【2019】高考数学四海八荒易错集专题17排列组合二项式定理理

1、1 / 16教学资料参考参考范本【20 佃最新】高考数学四海八荒易错集专题仃排列组合二项式定理理_ 年_月_日_部n1.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播 4 个广告，其 中 2 个不同2 / 16的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放 的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放 方式有（ ）A. 8 种 B. 16 种 C. 18 种 D. 24 种答案 A解析 可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A 种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有 A 种；第三步，余下的两 个排公益宣传广告有 A 种.根据分步乘法计数原理，可得不同的播 放方式共有A

2、AA8（种）.故选 A.2.为配合足球国家战略，教育部特派6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教 练不去甲校的分配方案种数为（）A. 60B. 120C. 240D. 360答案 D解析 6 名相关专业技术人员到三所足校，每所学较至少一人，可能的分组情况为 4 丄 1321, 2,22（1） 对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教纟亲自己去一个学校有种，其余 5 名分咸一人组和四人 组有共GA3C1=2O （种） 王教练分配到四人组且该组不去甲校有 QCJAi=40 斟） ， 则第一种 情况共有 20+40=60）（2）对于第二种情况，王教练分

3、配到一人组有 CK3A 虻=斗 0 係中），王教练分配 到三人组有 CQC 凶=120时），王教练分配到两人组有 GQC4 朗二 8 曲祝 所汰第二种情况共有 40+ 80+120=240（?.对于第三种情况，共有 GGGGN 呛虹 综上所述，共有 00 + 240 + 60=360）分配方案.3.设(1 2x)7 = aO+ a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7.则代数式 al + 2a2 + 3a3 + 4a4+ 5a5 + 6a6 + 7a7 的值为（ ）A. 14B. 7C. 7D. 143 / 16答案 A解析对已知等式的两边求导

4、，得14（1 2x）6 = al + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 + 5a5x4 + 6a6x5 + 7a7x6,令 x= 1,有 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 + 6a6 + 7a7= 14. 故选 A.4.某天连续有 7 节课，其中语文、英语、物理、化学、生物 5 科 各 1 节，数学 2 节.在排课时，要求生物课不排第 1 节，数学课要 相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为（）A. 408B. 480C. 552D. 816答案 A解析 数学在第仆 2）节，从除英语的 4 门课中选 1 门安排在第 3 节，剩下的任意排，故有话中）, 数学在

5、第（劭节从除英语，生物外的 3 门课中选 1 门安排在第 1 节从除英语外剩下的 3 门课中再选 1 门安排在第 4节，剩下的任意排，故有申，数学在（3,4）,代 5）,乞时情况一样，当英语 在第 1 节时，其他任意排，故有 A124（种当英语不在第 i 节，从除英语，生挪卜的 3 门课中选一门 安排在第 1 节，再从除英语的剩下的 3门中选 2 门放在数学课前 I 节和后 1 节，剩下的任青排：有 C A?=36）,故有 3X（24+36）=180 ）,数学在第7）节，当英语在第一节时，其他任意排，故有圉= 24（种），当英语不在第 1 节，从除英语，生物外的 3 门课中选一门安排在第 1

6、节，再从除英语的剩下的 3 门中选 1 门放在第 5 节，剩下的任意排有QAi二讯斛），故有 24+ 54=7 町轨 根据分类加法计 数原理，共有 96+54+180+78=408（4）.故选儿5.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A. 24B. 48C. 60D. 724 / 16答案 D解析 由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是 1,3,5 ;分为两 步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数有 C,再将剩下的 4 个 数字排列得到 A,则满足条件的五位数有 C- A= 72（个）.选 D.6.如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红

7、会合，再一起 到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选 择的最短路径条数为（）A. 24 B . 18 C . 12 D . 9答案 B解析 从 E 到 F 的最短路径有 6 条，从 F 到 G 的最短路径有 3 条,所以从 E 到 G 的最短路径为 6X3= 18（条），故选 B.7.（2x + ）5 的展开式中，x3 的系数是_ （用数字填写答案）答案 10解析（2x + ）5 展开式的通项公式 k 0,1,234,5,Tk+=C5（2X）J（J/ =C：25m5 / 164 5_453令 5 = 3,解得 k=4,得二 x3 的系数是 10.T5二C52x 10 x

8、 ,4.在()n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_.答案 112解析 2n = 256, n= 8,取 k= 2,常数项为 C( 2)2 =112.& (1 + 2x)10 的展开式中系数最大的项是 _ .答案 15360 x7解析 设第k+1 项的系数最大，由通项公式 7. -| = |；2依题意知也项的系数不小于加页及 Z项的系数，即所臥亍冬泾亍，即疋=7.故最大的项为兀=620=15360 x19.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为_ .答案 2

9、60解析如图所示,E通项C8X3-2)kX= C；(-2)k8_4k解得2 11-Jt沐13=2 10-16 / 16tz 将 4 个小方格依次编号为 123,4.如果使用 2 种颜色，则只能是第I, 4 个小方格涂一种，第 2,3 个小方格涂一种，方法种数是C220;如果使用 3 种颜色，若第 1,2,3 个小方格不同色，第 4 个小方格只 能和第 1 个小方格相同，方法种数是 C 心 60,若第 1,2,3 个小方格 只用 2 种颜色，则第 4 个方格只能用第 3 种颜色，方法种数是CX3X2= 60;如果使用 4 种颜色，方法种数是 C 心 120.根据分类 加法计数原理，知总的涂法种数

10、是20+ 60+ 60 + 120= 260.10.(a + x)(1 + x)4 的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为32,则 a=_ .答案 3解析 设(a + x)(1 + x)4 = a0+ a1x + a2x2 + a3x3 + a4x 4 + a5x5,令 x= 1,得 16(a + 1) = a0+a1 + a2+a3+a4+ a5,令 x= 1,得 0= a0 a1+ a2 a3 + a4 a5.1，得 16(a +1) = 2(a1 +a3+ a5),即展开式中 x 的奇数次幕的系数之和为 a1 + a3 + a5= 8(a + 1)，所以 8(a + 1) = 32,解

11、得 a = 3.II.已知等式 x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4= (x + 1)4 + b1(x + 1)3 +b2(x + 1)2 + b3(x + 1) + b4,定义映射 f : (a1 , a2, a3, a4)-(b1 , b2, b3, b4)，则 f(4,3,2,1)=_.答案(0， 3,4 , 1)解析 因为屮+2 诫+妙工+2/+谢=+ I) 14+ (X+ 1)- I3+1)- 12+ (X4- 1)- 1+ 14,所以 X4321)=(r+1)- l*+4(x+ 1)-lp +3(x+1)- 1= + 2(%+ 1)-1+b 所di = Cl(-l

12、)+4C5=O,biCt(-1)1+ 4Cj(-1)+3C?= - 3.囱=斗，加=一 17 / 16故填(0, -3,4, 1).易错起源 1、两个计数原理例 1、（1）如图所示，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形A, B, C,D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A. 72 种B. 48 种C. 24 种D. 12 种如果一个三位正整数“ a1a2a3”满足 a1a2 且 a3a2,则称这样 的三位数为凸数（如 120,343,275），那么所有凸数的个数为（）A. 240B. 204C. 729D. 920答案（1）A（2）A解析（切安要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类

13、一是 4 种颜色都用这时/有 4 种涂法，B有 3 种涂却C 有 2 种涂法,D 有 1 种涂法，共有 4X3X2X1=2 耳砂）涂法：二是用 3 种颜鱼，迩寸厶B, C的涂法有 4X3X2=24 时），D只要不与 0 同色即可，故。有 2 种涂去，故不同的渝去共有 24+24X2 =72 的.（2 彷 8 类肖中间数为 2 时，有 以 2=2（个”当中间数为 3 时，有 2X3= 6（个）;当中间数为 4 时，有 3X4= 12（个）；当中间数为 5 时，有 4X5= 20（个）;当中间数为 6 时，有 5X6= 30（个）；当中间数为 7 时，有 6X7= 42（个）；当中间数为 8 时，

14、有 7X8= 56（个）；8 / 16当中间数为 9 时，有 8X9= 72（个）.故共有 2+6+12 + 20+30 + 42 + 56 + 72 = 240（个）.【变式探究】（1）将 1,2,3，9 这九个数字填在如图所示的 9 个 空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有（D. 24 种（2）在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者， 三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次 传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有 _ 中.（用数字作答）答案（1）A（2）10解析（1）分为三个步骤：12349

15、第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法.第二步,数字 5 可以放在左下角或右上甬两个位墨,故数字 5 有 2 种方法.第三步，数字 6 如果和数字 5 相邻,则 7:8 有 1 种方法；数学 6 如果不和数字 5 相邻,则 7.8 有 2 种方 法,故数字邛共有 3 种方法.根据分步乘法计数原理，有 IX2X3=6）填写空格的方法.B. 12 种C. 18 种9 / 160 并艮据题意，画出树状图.10 / 16所以共有 10 种不同的传递方法.【名师点睛】(1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类 再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理.对于复杂的两

16、个原理综合使用的问题， 可恰当列出示意图或表 格， 使问题形象化、直观化.【锦囊妙计，战胜自我】分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则 要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘.易错起源 2、排列与组合例 2、(1)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，贝恫类节目不相邻的排法种数是()A. 72B. 120C. 144D. 168(2) 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4乙丙ml11 / 16张，从中任取 3

17、张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡 片至多 1 张，则不同的取法共有()A. 232 种B. 252 种C. 472 种D. 484 种答案（1）B（2）C解折（1 洗安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排 J 吕节目和相声节目的顺序有三种: 心卜品小品 2,相声第“小品 1相声，小品严和髓相声，小品 1,小品严.对于第一种情况 形式为“口小品 1 訛瘻 1 惟 2相声,有 AiQ 屈=36（种底排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“口 4 吕 1 相声小品 2 口,有 A3 扣=48 时庚排方法，故共有 36+

18、3 的 4 片钢 1）安排方迭.（2 进题意知任取 3 张卡片，共有 0 种取法其中取出的 3 张卡片泉同一种颜邑：有 4G 种取法另 夕卜只取出两张红色卡片有 6C 站中取法,故所求的取法共有 Cii-4Ci-CKh= 560-16-72=472）【变式探究】（1）在某真人秀活动中，村长给 6 位“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务.已知：食物投掷地点有远、近两处；2由于 Grace 年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有（）A. 40 种B. 7

19、0 种C. 80 种D. 100 种（2）2 名男生和 5 名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为（）A. 480B. 72012 / 16C. 960D. 1440答案（1）A（2）C解析(1)Grace 不参与该项任务，有 CCC= 30(种)方案，Grace 参与该项任务，有 CC= 10(种)方案，故共有 30+ 10= 40(种)不同的 搜寻方案.故选A.(2)把 2 名男生看成 1 个元素，和 5 名女生共 6 个元素进行全排列, 又 2 名男生的顺序可调整，故共有 AA 种方法，其中男生在两端的 情形共 2AA 种，故总的方法种数为 AA- 2AA= 9

20、60.故选 C.【名师点睛】求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘.具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1) 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2) 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3) 先不考虑附加条件， 计算出排列或组合数， 再减去不符合要求 的排列或组合数.解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行，确 保“不漏”“不重”.【锦囊妙计，战胜自我】名称排列组合相同点都是从n个不同兀素中取m(mn)个元素，元素无重复13 / 16不同点1排列与顺序有关；2两个排列相同，当且仅

21、当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同1组合与顺序无关；2两个组合相同，当且仅当这 两个组合的元素完全相同14 / 16易错起源 3、二项式定理所以(2x + )6 的展开式的通项6 4kTk+=Ck26“x可 令 6- = 2,得 k= 3,所以 x2 的系数为 C23= 160.8 的通项 Tk+ 1 = C(x2)8 kk=(1)kCx16 3k，当 16 3k = 7 时，k= 3,则 x7 的系数为(一 1)3C= 56.【变式探究】(1)( )10 的展开式中系数为正数的有理项有()A. 1 项B. 2 项C. 3 项D. 4 项设 A= 37 + C35+ C33+ C3, B=

22、 C36+ C34+ C32+ 1,贝卩 A B=8的展开式中x7 的系数为.(用数字作答)答案(1)D(2)56解析n =(1)因为n：3sin x|2严3一(一3) =6,C. 120D. 160例3、(1)设nn二2n3cos xdx.则二项式2飞)的展开式中的系数为(A. 80B. 9015 / 16答案(1)B(2)128解析 (眾-丄严展幵式的通项为 阿二円(-丄 fDC 衣3(其中且0W 豆 10),所以匸邛,8 时的项为有理项，且 B 跖时的项的系数为正数，故満足条件的有 2 项，故 选 B(2“ 一丘=3 丁一 C*3 + C?35- C 秒+歹 一 C 浮 + S3 -1=

23、(3 -即二，二 128,【名师点睛】(1) 在应用通项公式时，要注意以下几点：1它表示二项展开式的任意项，只要n 与 k 确定，该项就随之确定；2Tk+ 1 是展开式中的第 k + 1 项，而不是第 k 项；3公式中，a, b 的指数和为 n,且 a, b 不能随便颠倒位置；4对二项式(a b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题.(2) 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处 理组合数问题、系数问题的经典方法.【锦囊妙计，战胜自我】(a +b)n = Can+ Can- 1b+ Can kbk + Cbn,其中各项的系数就是组合数 C(k = 0,1 ,，n)叫做二项式系

24、数；展开式中共有 n+ 1 项，其中第 k+ 1 项 Tk+ 1 = Can-kbk(其中 0wkn, k N, n N*)称为二项展开式的通项公式.1.从 8 名女生和 4 名男生中， 抽取 3名学生参加某档电视节目， 如果按性别比例分层抽样，贝 S 不同的抽取方法数为()A. 224B. 11216 / 16C. 56D. 28答案 B解析 根据分层抽样，从 8 名女生中抽取 2 人，从 4 名男生中抽 取 1 人，所以抽取2 名女生 1 名男生的方法数为 C8 112.2.5 人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有（）A. 12 种B. 24 种C. 48 种D. 60 种答案

25、C解析 可先排甲、乙两人，有 A= 2（种）排法，再把甲、乙两人与 其他三人进行全排列，有 A= 24（种）排法，由分步乘法计数原理，得一 共有 2X24= 48（种）排法，故选 C.3. 设 i 为虚数单位，则（x + i）6 的展开式中含 x4 的项为（）A. 15x4B. 15x4C. 20ix4D. 20ix4答案 A解析由题可知，含 x4 的项为 Cx4i2 = 15x4.故选 A.4.在二项式（x2 ）n 的展开式中，所有二项式系数的和是 32,则 展开式中各项系数的和为（）A. 32B. 32C. 0D. 117 / 16答案 C解析依题意得所有二项式系数的和为 2=32,解得丹=5.因此，令1,贝赅二项展幵式中的各项系数的和等于-护=6 故选 C.5. 已知(1 + x) + (1 + x)2 + (1 + x)3 + (1 + x)n = aO+ a1x+a2x2 + anxn,且 a0+a1 + a2+ an= 126,那么()n 的展开式 中的常数项为()A. 15B. 15C. 20D. 20答案 D解析令 x= 1 得a0+a1+a2+an=2+22+2n=2X=2n+12=126? 2n+1=128? 2n+1=27? n=6,又 Tk+ 1 = C()6 k( )k = C( 1)kx3 k,所以由 3 k= 0 得常数项为C=