药学高数泰勒公式ppt课件

1、 第七节第七节 泰勒公式泰勒公式 一、泰勒公式一、泰勒公式 二、函数的麦克劳林公式二、函数的麦克劳林公式 在讨论函数的微分时，在讨论函数的微分时，f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0)，当当 xx0 时，其误差是比时，其误差是比 x-x0 高阶无穷小。高阶无穷小。 令令 R1(x)= f (x) f (x0) + f (x0)(x-x0) ，并假设，并假设 f (x) 在在 x =x0 的某个邻域内具有二阶导数，易得的某个邻域内具有二阶导数，易得 R1(x0)=0 , R1(x0)=0 , R1(x) = f (x) 。当。当 xx0 时，将时，将无穷小无穷小R1(x) 与与

2、(x-x0)2 相比较，利用柯西中值定理，有相比较，利用柯西中值定理，有 ( 1 在在 x 与与 x0 之间之间)11012220000( )()( )()()()R xR xR xxxxxxx1110( )2()Rx11101000( )()2()2()RR xxxx11( )2R( )2f 其中其中 在在 x0 与与 1 之间，从而也在之间，从而也在 x0 与与 x 之间。之间。于是于是故故 此式称为函数此式称为函数 f (x) 的一阶泰勒公式的一阶泰勒公式 , R1(x) 称为一阶称为一阶泰勒公式的余项，当泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比时，它是比 x-x0高阶无穷小高阶无穷小 如

3、果在一阶泰勒公式中，如果在一阶泰勒公式中， 将在将在 x0 与与 x 之间用之间用 x0替代，则有近似公式替代，则有近似公式 令令20000( )( )()()()()2ff xf xfxxxxx210( )( )()2fR xxx200000()( )()()()()2fxf xf xfxxxxx2020000()( )( ) ()()()() 2fxR xf xf xfxxxxx可用上述类似推理，得出可用上述类似推理，得出 （ 在在 x0 与与 x之间）之间） 此式称为函数此式称为函数 f (x) 的二阶泰勒公式，的二阶泰勒公式， R2(x) 称为二称为二阶阶泰勒公式的余项，当泰勒公式的余

4、项，当 xx0 时，它是比时，它是比 (x-x0)2 高阶的高阶的无无穷小。穷小。320( )( )()fR xxx23000000()( )( )()()()()()2fxff xf xfxxxxxxx 定理定理2-9 泰勒泰勒 ( Taylor) 中值定理中值定理 如果函数如果函数 f (x) 在在含有含有 x0 的某个区间的某个区间 (a , b) 内具有直到内具有直到 (n+1) 阶的导阶的导数，则对任意数，则对任意 x(a , b) ，有，有其中其中 （ 在在 x0 与与 x之间）之间） 此式称为函数此式称为函数 f (x) 在点在点 x0 处的处的 n 阶泰勒公式，或阶泰勒公式，或

5、按按（ x-x0 ）的幂展开的泰勒公式，简称）的幂展开的泰勒公式，简称 n 阶泰勒公式。阶泰勒公式。Rn(x) 称为称为 n 阶泰勒公式的余项，当阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是时，它是比比 (x-x0)n 高阶的无穷小。高阶的无穷小。200000( )00()( )()()()()2()()( )nnnfxf xf xfxxxxxfxxxR xn(1)(1)0( )( )()1)nnnfR xxxn 二、函数的麦克劳林公式二、函数的麦克劳林公式 在泰勒公式中，如果取在泰勒公式中，如果取 x0 =0 时，那么时，那么 在在 0与与 x 之之间，因此可令间，因此可令 = x (0 0）(

6、)( )( )( )nxfxfxfxe( )(0)(0)(0)(0)1nffff(1)()nxfxe212!nxxxexn 211(01)2!(1)!nxnxxxe xexnn 11( )(01)(1)(1)xxnnneeR xxxnn 如果取如果取 x=1，则得无理数，则得无理数 e 的近似式为的近似式为其误差为其误差为当当 n=10 时，可算出时，可算出 e 2.718281，其误差不超过，其误差不超过10-6 。 例例2-62 求求 f (x)=sin x 的的 n 阶麦克劳林公式。阶麦克劳林公式。 解解 因为因为2111 12!en 3(1)(1)neRnn ( )cossin()2fxxx(0)1,( )cos()sin(2)22ffxxx(0)0,( )cos(2)sin(3)22ffxxx (4)(0)1,( )cos(3)sin(4)22ffxxx 又 f (0)=0，知它们顺次循环地取四个数: 0 , 1 , 0, -1,于是按麦克劳林公式得令n=2m）其中如果取 m=1，则得近似公式 sin x x这时误差为(4)( )(0)0,( )sin()2nffxxn352112