2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文数

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文数一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一 个是项符合题目要求的.1. （5 分）（2016?山东）设集合 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, A=1 , 3, 5, B=3 , 4, 5，则?U （ A U B）=（）A. 2 , 6 B . 3 , 6 C. 1 , 3, 4, 5 D. 1 , 2, 4, 62. （ 5分）（2016?山东）若复数z=，其中i为虚数单位，则：=（）1 _ 1A . 1+i B. 1 - i C.- 1+i D . - 1 - i3. （ 5分）（2016?山

2、东）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5 ,30，样本数据分组为17.5 ,20）,30.根据直方图，这200名学生中每周的自4. （ 5 分） （2016?山东）若变量x, y满足«_ 3y9，贝U x2+y2的最大值是（）4 B. 9C. 10 D.5分）（2016?山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何 体的体积为（A.5.12侧（左）视图A . - +1 nB . +n C. _+- n D . 1+丄 n3 33 33 666. （ 5分）（2016?山东）已知直线a,

3、 b分别在两个不同的平面a, B内.则 直线a和直线b相交”是 平面a和平面B相交”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件2 2 一7. （5分）（2016?山东）已知圆 M : x +y - 2ay=0 （a> 0）截直线x+y=0所得线段的长度是2匚，则圆M与圆N : （x- 1） 2+ （y- 1） 2=1的位置关系是（）A .内切B.相交C.外切D .相离2 2& （ 5分）（2016?山东） ABC中，角A, B , C的对边分别是 a, b, c,已知b=c, a =2b （1 - sinA），贝U A=（）37T 7TJ

4、TTTA. IB. C.丨 D.9. （5分）（2016?山东）已知函数f（ x）3的定义域为R.当xv 0时，f （x） =x - 1 ；当-1$冬时，f ( x) = - f (x);当 x >2时，f (x+丄)=f (x-丄).则 f (6)=(2 2 2A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 210. （5分）（2016?山东）若函数y=f （x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处 的切线互相垂直，则称y=f （x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）x3A . y=sinx B . y=lnxC. y=e D. y=x二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，

5、共25分.11. （5分）（2016?山东）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为.12. （ 5分）（2016?山东）观察下列等式:(sinp) -2+ (sing-2=总 X1 >23(sin)5(si n_7(sin 1 )9(sin)5(sin,)(sin)9(sin )53兀、 (sin ,)(sin)92+sin (J) -25(；)(' ')92+ +si n2+ +si n=>2 >3;3-2 . =一 X3>4;3-2 :=X4X);3照此规律，/ 兀（sin2n+l2+( sin -2n+l-2+ (sin '

6、) -2+ 2n+l+ (sin 宀)22n+l13. (5 分)(2016?山东)已知向量 二(1, - 1), b= (6, - 4),若 a±(),则实数 t的值为2 214. （5分）（2016?山东）已知双曲线 E:务-岂=1 （a> 0, b> 0）,若矩形 ABCD的四个 / b215. （5分）（2016?山东）已知函数 f （ x）=，其中m>0,若存在实一加区+血彳顶点在E上, AB ,CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 I Is I,数b,使得关于x的方程f （x） =b有三个不同的根，则m的取值范围是三、解答题

7、：本大题共 6小题，共75分16. （12分）（2016?山东）某儿童节在 六一"儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童 需转动如图所示的转盘两次， 每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 记 两次记录的数分别为 x, y.奖励规则如下： 若xy <3，则奖励玩具一个； 若xy海，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（n）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.指针17. (12 分)(2016?山东)设 f (x) =2；sin ( n- x) sinx

8、-( sinx-cosx) 2(I)求f (x)的单调递增区间；D是AC的中点，EF / DB .GH / 平面 ABC .C(H)把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移二个单位，得到函数 y=g(x)的图象，求g (二)的值.3 618. (12分)(2016?山东)在如图所示的几何体中，(I)已知 AB=BC , AE=EC，求证：AC 丄 FB ;(n)已知G , H分别是EC和FB的中点，求证:219. ( 12分)(2016?山东)已知数列an的前n项和Sn=3n +8n,bn是等差数列，且sn=bn+bn+i(I)求数列bn的通

9、项公式；(n)令cn=求数列cn的前n项和Tn.220. (13 分)(2016?山东)设 f (x) =xl nx - ax + ( 2a- 1) x, aR.(I)令g (x) =f' (x)，求g (x)的单调区间;(n)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数 a的取值范围.2 221. (14分)(2016?山东)已知椭圆 C: '.+=1 (a>b>0)的长轴长为4，焦距为2 .：.(I)求椭圆C的方程；(n)过动点 M (0, m) (m> 0)的直线交x轴于点N，交C于点A , P (P在第一象限)， 且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线

10、交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i) 设直线PM , QM的斜率分别为k, k',证明 疋一为定值；k(ii) 求直线 AB的斜率的最小值.2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文数参考答案与试题解析1. A【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可.【解答】 解：集合 U=1 , 2, 3, 4, 5, 6 , A=1 , 3, 5, B=3 , 4, 5, 则 A U B=1 , 3, 4, 5.?U ( A U B) =2 , 6.故选：A.2. B【分析】根据复数的四则运算先求出 Z然后根据共轭复数的定义进行求解即可.【解答】解：T z=1+i ,1-i(1-1

11、)(1+i)2=1 - i,故选：B3. D【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数.【解答】 解：自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16+0.08+0.04 ) >2.5=0.7,故自习时间不少于 22.5小时的频率为：0.7 >200=140,故选：D4. C【分析】由约束条件作出可行域，然后结合X2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得X2+y2的最大值. A ( 0,- 3), C ( 0, 2),> |0C|,联立彳*+厂2 ，解得B (3, - 1). 2x -

12、3y=92 2 x +y的最大值是10.故选：C.5. C【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 进而可得答案.【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥, 半球的直径为棱锥的底面对角线，n,由棱锥的底底面棱长为 1,可得2R= . 故 R=：, 故半球的体积为：2棱锥的底面面积为：1,高为 故棱锥的体积7=二,3故组合体的体积为：一+丄n,3 6故选：C6. A【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案.【解答】解：当 直线a和直线b相交”时，平面a和平面B相交”成立，当平面a和平

13、面B相交”时，直线a和直线b相交”不一定成立， 故 直线a和直线b相交”是 平面a和平面B相交”的充分不必要条件， 故选：A7. B【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可.2 2 2【解答】 解：圆的标准方程为 M： x + (y- a) =a (a>0),则圆心为(0, a),半径R=a,圆心到直线 x+y=0的距离d=f ,圆M： x2+y2 - 2ay=0 (a> 0)截直线x+y=0所得线段的长度是 2二,则圆心为 M (0, 2),半径R=2 ,22圆 N ： (x - 1) + (y - 1) =1 的圆心为 N (1, 1),半

14、径 r=1 ,则 MN= =二 / R+r=3 , R - r=1 , R - r v MN v R+r, 即两个圆相交.故选：B& C【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1 - cosA=1 - sinA,即sinA=cosA，进行求解即可.【解答】解：T b=c,2 2 2 2 2 2二 a =b +c - 2bccosA=2b - 2b cosA=2b (1 - cosA),a2=2b2 (1 - sinA), 1 - cosA=1 - sinA ,则 sinA=cosA，即 tanA=1 ,即 A=_,4故选：C9. D【分析】 求得函数的周期为1，再利用当-1$勻时，f (

15、- x) = - f (x),得到f (1) = - f3(-1),当x v 0时，f (x) =x - 1，得到f (- 1) = - 2,即可得出结论.【解答】解：T当x> 一时，f (x+ ') =f ( x -2 2 2 当x>丄时，f (x+1) =f (x),即周期为1 .2-f (6) =f (1),当1时，f ( x) = - f (x),-f (1) =- f (- 1),当 xv 0 时，f (x) =x3 - 1,-f (- 1) = - 2, f (1) =- f (- 1) =2 , f (6) =2.故选：D.10. A【分析】若函数y=f (x

16、)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直, 则函数y=f (x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,进而可得答案.【解答】 解：函数y=f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则函数y=f (x)的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为-1,当y=sinx 时，y =cosx，满足条件；当y=lnx时，y'= > 0恒成立，不满足条件；y当y=ex时，y =ex > 0恒成立，不满足条件；32当y=x时，y=3x > 0恒成立，不满足条件;故选：A11. 1【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【解答】解：

17、若输入n的值为3,则第一次循环，S=0+匚-1=匚-1,1绍不成立，第二次循环，S=匚-1+二 .- 7- 1, 2為不成立，第三次循环，S=j5 - 1+術-VS=Jd - 1=2 - 1=1 , 3為成立,程序终止，输出 S=1,故答案为：112.(n+1)【分析】由题意可以直接得到答案.【解答】 解：观察下列等式：(sin二)-2+ (sin丄厂)33(si n=)+ (si n)55-2丿.(sin )+ (sin-)77-2厂(SI )+ (si n)2 .=丄 X1 >2;3/3兀、(sin )5371 (si/ . 3兀52+sin2+ +si n2+ +si n87T2=

18、一 X324；32 :=X4X5;:；照此规律(si<-,)(sin2开+1/ 3开、+(-2+ (sin2 口兀+1'.Xi (n +1),故答案为:n( n+1)13. -5【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可.【解答】解：T向量3= (1 , - 1), b= (6,- 4),=* T t i+ = (t+6, - t- 4),/|丄(t i+ -), I? (t i+ i) =t+6+t+4=0 ,解得t= - 5, 故答案为：-5.14. 2【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y= 士，再由题意设出 A , B, C, D的坐标,a由2|AB|=3|B

19、C|，可得a, b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值.【解答】 解：令x=c,代入双曲线的方程可得k2 u2 k2 由题意可设 A (- c, ), B (- c,- ), C (c,- ), D ( c,),aaaa由 2|AB|=3|BC|，可得 i -22? '' =3?2c,即为 2b =3ac,a由-a , e=，可得2e? - 3e- 2=0,3解得e=2 （负的舍去）故答案为：2.15. (3, + a).2?的图象，依题意，可得 4m - m v m (m> 0),解之即可.|k I,的图象如下：x 2ms+4ni*2222/x > m 时

20、，f (x) =x - 2mx+4m= (x - m)+4m - m > 4m - m ,y要使得关于x的方程f (x) =b有三个不同的根，必须 4m - m v m ( m > 0),2即 m >3m (m>0),解得m > 3, m的取值范围是(3, +a),故答案为：(3, + a).第9页（共14页）16.【分析】(I)确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；(n)求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论.【解答】解：(I)两次记录的数为(1 , 1),(1,2) , (1,3),(1,4),( 2,2),(2, 3),(2

21、 , 4) , ( 3 , 4), ( 2 , 1) , ( 3 , 1),( 4 , 1) ,(3 ,2), ( 3 ,3),(4 ,2),(4 ,3),(4 , 4),共16个，满足 xy W ,有(1 , 1),(1, 2),( 1 , 3),(2 , 1),(3 , 1),共 5 个，小亮获得玩具的概率为：;16(n)满足 xy 为,(2 , 4), ( 3 , 4), (4 , 2), (4 , 3), ( 3 , 3), (4 , 4)共 6 个，.小亮获 得水杯的概率为丄;16小亮获得饮料的概率为 1 -丄-丄=二,16 16 16小亮获得水杯大于获得饮料的概率.17.f (x

22、)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函【分析】(I)利用三角恒等变换化简 数的增区间.(n)禾【J用函数y=Asin ( wx+ $)的图象变换规律，求得 g (x)的解析式，从而求得 g ()6=sin2x -；cos2x+-仁2sin(2x -')令 2k n-<2x-2JTTT<2k n+,32求得k n -乙丁,12 12的值.【解答】解:(I)v f (x) =2 Isin (n- x) sinx -( sinx - cosx) 2 =2;sin2x 1+Sin2x=2 " -1+Sin2x可得函数的增区间为k n-二，k时一,kZ.12 12(n)

23、把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=2sin(x -)+ 7- 1 的图象；3再把得到的图象向左平移 二个单位，得到函数 y=g (x) =2s in x+ 1 的图象，3 g (1 ) =2sin 1 +5仁耳:.6 618.【分析】(I)由条件利用等腰三角形的性质，证得BD丄AC, ED丄AC,再利用直线和平面垂直的判定定理证得 AC丄平面EFBD，从而证得 AC丄FB.(n)再取CF的中点0,利用直线和平面平行的判定定理证明0G/平面ABC , OH /平面ABC，可得平面 OGH /平面ABC，从而证得 GH /平面ABC .【解答】(I)证明

24、：如图所示，T D是AC的中点，AB=BC , AE=EC , BAC、 EAC 都是等腰三角形， BD 丄 AC , ED 丄 AC . EF / DB , E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线 ED、 BD , AC丄平面EFBD .显然，FB?平面EFBD , AC丄FB.(n)已知 G, H分别是EC和FB的中点，再取 CF的中点 O,贝U OG / EF,v OG / BD , OG / BD，而 BD?平面 ABC , OG / 平面 ABC .同理，OH / BC,而 BC?平面 ABC , OH /平面 ABC ./ OG nOH=O，平面 OG

25、H /平面 ABC , GH /平面 ABC .19.【分析】(I)求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；(n)求出数列Cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前n项和Tn.2【解答】解：(I) Sn=3 n +8n , n 丝时，an=Sn Sn 1=6n+5,n=1 时，a1=S1=11, an=6n+5;T an=bn+bn+1 ,' an _1=b n_ 1+b n,- an_ an- 1=bn+1 - bn- 1 - 2d=6 , d=3,ai=bi+b2,1仁2bi+3,' bi=4, bn=4+3 (n- 1) =3n+1;Cn= 一一(皿n+1=6 (n

26、+1) ?2n,(3n+3 ) n二Tn=62?2+3?22+ (n +1) ?2“,2Tn=62?22+3?23+ n?2“+ ( n+1) ?2n+1, - 可得-Tn=62?2+22+23+2n- (n+1) ?2n+1=12+6 X -6 (n+1) ?2n+1 =1-2n+1n+2(-6n) ?2= - 3n?2,n+2二Tn=3n?220.【分析】(I)先求出g (x) =f'(x)的解析式，然后求函数的导数g'(x),利用函数单调性和导数之间的关系即可求 g (x)的单调区间；(H)分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.2【解答】 解：(

27、I)： f (x) =xlnx - ax + (2a- 1) x,/ g (x) =f( x) =lnx - 2ax+2a, x> 0,11 - 2 axg' (x) =一- 2a=,XX当aO, g( x)> 0恒成立，即可g (x)的单调增区间是(0, +);当a>0，当x>亠时，g '(x)v 0,函数为减函数，2a当0v xv一，g ' (x)> 0,函数为增函数，2a当a切时，g (x)的单调增区间是(0, + a)；当a>0时，g (x)的单调增区间是(0,丄)，单调减区间是(匚L, +)；2a2a(n)： f (x)在x

28、=1处取得极大值， f( 1) =0, 当a切时，f' (x)单调递增，则当0v xv 1时，f' (x) v 0, f (x)单调递减，当x> 1时，f ' (x) > 0, f ( x)单调递增， f ( x)在x=1处取得极小值，不合题意， 当0v av，时，=>1,由(1)知，f (x)在(0,)内单调递增，当 0v x v 1 时，f '(x) v 0，当 1 v xv时，f ' (x) > 0, f (乂)在(0, 1)内单调递减，在(1,)内单调递增，即f (x)在x=1处取得极小值,2a不合题意. 当a时，=1, f' (x)在(0, 1)内单调递增，在(1, +8)上单调递减，2 2a则当x> 0时，f' ( x)切，f (x)单调递减，不合题意. 当a>时，0v ' < 1,2当 <x< 1时，f ' (x)> 0, f (x)单调递增，当x> 1时，f ' (x) < 0, f (x)单调递减,2q 当x=1时，f (x)取得极大值，满足条件.综上实数a的取值范围是a>.221