面a内，直线 b 在平面B 内，且 a、b 与 l 均不垂直，则 ( ) A. a 与 b 可能垂直也可能平行 B. a 与 b 可能垂直，但不可能平行 C. a 与 b 不可能垂直，但可能平行 D. a 与 b 不可能垂直，也不可能平行 答案 A 解析 Ta I P是二面角， 直线 a 在平面a内， 直线 b 在平面 p 内， 且 a、b 与 l 均不垂直， 当 a/l，且 b/l时，由平行公理得 a/ b,即 a, b 可能平行，故 B与 D 不正确；当 a, b 垂直时，若二面角是直二面角，则 all与已 知矛盾,若二面角不是直二面角,则 a, b 可以垂直,且满足条件, 故 C 不正确

28、；a与 b 有可能垂直，也有可能平行，故选 A. 3.在空间中, a, b 是不重合的15 / 23 直线, a , p 是不重合的平面,则 下列条件中可推出 a/b的是( ) A. a? a, b? p ,a /p B. a/ a , b? p C. al a, bl a D. al a , b? a 答案 C 解析 对于 A,若 a? a , b? p , a/p，贝y a 与 b 没有公共点， 即 a 与 b 平行或异面；对于 B,若 a/a, b? a,则 a 与 b 没有公 共点，即 a 与 b 平行或异面；对于 C,若 a 丄a, bl a，由线面垂 直的性质定理，可得 a/ b;

29、对于 D,若 ala, b? a,则由线面垂 直的定义可得 alb,故选 C. 4 .已知直线 I ?平面a，直线 m?平面a，下面四个结论：若 I 丄a,贝y I丄m若 I /a,贝y I / m若 I 丄 m,贝y I 丄a；若 l / m 则 I /a,其中正确的是( ) A. B . C . D . 答案 D 解析 由直线 I ?平面a，直线 m?平面a，知 在中，若 I 丄a ,则由线面垂直的性质定理得 I 丄 m 故正确； 在中，若 I / a ,则 I 与 m 平行或异面，故错误；在中，若 I 丄 m 则 I 与a不一定垂直，故错误；在中，若 I / m 则由线 面平行的判定定理

30、得| / a ,故正确.故选 D. 5. 在正方体 ABCD- A1B1C1D 仲，E, F, G 分别是 A1B1, B1C1 BB1 的中点，给出下列四个推断： FG/平面 AA1D1DEF/平面 BC1D1FG/平面 BC1D1平面 EFG/平面 BC1D1. 其中推断正确的序号是 ( ) A. B. C. D. 16 / 23 答案 A 解析 在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，E, F, G 分别是 A1B1, B1C1 BB1 的中点，二 FG/ BC1 v BC1/ AD1 二 FG/ AD1 v FG?平面 AA1D1D AD1?平面 AA1D1D 二 FG/平面 AA

31、1D1D 故正 确； v EF/ A1C1 A1C1 与平面 BC1D1 相交，二 EF 与平面 BC1D1 相交，故 错误； v E, F , G 分别是 A1B1, B1C1, BB1 的中点， FG/ BC1 v FG?平面 BC1D1 BC1?平面 BC1D 1 二 FG/平面 BC1D1 故正确； V EF 与平面 BC1D1 相交，平面 EFG 与平面 BC1D1 相交，故错 误故选 A. 6. 如图，四边形 ABCD 是圆柱的轴截面，E 是底面圆周上异于 A B 的一点，则下面结论中错误的是 ( ) A. AE! CE B. BE! DE C. DEL 平面 CED D.平面 A

32、DEL 平面 BCE 答案 C 解析 由 AB 是底面圆的直径，则/ AEB= 90 即 AE! EB. V四边形 ABCD圆柱的轴截面， ADL 底面 AEB BCL底面 AEB. BE!AD ADH AE= A, 因此 BE!平面 ADE. 同理可得：AE!CE 平面 BCEL 平面 ADE. 可得 A， B，D 正确. 而 DEL 平面 CED 不正确. 17 / 23 故选 C. 7. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，/ DAB= 60 侧面 PAD 为正三角形，且平面 PADL 平面 ABCD 则下列说法错误的 是( ) A. 在棱 AD 上存在点 M 使

33、ADL 平面 PMB B. 异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90 C. 二面角 P BC A 的大小为 45 D. BDL 平面 PAC 答案 D 解析 对于 A,取 AD 的中点 M 连 PM BM T侧面 PAD 为正三角 形， PMLAD 又底面 ABCD 是/ DAB= 60 的菱形， ABD 是等边三角形， ADL BM ADL 平面 PBM 故 A 正确. 对于 B,T ADL平面 PBM ADL PB即异面直线 AD与 PB所成的角 为 90 ,故 B 正确. 对于 C, 平面 PB平面 ABC 圧 BC BC/ AD BCL平面 PBM BCL PB BCL BM, /

34、PBM 是二面角 P- BC- A 的平面角， 设 AB= 1,贝卩 BM= , PM=, 在 Rt PBM 中 , tan / PBMk= 1, 即/ PBIM= 45,故二面角 P- BC- A 的大小为 45,故 C 正确.错 误的是 D,故选 D. 二、填空题 8. _ 个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木 块锯开，使截面平行于棱 VB 和 AC 若木块的棱长为 a ,则截面面积 为18 / 23 _ . 答案乎 解析 在平面 VAC 内作直线 PD/ AC 交 VC 于 D,在平面 VBA 内作直 线 PF/ VB 交 AB 于 F,过点 D 作直线 D

35、E/ VB 交 BC 于 E,连接 EF. v PF/ DE P, D, E , F 四点共面，且面 PDEF 与 VB 和 AC 都平行，则四边形 PDEF为边长为 a 的正方形， 故其面积为 . 9. 如图所示，在直三棱柱 ABbA1B1C1 中，底面是/ ABC 为直角的 等腰直角三角形，AC= 2a, BB1= 3a, D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF= _ 时，CF!平面 B1DF. 答案 a 或 2a 解析由已知得 B1DL 平面 AC1, 又 CF?平面 AC1,二 B1DL CF, 故若 CF!平面 B1DF 则必有 CF! DF. 设 AF= x

36、(0 v x v 3a),贝 S CF2= x2 + 4a2 , DF2= a2+ (3a - x)2 , 又 CD2= a2+ 9a2= 10a2, 10a2= x2 + 4a2 + a2 + (3a -x)2 , 解得 x = a 或 2a.故答案为 a 或 2a. 10. 如图，在正方体 ABC A1B1C1D 中，有下面结论： AC/平面 CB1D1 AC!平面 CB1D1 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值是； 19 / 23 AD1 与 BD 为异面直线.其中正确的结论的序号是 _ . 答案 解析 因为 A8 平面 CB1D 牡 C,所以 AC/平面 CB1D 唯昔误，所以

37、错误. 连接 BC1, A1C1, 则 AC1!B1D1, AC1!B1C, 因为 B1D 们B1C= B1,所以 AC!平面 CB1D1 所以正确.因为 AC1 在底面 ABCD的射影为 AG 所以/ C1AC 是 AC1 与底面 ABCD 所成的 角，所以 tan / C1AC= =，所以正确. 由异面直线的定义可知，AD1 与 BD 为异面直线，所以正确.故 答案为. 三、解答题 11一个空间几何的三视图及部分数据如图 (1) 所示，直观图如图 (2) 所示 图 (1) 图(2) (1) 求它的体积； (2) 证明：A1CL平面 AB1C1 若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上取

38、中点 E,判断 DE 是否平行于 平面AB1C1 并证明你的结论. (1) 解 四边形 BCC1B1 是矩形，BB1= CC 仁，BC= 1,且 AA1C1C 是 边长为的正方形，垂直于底面 BB1C1C， 所以该几何体的体积为 V=x1xx=. (2) 证明 因为/ ACB= 90 ，所以 BCLAC 又因为三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，所以 BCLCC1 又因为ACT CC 仁 C,所以 BCL平面 ACC1A1 所以 BCL A1C； 又因为B1C1/ BQ 所以B1CLA1C 又因为四边形ACC1A伪正方形，所以 A1CLAC1 又 B1C 们 AC 仁 C1 ,所以 A1CL平面 AB1C1. (3) 解 当 E 为棱 AB 的中点时，DE/平面 AB1C1 证明：如图所示 20 / 23 取 BB1 的中点 F ,连接 EF、FD DE. 因为 D、 E、 F 分别是棱 CC1 AB和BB1的中点， 所以 EF/ AB1 又 AB1?平面 AB1C1 EF?平面 AB1C1 所以 EF/平面 AB1C1. 又 FD/ B1C1 所以 FD/ 平面 AB1C1 又 EFA FD= F,所以平面 DEF