【2020】高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换(讲)

1、1 / 20教学资料范本【2020】高考数学一轮复习 专题 4.3 简单的三角恒等变换（讲）编辑：_时间：_2 / 20第 03 节 简单的三角恒等变换【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测简单的三 角恒等变 换1掌握两角和与两角 差的正弦、余弦、正 切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的 公式.2掌握简单的三角函 数式的化简、求值及 恒等式证明.20 xx浙江文4,18； 理4,18；20 xx浙江文11,16;理11；20 xx浙江文11;理10,16；20 xx浙江14,18；20 xx浙江18.1.和(差)角公式；2.二倍角公式；3.和差倍半的三角函数公式的 综合应用.4.对于三角恒等

2、变换，高考命 题主要以公式的基本运用、计 算为主，其中多以与角的范围 、三角函数的性质、三角形等 知识结合考查.5.备考重点：(1)掌握和差倍半的三角函数公式掌握三角函数恒等变换的常用 技巧.【知识清单】1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式C):cos(aB)=cosacosB+sinasinB；Ca +B):cos(a +B)=cosacos_B sin_asinB；S(a + B):sin(a +B)=sinacosB +cosasinB；S(a B):sin(aB)=sin_acos_B cosasinB；tana +tanBT(a +B):tan(a +

3、 B)1一tanatan；tana tanBT(a B):tan(a B)1+tanatanB3 / 20变形公式：tana tanB =tan(aB)(1 ?tanatanB);函数f(a)=acosa+bsina(a,b为常数)，可以化为f(a)=Sin(a+ )或f(a)=COS( a)，其中 可由a，b的值唯一确定.2.二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式：=2sin_acos_a ；2.2 2 .2=cosa一sina =2cosa一1=12sina ；T2a:tan 22ta na=1一tan2a变形公式:a +cosa )21sin 2a =(sina一cos

4、a)2【重点难点突破】 考点1两角和与差的三角函数公式的应用【1-1】【20 xx河南省名校联盟第一次段考】已知圆I：，记射线云与轴正半轴所夹的锐角为I,将点绕圆心逆时针旋转 角度得到点口，则点的坐标为_ .S2a:sin 2C2a:cos 221+cos 2acosa =221cos 2a，sina =21+sin 2a =(sin【答案】【解析】设射线OBf轴正半轴的夹角为，有已知有，所以标为，且,c占坐4 / 20【1-3】【20 xx年浙江卷】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合)a+n)的值；(U)若角B满足sin(a+B)，求cosB的值.【答案】(I)【解析】分析

5、：(I)先根据三角函数定义得二，再根据诱导公式得结果，(U)先根据三角函数定义得二，再根据同角三角函数关系得，最后，利用两角差的余弦公式求结果.所以【1-2】已知:，且，则凹，它的终边过点P(I)求sin(根据详解：(1)由角一的终边过点【答案】或得5 / 20点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角 的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.1一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；2变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.【领悟技法】1.运用两角和与差的三角函

6、数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tana+tanB=tan(a+B)(1tanatanB)和二倍角的余弦公式的多种变形等.2.应熟悉公式的逆用和变形应用， 公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则 往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆 向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式 的应用.n提醒：在T(a+B)与丁(aB)中,a，B，a B都不等于kn+2(kZ)，即保证tana，tanB，tan(a+B)都有意义；若a，B中有一角是kn+2(kZ)，可利用诱导公式化简.【触类旁通】【变式一】【20XX江西省赣州

7、厚德外国语学校上学期第一次测试】1的值是()6 / 20【答案】(I)【变式三】已知函数 的部分图像如图所示.(I)求函数 辰口的解析式，并写出瓦的单调减区间；(U)_I的内角分别是A,B,C.若 -,-,求他I的值.A.0 B.C.画D.兰【答案】D【解析】a故选D.【变式二】已知匚口匀为锐角，且(I)求回(u)求E口勺值.的值;7 / 20考点2二倍角公式的运用公式的应用【答案】（I）的单调减区间为由图象可得回的单调减区间为（U）由（I）可知,【解析】（I）由图象最咼点得A=1,8 / 20解得，故选B.因为，所以，因此【2-3】【江苏省XX市五模】已知，且，则的值为【2-1】【20 xx

8、年新课标I卷文】已知角丨的顶点为坐标原点，始边与.【解析】分析：首先根据两点都在角的终边上，得到 丨百I,利用，从而得到详解：根据题的条件，可知一三点共线，从而得到丨忘因为ilXA. 1 B.rC.【答案】BD. 1轴的非负半轴重合，终边上有两点 匠，且，则用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而确定选项.，再结合_，从而得到，即，所以【2-2】【20 xx浙江ZD联盟一模】已知9 / 2010 / 20【解析】由L则IL所以II，则_，所以【领悟技法】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正 确使用公式；（2）二看“函数名称

9、”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.【触类旁通】【变式一】的值为（A/【答案】A11 / 20已知）B.，则【变式二】已知_ I凶I,且一【答案】，则一D.的值为12 / 20【解析】因为，所以乜【变式三】已知L(1)求的值;【解析】(1由(2)原式考点3三角恒等式的证明【3-1】求证：2=4sin 2a.【解析】左边=2=2=2=2.a a1=cosasin2cos2=2sinacosa=4sin 2a=右边.原式成立.，又因为，所以的值.求13 / 2032a + Ba=sina2cos(a + 3).【解析】证法【领悟技法】

10、i.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式.(1) 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证， 通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同.(2) 条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选 择适当途径.【3-2】求证：监右边二八sVinaaa + 3sina=sinaa + 3 a sin=sina=sina=左边.证法二:2a + 3sin32a + 3 sinsina一sina=sina3sinaSina=2cos(a + 3),2a +所以sin3sin3a2C0s(a+3)=sina【3-3】已知证明:,且回H,L_,即L

11、S【解析】14 / 20常用代入法、消元法、两头凑等方法.15 / 20(3)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦 ”、“升幕与降幕”等.2.变换技巧：拆角、拼角技巧：2 a=(a + B)+ (aB)；21a一3 a一32；2=_.(3)化简技巧：切化弦、“T的代换等【触类旁通】【变式一】求证:-=右边.故原式得证.【解析】左边=sincos16 / 200【变式二】已知_，证明:考点4三角函数公式的综合应用【4-11】【20 xx湖北省部分重点中学起点】设函数 _，其中9 eS，贝U导数f的取值

12、范围是_.【答案】dr,22】【20 xx届浙江省XX市第二中学6月热身】已知，则【答案】【答案】【解析】由题17 / 20【解析】分析：先把可以得到也就是时，L故填瓦一,【4-3】【20 xx届江苏省XX市三模】在平面直角坐标系 匚二中，锐角一一 的顶点为坐标原点二始边为匚轴的正半轴，终边与单位圆11-，点匚的纵坐标为.X-，故 _ 或整理得到两边平方得到于I区的方程，解出丨p后可求丨宀I.，利用弦切互化所得方程可以化成关详解：由的交点分别为一.已知点的横坐标为(1) 求-：的值；(2)- 求的值.【答案】(1) ;(2).18 / 20(2)因为点Q的纵坐标为，所以sinBl.又因为B为锐

13、角，所以cosB.，且a为锐角，所以Sina=因此匕sin2a=2sinacosa=-， 所以sin(2aB)因为a为锐角，所以0V2 aVn.又C0S2a0，所以0V2 aV I，又B为锐角，所以一一0,综上，若【答案】(1);(2)【解析】试题解析：-5 -，又I!22 / 20n3n3n 294.nV292温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取 值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休一一数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与 形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间 的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图 形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象 思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途 径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征