数学建模论文(野兔生长问题)

1、H课程设计报告课程设计题目：野兔生长问题2015年01月15日H摘要 03问题重述05模型假设 06建立模型 07模型求解 09模型误差分析 13摘要假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下 （即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响） ，该种群的成长曲线应该为对数型增长。但依题意可知， 野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓， 变化幅度不断降低， 这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的， 考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。对于这种种群生态学问题， 我们可以用 Logistic （逻辑斯蒂方程）模型来模拟。 Logistic 模型是种群生态学的核心

2、理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律， 动态的表示生物种群的增减情况， 例如兔子。由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。 根据逻辑斯蒂方程， 以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10 时，野兔数量为 10.8156十万只。在此， 我们结合过去九年野兔数量的历史数据， 建立了逻辑斯谛增长模型，得到野兔的生长规律如下：野兔初始于该地方生存时，野兔的生长繁殖有充分的保障，数量增多。随着野兔的不断繁殖，其有限生存空间日趋减小， 其数量趋向于某一极值。 而当野兔数量超过环境容纳量时,野兔种群的增长受到抑制，数量下降。当野兔种群数量降低到环

3、境容纳量以下时,野兔种群的出生率上升，死亡率下降，自然资源与食物资源较为充裕， 种内与种间竞争有所缓解， 从而野兔种群增长加快。 通过建立 Logistic 模型， 我们小组得出当 T=10 时， 野兔数量为 10.8156 （十万）只左右。该结果比较符合客观规律。利用 Logistic 模型可以表征种群的数量动态； 如昆虫类种群的增长， 收获与时间关系的确定。 描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定， 森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、 国民生产总值的预测等； 也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra 两种群竞争模型； 以上的大多数的工作都是拿逻

4、辑斯蒂模型来用， 但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。关键字:分析数据异常现象 预测 数量 逻辑斯蒂方程模型问题重述野兔生长问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下:T0T=1T=2T=3T=4T=5T=6T=7T=8T=912.319694.508536.905686.005125.564955.328077.561018.93929.5817分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10时野兔的数量。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影 响种群发展的因素。我们知道，假如

5、给野兔一个理想的环境，野兔数 量是呈对数增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中 表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969 ; T=3 ,6.90568 ; T=4, 6.00512 ; T=5 , 5.56495 ,呈类 J 型增长，说明兔 子数量不多受内外因素的因数影响不明显。第四年到第七年，这三年 野兔的数量不增反降呈类S型增长，说明其间有影响野兔生长的因素 存在。我们探讨了其中的因素：(1),兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗等。(2),自然环境的恶化，比如说兔子的激增使粪便数量大大增加是环境变得恶劣，不在适合兔子的生存；再如气候反常，使野兔

6、的产卵，交配受影响。（ 3 ） ， 天敌的捕食， 狼， 狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。（ 4 ） ，疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。 。（ 5 ） ，人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。考虑到上述因素， 野兔的生长就不能完全用一个Logistic 模型来模拟模型假设因为所学知识有限，所以我们做出以下假设以方便猜想：（ 1 ） ,假设它使处于自然的情况 （没有人的作用） ,人类活动对其生存不产生影响。（ 2 ） ， 假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。 兔子种族内部生存空间足够多，不存在对生存空间需求问题。（ 3 ） ，假设兔子的内部

7、因素对其生存率的影响不大。（ 4 ） ， 假设野兔在各年龄段中的分布率不变， 即年龄结构不变， 并采用各种措施维持这一结构；（ 5 ）假设野兔性别比接近1 ： 1 ，且采用措施维持这个比列。（6）假设母兔可以怀孕的年龄为1 到 6 岁，最高年龄为 10 岁， 10岁的死亡率为 100% ，并且 6 到 10 岁的野兔个数成线性递减趋势。在以上条件成立的前提下，用 Logistic模型来模拟野兔的增长情况。建立模型对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模 型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能

8、在这段时间 内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每 个单调区间上进行拟合。第一单调增区间T=0T=1T=2T=312.319694.508536.90568第一单调减区间T=3T=4T=5T=66.905686.005125.564955.32807第二单调增区间T=6T=7T=8T=95.328077.561018.93929.5817我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为b子死亡率的百分比为c。换句话，新的兔子数 P(t+ At)是原有兔子数 P(t)加上在 t时间内新增兔子数减

9、去死亡兔子数，即P(t+ t)=P(t)+bP(t) -cP(t)A 法 t或A P=bP -cP= kP t有曰述假设可知，在一个时间段内免子数的平均变化率与兔子的数量成正比例， 用瞬时变化率来逼近平均变化率，我们就得到F面的徵分方程模型：小 仇，三幻式2-1尸仇,二Po这样我们把问题化归到如何确定 k。一旦k被确定，通过已知数据, 我们解这个 微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了rM (t t)p MeP(t)rM(tt)M p pe这个模型就成为logistic模型模型求解对于logistic连续模型，设微分方程为(1)/ ax(1 bx) x(O) xo (xo o,1/

10、b,xo O),其中参数a, b需要通过拟合得到。(1)的解为设已知连续三年的数据x(t)bXob exp( at)(2)x(t)x(t2),x(t3)苴中 t3 t2t2t10,则由(2)得方程组exp(at1)xo1X1exp(at1aT)xo1xoexp(at12aT)x3这三个方程中有三个未知量a,b,xo可以解出a,b如下：将(3)中第一式代入第二、三式消去xo1一 b exp( aT) x11乂21x3一 b exp( 2aT) x1消去a后得b满足的方程1Xi1X2X3(X2)2X1X3X2J2X3X1X22X1X3)(6)解得代入（4）的第一式得a满足的方程ln X3MX1 )

11、X1(X3X2)求参数a,b的MATLAB程序function a,b, q=hare(p,T) %输入单调的连续三年数量p和时间间隔T（本题T=1）,输出参数a, b和下一年的数量q a=log(p(3)*(p(2)-p(1)/(p(1)*(p(3)-p(2);b=(p(2)八2-p(3)*p(1)/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3)/p(2);q=1/(b+(1/p(3)-b)*eXp(-a*T);在第一个上升阶段，对于连续三年（0, 1 , 2）和（1, 2, 3）分别0.099998990654180.10000006995945计算得到二组a, b值0.

12、999996295432801.00000189673056在下降阶段，对于连续三年（3, 4, 5）和（4, 5, 6）分别计算得到的二组a, b值0.499999514703010.499983964746560.200000053216010.20000085565547在第二个上升阶段，对于连续三年（6, 7, 8）和（7, 8, 9）分别 计算得到的二组a, b值1.000005087174110.100000057968451.000009756401800.10000014562299当取a, b为最后一组数据时，T=10时由（2）得到预测数为10.1 （十万），当取a=1 ,

13、b=0.1时，预测数为10.1 （十万）.（M为兔子饱 和值）（3） M=10J （十万），用类似于（1）的方法，得到的表格:时间 （年）统计得到的兔子数 量（十万）通过函数计算得到的兔子教员 （十万）百分误差0L 00000L 000000.00000%12. 319692. 31103-0. 37300%24*3085314, 49235-0. 33900%38905686. 906850. 01700%46.005128. 6234443. 60100%55. 564959. 4976970. 67000畤65. 328075. 328070.00000%77. 561017. 4765

14、8-1. 11700%8& 93920& 87936-0, 670004r g9. 581709. 583840.02200%109. 89129表5-3从表格中看出:此时，第十年的野兔数帝为989129只, 这个时候的对比图形:结论是：dxx(1 0.1 x)在T=0到T=3之间增长规律为logistic模型：出.在t=3到t=6之间增长规律有异常情况，但仍为logistic模型；：dx一 0.5x(1 0.2x) dt.dxx(1 0.1x)在t=6到T=9之间增长规律恢复为logistic模型：dt在T=10时，在正常情况下，野兔数量为10.8156 (十万)只.模型的误

15、差分析这里我们需要讨论几个造成模型误差的问题， 它们都很有实际意义。 一个是模型对初值的依赖性问题， 另一个是模型对参数选取的依赖性问题。模型的优缺点模型的评价与推广模型评价一开始我们根据生物学的知识， 对种群数量的饱和值取了一个估计值，而事实上，我们在估计了 M=10左右的几个值后，又分析了不同的 M 值对模型解的影响， 从而得出我们对M 值的估计具有一定的现实性和真实性。 在考虑初值误差对模型解影响过程中，我们采用常微分知识， 考虑解对初值的依赖性和解对参数的依赖性， 这种思路对于实际研究具有极其重大的现实意义。该模型的使用范围是： 在一定的空间区域内， 不考虑环境的重大变化对生物种群的影

16、响，而是按照该区域的一般自然规律。同样，这也是本模型的不足之处， 因为现实中， 我们研究的生物种群可能对环境的依赖性很强， 那么环境的影响就是一个重要的因素， 但是我们也意识到要用一个很具体的模型， 该模型考虑现实中的每一个因素， 并且表示这些因素的表达式又是简单的数学式， 要找这样的模型是很困难的， 而我们采用的模型在绝大部分同类问题中所体现的优越性是易见的，并且我们在以上的分析中也给出了相对较好的模型。模型的推广这个模型是针对一定空间区域内， 在一般规 律下，对生物种群 数量随时间的变化范围作出的估计。这种估计对于研 究某一区域内 的种群有直接的好处，也利于人类研究人类自身。对于一定区域内

17、的生物 种群，如果考虑种群生存环境的一般现 象，我们可以从事实上看到我们应用的模型对于该类 问题的解决有 重大的预见效果。现在，在关于生物种群数量的研究中，有很多种方法，而logistic模型对于这类与现实搭配的事实更趋于成功。由以 上的分 析，我们看到了该模型对于相对较小误差的测量，是可以得到相当准确的预测值的。于是，我们认为，在环境不发生重大改变的情况下 ， 研究生物种群数量与时间的关系就可以采用我们在解决本问题时的 解法。东华理工大学长江学院课程设计评分表学生姓名：郭耀文 、叶协波、周超太 班级：1331702班学号：201330170223、201330170231、201330170221课程设计题目：野兔生长问题项目内容满分实评选题能结合所学课程知识、有f的能力训练。符合选题要求（3 人一®）5工作量适中，难易度合理10能 力水 平能熟练应用所学知识，有f查阅文献及运用文