指数及对数的意义详解

1、指数与对数先复习国中学过的指数概念和指数律，包括1. a 0, n是正整数，an的意义n mn m2. a a a .na n _m3. - = a , n m 0.a4. 赋予a0 =1,以符合3.15. 赋予a上二-k，k为正整数，以符合3.a6. 更广的指数律:n、mnm(a ) a .an bn =(ab)n.17. n是正整数，an的意义例如：1n = 2时，a = a = 2. a .1n = 3时，a3 = 3 a .1一般正整数，an = n a.18. n是正整数，a n的意义例如：1 爲.1师(T):今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯 (176618

2、34)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。 比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口 变成8倍。生(S):这不太可能吧！像台湾，就以2300万人口来说好了。一年后变成2倍 就是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400 万。3年后有几乎2亿的人口，可能吗？T :这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形 式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段(例如：10 年)变成2倍，再过一个时段(10年)又从2倍变成4倍。也就是说三个时 段(30年)之后，就会变成8倍。当然就历史来看人口的变化，马

3、尔蕯斯的 论点是不对的。不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌， 这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口”会变成2倍。因此3小时后，就会变成8倍。S : 那,半小时以后，会变成几倍呢 ？T :这个问题很好，如果我先告诉你的是：细菌数在3小时以后会变成8倍， 那么你觉得1小时以后会变成几倍呢？S :当然是2倍！T :对，如果用指数来表示，是不是说238 ,或是说，人家问你：x3 = 8 , x是多少？你的回答是x =2.是不是这样？S : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成 x,那么因为已知1小时之后， 细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以x2 =2.这样想，对吗

4、？那x应该是.2 ,也就是说，半小时以后，细菌数会变成 .2倍。T :没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为2倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，细菌数就会变成 2 -2=2倍。如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？S :让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成 6个2相乘，、2，2 '222、2=22 2=8，三小时以后仍然变成 8倍。T :我们应该记成(、 2)6 = (22)6 = 23 = 8。S :所以无论是想成1小时后变成2倍，或是半小时后变成迈倍，3小时后都 是变成8倍。前者是计算三个时段，每一个时段 2倍

5、，23 =8 ;后者是计算6个时段，每一个时段.2倍，(、2)6=8T :那我再问你：如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是-小时，应该变3成几倍呢？S : 1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成x倍，就代表1小时 后变成x3=2倍。解x, x = 21/3。1/3T :刚才提到、2，近似值是1.414。请问，2的近似值是多少？S :21/3当然比21/2小，我觉得21/3至少大于1.2,因为(1.2) 1.728,不足2,而(1.3)2.197,超过2。所以21/3应该介于1.2和1.3之间，亦即1.2 : 21/3 <1.3.T :如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应

6、该变成几倍呢?S : 1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成x倍，4个15分钟后, 细菌数应该变成x4倍，方程式是x4=2,亦即T :你能估计21/4吗？x =21/4S :老师，如果继续下去，比方说，如果分别把 10分钟、5分钟、2分钟、1分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍?T :我们可以列一个表时段长小时数(h)细菌数增长倍数60分钟12-21120分钟24 = 22180分钟38 = 2330分钟1/221/2 "41420分钟1/3o1/32黑15分钟1/4o1/4210分钟1/6o1/625分钟1/12o1/122 &2分钟1/30o1/

7、302 &1分钟1/60o1/602a-60分钟-12=1/2-30分钟-1/2121/72-1分钟-1/6012化1朋0分钟02° =17分钟7/602?/60比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为x倍，则因一小时是60分钟，所以x60 2，亦即x = 21/6°。在上面的表中，你可以发现最右 边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你如果用5分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成u倍，则10分钟之后会变1成U2倍，而1分钟之后会变成u5倍。上面这个表是以60分钟或1小时为基 准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是h小时的

8、话，最右边这一行的增长倍数就是2h，读作2的h次方，h可以是2, 3也可以是1/2, 1/3 < h甚至可以是负数或0. h如果是0,就代表开始的那一刻，细菌数是 1倍，亦即 22° =1.S :基准是可以换的。如果用1分钟为基准来观察，1分钟增长21/6°倍，所以5 分钟就会增长(21/6°)5 =21/12倍，完全符合上表。T :是的，如果你愿意以1分钟为基准，你就可以求出经过7分钟以后细菌增长 的倍数，应该是多少呢？S : (21/6° )7二27/6°应该就是7分钟以后增长的倍数。这个数字看起来蛮难看的， 而且说实话，我感觉不出来

9、它的大小，只能说一定大于1,不过7分钟以小时为单位就是7/60小时，在表上代表h=7/60，增长的倍数是2h。T :不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。它的特性是只要经过1小时，就会增长2倍。不管是10点到11点还是第二天的下午3点到4点, 也就是说无论是经过1分钟，或是经过任何一个时段，只要经过的时段等长， 增长的倍数都是一样的。所以若是先经过 x小时，再经过y小时，增长的倍 数和经过x y小时一样，亦即2x2y-2这就是指数律的基本意涵。不仅如此，这样的想法还可以倒叙，也就是说x小 时以前，是现在的2倍，正如x小时以后，是现在的2x倍，亦即有等比例的 关系2:1 =1: 2x,

10、这也是指数的基本性质，或者说负指数的意义。我们可以把上表加上一些负 的时间代表之前，上表右列依然是2h的形式。T :你现在应该可以从上面这个表看出更多一点讯息，就以中间这行来说，以h代表繁殖时所经过的小时数，而右边这一行，代表经过 h小时的繁殖以后， 细菌所增长成的倍数，这个倍数与时段 h的关系是2h。但是不要忘了这个模 型的基本特征是，当h=1时，细菌将增长为2倍，我们可以用下图来表达 y=2x， x代表经历的时段h， y代表x时段后，细菌将增长为2x倍。X + z1(函数图形y-f(x)-2还有一个上凹的特质，亦即f()_(f(x) f(z)等号成立时，代表x = Z 0 )S :1当你对

11、所有的时段X都赋予2X时，如果X是刚才读的这种有理数，例如：-,n1我可以了解21/n代表2的n次方根；或是m/n,我可以了解2m/n代表(2n)，1或是2m的n次方根，(2m)n.如果x不是有理数呢？T :你难道不觉得已经有这么多的有理数 X,若是能对这些X将函数图形上(x, 2X)点出，这么多的点，难道还不能描出一个函数图形吗？比方说，如果1 2将X取成，川，即以分母为100的有理数，在0到1之间，就已经有100 100了 100个点，即一位和二位小数从 0.01到0.99,在1到2之间有1.01到1.99,或者你也可以想想，将x取成分母为1000的有理数，亦即从0.001 到0.999等

12、等或是1.001至U 1.999等等。S :但是数在线的点x，当不只是有理数而已，我记得在读数系的时候，老师特别提到数在线的点，除了分数(有理数)之外，还有许多无理数，例如3,、5等等。T :我刚才提到分母为100或1000的有理数，其实是指十进制制中的有限小数这些小数够多，但是很有趣的是，他们并不包括循环小数，如1/3或1/7.当 然也不包括-2， , 3这类无理数。但是他们（十进制小数）在数在线够密，并且是所有科学界或工程界所用的度量是量出来的，精确性的要求就是看几位小数，例如：毫米是 是10,奈米是10*回到你刚才提到的2x我们以2“来说明，请看下面这个表2221.7 =3.249009

13、585 川1 732 .=3.31727818321.732 二 3.32188009621.7320 =3.321880096)1121.73205 =3.321995226|21.732050 =3.321995226 "21.7320508 =3.321997068)11数对一个物理学家或是工程师而言，10*，微米,x非有理数怎么理解的问题，22 =421.8 = 3.482202253川1 742 . =3.340351678|121.733 二 3.324183446HI21.7321 = 3.322110360川21.73206 =3.322018252)1121.732

14、051 =3.321997529)1121.7320509 = 3.321997298|1我们可以看到2”的近似值是3.321997，比24要小，但是比21.5 = 2.828要 大。我想说的是对所有的变量x, 2x都是有意义的，当x是有理数时，2x有非常 具体的意义。但是当x是无理数时，2x就只能以近似或逼近来表达。无论要 求多么严格的精准度，都是可以办到的，上面对于的计算充分的说明了这 一点。但是我更要强调的是这个函数的意义以及它内在所具有的指数律，2x y辽空或者2u =2u公.就学习时必须掌握的抽象层次来说，指数律是最要紧的，而在计算时亦不可或缺。例如我刚才写下21.5就是靠指数律2仁

15、5 二?1 七5 二?1 20.5 =2 V2 肚 2 1.414 =2.828.又譬如0.50.52 卫.5 2_fcl_070720.5 - 20.5 2°.5 一 22换句话说，计算的时候，指数律是无所不在的。S :刚才老师花了不少时间解释，我想说的是以细菌繁殖的模型来说，经过1小时，变成2倍。刚才讨论了很多1小时，3小时，甚至于-1小时细菌数的倍数。我是不是也可以问，经过.3小时，细菌会变成几倍呢？由于".73211(,所以前面的表，就说明如何透过21.7,21.73,21.732川来了解2 ：是这样的意思吧!T :没错，只要你问出：x小时后，细菌数会变成几倍？我们

16、就必须规规矩矩来 回答2x等于多少。在一开始的时候，x=2 ,所以我们说2x=21/2- 2,但是不要忘了，' 2倍还是必须用近似值1.414211|来说才比较有感觉。这就好像你先前说27/60这样的倍数，那是当时段经过 7分钟以后，细菌的倍数。但是谁能 很快回答27/60的近似值是多少呢？就指数律来说，是不在乎x是不是无理数的。因为假设经过u小时，系数是2u，则将u小时分成二个时段，u-v和v小 时，贝U当然有2u =2u-2v.不但无关u是否有理数，并且也无关v等于多少，例如：_-2_ 2 4_2 =2 2,2不=2、尹指数与对数(2)-指对数的应用存户将钱存入银行，有如银行向存户

17、借钱，应该支付利息。利息与本金之比 称为利率。早年景气好的时候，利率相对也高，年利率6%常可见。亦即每存入100元，一年以后可以获利6元。获利6元之后，若是续存，本金已经变成 106元，因此再过一年，便可获利6.36元，比前一年的利息多0.36元；这多出 来的0.36元，其实正是来自前一年的6元利息再乘上6%如此利上加利的计息 方式，称为复利。不难看出，n年之后，这100元会变成100 (1 0.06)n式中重要的是(1 0.06)n这个倍数。若取n =12,略作计算，可以得出(1.06)12,刚好超过2.亦即只要12年， 本利和就能变成2倍。一般人看到这么快就会变成2倍，不免怀疑，因为若以单

18、 利思考，100元的本金在12年后，6%勺利率只能产生72元的利息。下文先说明 在计算机未发明之前“手工业者”如何计算 (1.06)12。我们先把(1.06)12想成是10x , 然后解x。注意到此处的x只是一个小数。对(1.06)12取以10为底的对数，立刻 得出x =12log(1.06).从任何一本高中数学课本所附的对数表可以查出log(1.06) =0.0253,因此，x =12log(1.06) = 0.3036 ,所以基本上(1.06)12 =100.3°36.再查一次对数表得到2=10°.3010.比较等号右边10的指数得出(1.06)12 2 ,并且看出(1

19、.06)12只比2大一点点(因为指数0.3036略大于0.3010)。如果是当下 现在，只要按几下计算机中所附的计算器，轻易可得(1.06)12 =2.012196 山.这是不是让手工业者瞠目结舌，而觉得弗如远甚呢？当然手工业者有他们的说法一他们步步为营小心计算，完全知道自己在干什么，不像用手直接按下(1.06)12就可以跑出2.012196IH。谁知道计算机内部真正 的机制？谁能说这不是黑箱作业呢？但是仔细深究，手工业者不也是要查表才知道log(1.06) = 0.0253和100'301 2 吗？要如何才能靠手算得到，譬如说，log(1.06)呢？看起来手工业者和手 按者之间似乎差

20、别不大，不过如果真的差别不大的话，对数这个议题就不必摆 在高中数学教材中了。这是因为学习对数在高中最主要的功能就是帮忙分析上述 这一类的连乘积。包括下面这个典型的题目：250在十进制系统中是几位数？我们再来看看手工业者怎么处理这个问题吧！同样的，令250 =10x,两边对10取对数，得到x = 50log 2 .查表，log 2 =0.301,因此x = 15.05.回到250 =10x =1015.05 =100.05 1015,由于(根据查表)100.05不到1.13，因此250是一个16位数，最高位的数字是1。至于手按者要回答这个问题就更加快捷，他甚至可以把这 16位数字全部写 给你，而手工业者即使要回答250的10位数还得另外作计算，此时对数是派不上 用场的。结论是高中生辛辛苦苦花了这么多的时间学对数，到头来，碰到问题还是得靠计算机，一如许多学过的数学，谁都知道这辈子再也派不上用场， 可是就好像 国王的新衣一般，总觉得一定要披点什么，才有国王的架