五节常见的二次曲面及其方程ppt课件

1、第五节 常见的二次曲面及其方程一、根本内容二、小结二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法：讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，调查其交线即截痕的外形，然后相截，调查其交线即截痕的外形，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、根本内容ozyx一椭球面一椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标

2、面的交线：的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：1222

3、22 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为二抛物面二抛物面zqypx 2222 与与 同号同号pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：1用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0 , 0 , 0(O设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 11

4、212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz)0(1 z与平面与平面 不相交不相交.1zz )0(1 z2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.1yy 121222yyqyzpx它的轴平行于它的轴平行于 轴轴z顶点顶点 qyy2, 02113用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.0, 0 qpzxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如

5、下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p由由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的旋转而成的xozpzx22 11222zzpzyx与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的中心都在的中心都在 轴上轴上.1zzzqypx 2222 与与 同号同号pq双曲抛物面马鞍面双曲抛物面马鞍面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo三双曲面三双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax1用坐标面用坐标面

6、与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax2用坐标面用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz 122122221yybyczax双曲线的中心都在双曲线的中心都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线

7、.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax3用坐标面用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是两对相交直线的截痕是两对相交直线.ax 双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxyo椭球面、抛物面、双曲面、截痕法椭球面、抛物面、双曲面、截