二节数量积向量积混合积-资料 ppt课件

1、第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积* *混合积混合积 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积1/19 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，则则力力F所所作作的的功功为为 21MM实例实例一、数量积一、数量积FjMMMM 21Pr|21.cos|21 MMF的的夹夹角角。与与为为其其中中 21MMF 21Pr|MMjFWFF a与与b的的数量积数量积 ba 是一个数是一个数 cos| baba(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)。 定义定义 易易知知.Pr|bjaa ajbbabPr| ab 数量积也称为数量积也称为“点积、点积、“

2、内积内积.数量积的性质：数量积的性质：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba 数量积的运算律：数量积的运算律：1 1交换律：交换律：;abba 2 2分配律：分配律：),()()(bababa ).()()(baba ）（由由 cos|baba;)(）（）（cabacba 式式：推推导导数数量量积积的的坐坐标标表表达达)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ),(),(zyxzyxbbbaaaba 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式)()()()()()(kbiajbiaibiazxyxxx )()()()()()(kbjajbjaibjazyyyxy )()()()()()(kb

3、kajbkaibkazzyzxz .bababazzyyxx .bababazzyyxx ba又又,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa cos|baba zzyyxxbabababa 由由例例1 1 已已知知 ）（4, 1 , 1 a，）（2 , 2, 1 b，求求（1） ba ；（2）a 与与 b的的夹夹角角；（3）a 在在 b上上的的投投影影. 解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaaba

4、baba ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 设设 A(-1,2,3)、B(1,1,1)、C(0,0,5)，证证明明： ABC为为直直角角三三角角形形。 证证,2, 1, 2 ）（ AB,2 , 2, 1）（ AC,4 , 1, 1）（ BC，有有0 ACAB为为直直角角三三角角形形。ABC ，从从而而 ACAB 证毕。证毕。 设设 O 为为杠杠杆杆 L 的的支支点点，力力 F作作用用于于杠杠杆杆上上 P点点处处 F与与 OP 的的夹夹角角为为 ， F对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模 N sin|FOP 实例实例二、

5、向量积二、向量积LFPQO |F|OQ| |OP|PN|M| M的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决定的平面，且所决定的平面，且OP、F、M符合符合右手规则右手规则。 sin|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 定义定义向量积的性质：向量积的性质：ba)2(/. 0 baa与与b的的向向量量积积ba 是是一一个个向向量量， . 0)1( aa符符合合右右手手规规则则。、所所决决定定的的平平面面，且且与与的的方方向向垂垂直直于于 babababa abba ”。”、“向向量量积积又又叫叫做做“外外积积叉叉积积向量积的运算律：向量积的运算律：1交换性：交换性：. abba 2分配律

6、：分配律：.)(cbcacba ).()()(bababa .)(cabacba 数数：若若为为 ）（3式式：推推导导向向量量积积的的坐坐标标表表达达)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式)()()()()()(kbiajbiaibiazxyxxx )()()()()()(kbjajbjaibjazyyyxy )()()()()()(kbkajbkaibkazzyzxz kbayx)( )(jbazx )(kbaxy ibazy)( )(ibayz jbaxz)( ijk ba向量

7、积可用三阶行列式表示向量积可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ibbaazyzy jbbaazxzx kbbaayxyx 向量积的几何意义向量积的几何意义|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻 边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积. 由向量积的坐标表达式知：由向量积的坐标表达式知：ab ）（由由 sin|baba例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kjc e 所求单位向量为所求单位

8、向量为)5 ,10, 0(551 ）（51,52, 0 已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .例例)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 解解内容小结内容小结设设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积叉积:kjixayazaxbybzbba结果是数量；结果是数量；结果是向量；结果是向量；2. 向量关系向

9、量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba定义定义称称cba )(为为a、b、c的的混混合合积积，记记为为cba. . cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,）（zyxaaaa ),(zyxbbbb 设设),(zyxcccc 坐标表达式坐标表达式* *三、向量的混合积三、向量的混合积则有则有注：注：|cba|表表示示以以a、b、c为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积. 向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义：a、b、c共面共面 . 0 cbaacbba 例例 5 5 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点 ),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体求四面体的体积的体积. 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC