【高考调研】2019届高考数学(理)二轮专题复习作业：22立体几何2

1、立体几何专练（二）作业（二十二）1. (2019 南昌模拟)如图， 四棱锥 S ABCD 中， SD 丄底面 ABCD , AB/ DC , AD 丄 DC, AB = AD = 1, DC = SD= 2, E 为棱 SB 上的 一点，且 SE= 2EB.(1) 证明：DE 丄平面 SBC;（2）求二面角 A DE C 的大小.解析 分别以 DA , DC, DS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）,连接 DB,0, 2).又 BC 二(1,1, 0), BS= (- 1,- 1, 2), DE BC = 0, DE BS = 0, DE 丄 BC , DE 丄 B

2、S.又 BCnBS= B,ADE 丄平面 SBC.由(1)知，DE 丄平面 SBC, EC?平面 SBC,ADE 丄 EC.22222 224由 SE= 2EB，知 E(3，3, 3), DE = (3, 3, 3), EC= (-3, 3,取 DE 中点 F,连接 AF ,贝 U 故 FA DE = 0,由此得 FA 丄 DE,则 A(1 , 0, 0),B(1 , 1, 0),2), DB 二(1, 1, 0), DS= (0,(1)vSE=2EB, DE = 3DB + 3DS=|X(1, 1,10) + 3X(0,0,2)=(f,23,向量A 与 EC 的夹角等于二面角 A DE C

3、的平面角.1).二面角 A DE C 的大小为 120 .2.(2019 湖南演练)如图，在四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA 丄底面 ABCD ,AD / BC,ZABC = 90, PA=AB = BC = 2, AD = 1, M 是棱 PB 的中点.(1) 求证：AM /平面 PCD;(2) 设点 N 是线段 CD 上一动点，当直线 MN 与平面 PAB 所成的角最大时，求 DN的长.解析(1)证明：以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，贝 UA(0 , 0,FA EC又 cos FA, EC|FA|EC|12, AM 二(0, 1, 1), PD= (1, 0, 2), CD

4、 二(1, 2,0).设平面 PCD 的法向量是 n = (x, y, z),PD n = 0, 则_CD n =0,即*x 2z= 0,i x 2y=0)，1).B(0，2, 0)，C(2, 2, 0)，D(1，0, 0)，P(0, 0, 2)，M(0，1, 1)，令 z_ 1,则 x_2, y_ 1,于是 n_(2, 1, 1). AM n= 0,AAM 丄 n,AAM /平面 PCD.解：点 N 是线段 CD 上的一点，DN_ADCTDN _ /DC _入(1 2, 0), AN = AD + DN = (1, 0, 0)+ 入(1 2, 0) = (1 + 入,2 入，0),MN =

5、AN AM = (1+ 入，2 入，0) (0, 1, 1)= (1 +A,2 入一 1,又平面 PAB 的一个法向量为 m_ (1, 0, 0),设 MN 与平面 PAB 所成的角为0,则 sinB=1+入，2X 1,1(1,0,)(1+ A2+(2A1)2+1|c解析(1)TAB = AC,且 0 是 BC 的中点， A0 丄 BC，即卩 A0 丄 0B A0 丄 0C.又tOBG0C= 0,二 A0 丄平面 B 0C.(2)当 B 0 丄平面 A0C 时，三棱锥 B - A0C 的体积最大,过 0 点作 0H 丄 B C 于点 H，连接 AH ,由(1)知, A0 丄平面 B 0C,又

6、B C?平面 B 0C,AB C 丄 A0. A0n0H = 0,二 B C 丄平面 A0H，二 B C 丄 AH , / AH0 即为二面角 A B C-0 的平面角,在 Rt A0H 中，A0 = 2, 0H1+入1+入132当;_3时，即 5_3+ 3 入，入_1 2时，sinB最大，即B最大.1 + 入 5，35故 DN _ 3；22+ 12_竽.3. (2019 衡中调研)如图， 在 ABC 中， 0 是 BC 的中点， AB _ AC ,A0 _20C_2,将厶 BA0 沿 A0 折起，使 B 点与图中的 B 点重合.(1)求证：A0 丄平面 B 0C;(2)当三棱锥 B- A0C

7、 的体积取最大值时，求二面角 A- B C-0 的余弦值；(3) 在(2)的条件下，试问在线段 B A 上是否存在一点 P,使 CP 与平面 B 0A 所成角的正弦值为证明你的结论.AH3.22 ，cos/ AH00H _ 1AH _ 3,煮煮-20 +10- -c(3) 存在，且为线段 AB 的中点.以 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，C(0, 1,A(2，0，0)，B (0, 0, 1).设 AP = 2AB = （ 2 入，0,入），CP= CA + AP= （2 2 入，1,入）,又平面 B OA 的一个法向量为 n = （0, 1, 0）,|CPn|2122=7?2=-

8、? 20X1 2 32 入 + 11 = 0,-35X 8X+5 3|CP|n|1 11 解得=2（= 101 舍去）.4.(2019 山西四校联考)某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯料, 工人将如图所示的长方体 ABCD EFGH 材料切割成三棱锥 H ACF.1 若点 M , N , K 分别是棱 HA , HC, HF 的中点，点 G 是 NK 上的任意一点，求 证：MG /平面 ACF;2 已知原长方体材料中，AB = 2 m, AD = 3 m, DH = 1 m，根据艺术品加工需要， 工程师必须求出该三棱锥的高.甲工程师先求出 AH 所在直线与平面 ACF 所成的角 9

9、,再根据公式 h=0） ，AH-si nB求出三棱锥 H ACF 的高，请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高.乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序 时乙工程师应输入的 t 的值是多少？(请直接写出 t 的值，不要求写出演算或推理过 程).解析本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初 步等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与 转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识.(1) 证法一：THM = MA，HN = NC，HK = KF， MK / AF，MN / AC. MK?平面 ACF，AF?平面

10、ACF， MK /平面 ACF.同理可证 NM /平面 ACF. MN，MK?平面 MNK，且 MKAMN = M，平面 MNK /平面 ACF.又 MG?平面 MNK，故 MG /平面 ACF.证法二：连 HG 并延长交 FC 于 T，连接 AT. HN = NC，HK = KF， KN / FCHG = GT.又 HM = MA，二 MG / AT.TMG?平面 ACF，AT?平面 ACF， MG / 平面 ACF.(2) 如图，分别以 DA，DC，DH 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系O xyz.则有 A（3，0，0），C（0，2，0），F（3, 2，1），H（0，

11、0，1）. AC = （ 3，2，0），AF = （0，2，1），AH = （ 3，0，1）.(1)vBD=(2 3,0,0),AA1=(0,1,. 3).则 A(0, 1, 0), B( ,3, 0, 0), C(0,1, 0), D( . 3, 0, 0), A1(0, 0,3).设平面 ACF 的一个法向量 n = (x, y, z).n AC = 一 3x+ 2y= 0,n AF = 2y + z = 0,令 y= 3,则 n = (2, 3, 6),三棱锥 H ACF 的高为 AH-sin0=葺卫 . 10=号. t= 2.5. (2019 河北五校联考)如图，棱柱 ABCD A1B

12、1C1D1的所 有棱长都为 2, / ABC = 60,平面 AA1C1C 丄平面 ABCD , / A1AC= 60 .(1)证明：BD 丄 AA1；(2) 求锐二面角 D AA1 C 的平面角的余弦值；(3) 在直线 CC1上是否存在点 P,使得 BP/平面 DA1C1,若存在，求出 P 的位置.解析 连接 BD交 AC于点 O,则 BD丄 AC ,连接 AQ 在厶 AA1O 中，AA1= 2, AO = 1,ZA1AO = 60A1O2= AA12+ AO2 2AA1 AO cos60= 3.2 2 2AO + A1O = AA1. A1O 丄 AO.平面 AA1C1C 丄平面 ABCD

13、. A1O 丄底面 ABCD.分别以 OB, OC, OA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,sin0 =AH n12 =7 10= 35 ,则有 2解得 i 国，z= 2y. AAiBD=OX(-2 3)+1X0+3X0=0, BD 丄 AAi.TOB 丄平面 AAiCiC,平面 AAiCiC 的一个法向量 ni= (1, 0, 0).设平面 AAiD 的一个法向量为 n2=(X2, y2, Z2),n2丄 AAin2丄 AD ,y2+Q3z2= 0,厂则 厂取 n2= (i, 73, i).7 3x2+ y2= 0,cos ni, n2ni n yJ5|ni

14、|n2| 5锐二面角 D AiA C 的平面角的余弦值是55 .(3)假设在直线 CCi上存在点 P,使得 BP/平面 DAiCi,设 CP= /CCi, P(x, y, z). 则(x,y i, z)=入(0 i,.3),得 P(0 , i+ 入.3 入),BP= ( . 3 , i+.3 入).设平面 DAiCi的一个法向量为 n3= (X3, y3, Z3),n3丄 A,则n3丄 DAi,2y3=0,LA/5X3+VZ3= 0 ,不妨取 n3= (i , 0 ,i).TBP/平面 DAiCi, n3 BP= 0,即一 .3 3 入=0,得=i.即存在点 P 在 CiC 的延长线上,且 C

15、iC= CP ,使得 BP/平面 DAiCi.I备选题I(2019 福州五校联考)如图，在四棱锥 C ABDE 中，F 为 CD 的中点，DB 丄平面ABC, AE / BD , AB = BC = CA = BD = 2AE.(1) 求证：EF 丄平面 BCD ;(2) 求平面 CED 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小.解析(1)设 AE = 1,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz, A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C( 3, 1, 0), D(0, 2,(3, 1, 2), BD 二(0, 0, 2). EF CD = 0, EF BD = 0, EF 丄 CD, EF 丄 BD.又 CD?平面 BCD , BD?平面 BCD, CDABD = D, EF