数值分析第五版答案

1、第一章 绪论1 .设x 0 , x的相对误差为 解：近似值x的相对误差为，求ln x的误差。* e% 7 1.0.是二位有效数字。4.利用公式求以下各近似值的误差限：(1) x* x2 x；,(2) x；x*x；,(3) x；/x；.其中K,x2,x3,x4均为第3题所给的数。解： x* x=er -x* x*1而In x的反差为e ln x* In x* In x e* x*进而有 (ln x*)2 .设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。xf (x)解：设f(x) xn,那么函数的条件数为 Cp |(-)|f(x)n 1又；f(x) nxn1, Cp | x nx | nn又：r(x*)

2、n) Cp r(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n) 0.02n3 .以下各数都是通过四舍五入取得的近似数，即误差限不超过最后一名的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：x* 1.1021,x2 0.031, x3 385.6, x4 56.430,x； 7 1.0.解：为 1.1021是五位有效数字；* . . .x2 0.031是二位有效数字；* _ _ _ _ . . . .x3 385.6是四位有效数字； * - - . _ _ x4 56.430是五位有效数字；*(X1)10*(X2 )10*(X3)10*(X4)10*(X5)10*(1) (X1*(X1)1102*、X2X

3、4)*(X2)(人)10321031.05 10* * *、(2) (X1X2X3)X1X2 (X3)* *X2X3*(X1)X1X3 (X2)1.1021 0.03110 10.031 385.61.1021 385.60.215* *(X2/X4)X2(X4) X4*(X2)*X4130.03110 3 56.4302 56.430 56.4302 10310 55计算球体积要使相对误差限为1,问气宇半径R时许诺的相对误差限是多少?C43解：球体体积为V R3那么何种函数的条件数为又r (V*) 1故气宇半径R时许诺的相对误差限为r(R*) 1 1 0.33316.设 Y0 28,按递推公

4、式 Yn Yn 1 /783(n=1,2,)100计算到Y00。假设取7783 27.982 (5位有效数字)，试问计算Y00将有多大误差?1解：Yn Yn 1.783100Y100 Y99 783100Y99 Y98 7783100丫98 Y971.783100Y1 Y0 /7831001依次代入后，有 Y00 Y0 100 . 783100即 Y00 X 7783,假设取 783 27.982,丫00 Y0 27.982*_ 1_ 3(Y00)(Y0)(27.982)- 10213Y00的误差限为10 3。2/783 27.982）。27 .求方程x 56x 1 0的两个根，使它至少具有4

5、位有效数字解：x2 56x 1 0,故方程的根应为 42 28 7783故 X1 28783 28 27.982 55.982X1具有5位有效数字x2 2878328 ,78328 27.98255.9820.017863X2具有5位有效数字N 118 .当N充分大时，如何求 2dx?N 1 x22 dx arctan(N 1) arctan N1 x设 arctan(N 1), arctan N。则 tan N 1,tanN.dxarctan(tan( )tantanarctan 1 tan *tanN 1 N arctan1 (N 1)N1 arctan N N 129.正万形的边长大约为

6、了100cm,应如何测量才能使其面积误差不超过1cm ?解：正方形的面积函数为 A(x) x1* 2；g(t )29 (t*) t(A*) 2A* (x*).当x* 100时，假设(A*) 1,1_ 2则(x*)1021cm2故测量中边长误差限不超过时，才能使其面积误差不超过1210 .设S gt2,假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的 2绝对误差增加，而相对误差却减少。10解：；S -gt2,t 0(S*)gt2, (t*)当t*增加时，S *的绝对误差增加r(S*)(S*)S*2gt * (t*)当t*增加时，（t*）维持不变，那么 S*的相对误差减少。11

7、.序列 Vn知足递推关系yn 10yn1 1 (n=1,2,)，若y0 22 1.41 (三位有效数字)，计算到y10时误差有多大？那个计算进程稳固吗?解：vy02 1.411 2(y。*)- 102又10yn 1 1y1 10yo 1(yJ) 10 (y*)又.y2 10yl 1(y2*)10 (y*2*)108. 一 108,那个计算进程不稳固。 (y*)(y10*)10110-21010 (y0*)10 2计算到y10时误差为12.计算 f ( ,21）6,取拒,利用以劣等式计算，哪个取得的结果最好?1(2 1)6(3 2 /2)3,1(3 2.2)399 707201 108 2解：设

8、 y (x 1)6,*1若 x V2, x 1.4 ,那么 x - 102假设通过_1_(2 1)6计算y值，那么(x6*7 y(x 1)11)7(3_ * 22x ) * x假设通过(3 2物3计算y值，那么63 2x*y假设通过1(3 2.2)3计算y值，那么1 4 (3 2x )414u21 *-r y x(3 2x )*y x通过(3 2 .2)3计算后取得的结果最好。13.f (x) ln(x Jx2 1)，求f (30)的值。假设开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？假设改用另一等价公式。in(x xl)ln(x M)计算，求对数时误差有多大? 解-f(x)f (30) ln

9、(30899)设 u . 899, y f (30)*则u1 I 0.01673假设改用等价公式ln(xx21)ln(xx21)则 f (30)ln(30 . 899)现在，*y r uu1* u 59.98337第二章插值法1.当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4，求f(x)的二次插值多项式。 解：x0 1, x11, x2 2,f(x。) 0,f(x1)3,f(x2)4;l0(x)Jxx1)(xx2)、1(x1)(x 2)(xXi)(Xox2)2(x x0)(x x2)11i(x)-2(X 1)(x 2)(Xi Xo)(Xi X2)6(x x0)(x x1)1l2(x)7A一世；-

10、(x 1)(x 1)(X2 Xo)(X2 Xi)3那么二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yJk(x)k 031o(x) 4x)1 4(x 1)(x 2) -(x 1)(x 1)2 35 2 37x - x -6232.给出f (x) ln x的数值表Xlnx用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。解：由表格知，X 0.4凶 0.58 0.6死 0.7,X4 0.8; f(x0)0.916291,f (%)0.693147f(X2)0.510826,f(X3)0.356675“X4)0.223144假设采纳线性才f值法计算ln 0.54即f (0.54), 则 0.5 0.54 0.6

11、l1(x) 土玉10(x 0.6)X1 X2l2(x) 上210(x 0.5)X2 XL1(x)f(X1)lKx) f(X2)l2(x)6.93147( x 0.6) 5.10826( x 0.5)L(0.54)0.62021860.620219假设采纳二次才f值法计算ln 0.54时,l0(x)l1(x)l2(x)(X x)(x X2) (X0 X1)(X0 X2) (x x)(x X2) (X1 X0)(X1 X2)(x X0)(X X1)(X2 X0)(X2 X1)50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)(x 0.6)50(x 0.4)(x 0.5)L2 (x)f (x)l

12、(x) WxMx) f(X2)l2(x)50 0.916291(x 0.5)(x 0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)(x 0.5)L2(0.54)0.615319840.6153203.给全cosx,0 x 90的函数表，步长 h 1(1/60),假设函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差能够分为两个部份，一方面，x是近似值，具有 5位有效数字，在尔后的计算进程中产生必然的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采纳的线性插值法插值余项不为0,也会有必然的误差。

13、因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当 0、x 90 ,时，令 f (x) cosx1 .1取 X0 0,h ()6060 180 10800令 x x0 ih,i 0,1，,5400则 x5400902当x xk,xk 1时，线性插值多项式为L/x) f(xjx xk1f(x-) x xkxk xk 1xk 1 xk插值余项为R(x) cosx L1(x)1 、-f ( )(x xk)(x xk 1)2故计算中有误差传播又,在成立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1进程。15(f(xk)2 10R2(x)* x xk 1(f (xk)xk xk 1_ *(f (xk

14、1)x xk 1xk 1xk(f*(xk)(242上)xk xk 1 xk 1 xk*/、 1 ,、(f (xk) (xk 1 x x xk) h_ *(f (xk)总误差界为R R(x) &(x)1-(cos )(x Xk)(X2Xk 1)_ *(f (Xk)1 ，、，、一(X Xk)(Xk 1 X)2_ *(f (Xk)12(2h)_ *(f (Xk)1.06 10 80.50106 104.设为互异节点，求证:n(1)Xklj(X)Xk(k 0,1，,n);j 0n (Xj x)klj(x) 0 (k 0,1，,n); j 0证明(1)令 f (x) xkn假设插值节点为xj, j0,1

15、，,n,那么函数f (X)的n次插值多项式为Ln(x)x：(x)。j 0插值余项为Rn(x)f (x) Ln(x)f (n 1)(n 1)!n 1(X)又,k n,f (n 1)( ) 0Rn(x) 0nkk 一.Xjlj(x) x (k 0,1，,n);j 0n k(Xj X) lj(x)j 0n n(Ckx；( x)ki)lj(x)j 0 i 0nnCk( x)ki( xjlj(x)i 0j 0又0 i n由上题结论可知xklj(x) xij 0n原式ck( x)kixii 0(x x)k0得证。 25设 f(x) C a,b 且 f(a) f (b) 0,求证:max f (x)a x

16、b 8(b、2a) maxa x bf (x).解：令/ a,x b,以此为插值节点，那么线性插值多项式为Li(x) f(xO) x x1f (xi)xx0x0 xx x0x bx a=f(a) f(b)a bx a又 f (a) f (b) 0Li(x) 01 -插值余项为 R( x) f (x) L|(x)f (x)(x x0)(x x1)2f(x)1-f (x)(x2%)(x x)%)(x x)2(x 4(x1 4(bx0)%)2a)2(xi2x)maxa x bf(x)18(b、2a) maxa x bf (x).6.在 4 x4上给出f(x)ex的等距节点函数表，假设用二次插值求ex

17、的近似值，要使截断误差不超过10 6 ,问利用函数表的步长 h应取多少？解：假设插值节点为 x 1，xi和xi 1,那么分段二次插值多项式的插值余项为1&(x) 3! f ( )(x Xi 1)(X Xi)(X Xi 1)R2(x)1,、,-(x Xi i)(x6X )(x Xi 1) maX f (x)4x4R2(X)% .2=h363.334h3.27设步长为h，即xi 1xi h,xi 1 xi h假设截断误差不超过10 6 ,那么R2(x) 106 e4h3 10627h 0.0065.7.假设 yn2n,求 4yn及 4yn.,解：依照向前差分算子和中心差分算子的概念进行求解。yn

18、2n4yn (E 1)4yn4(1)jj 04(1)jj 04(1)jj 0E4 jyn4y4 n j j24 jyn(2 1)4yn yn2n114yn (E万 E2)4yn1(E 2)4(E 1)4ynE 2 4ynyn 22n 28 .若是f(x)是 m次多项式，记f(x) f(x h) f(x),证明f(x)的k阶差分k f (x)(0 k m)是m k次多项式，而且m1f(x) 0(l为正整数)。证明：由上题结论可知解：函数f (x)的Taylor展式为f(x1h) f(x) f(x)h 2 f(x)h2其中(x,x h)f(x)是次数为m的多项式f(m1)( ) 0f(x) f(x

19、 h) f(x)1 2f(x)h 2 f (x)h1m!f(m)(x)hmf(x)为m 1阶多项式2f(x) ( f(x)2f (x)为m 2阶多项式依此进程递推，得k f (x)是 mk次多项式mf(x)是常数当l为正整数时,m 1f (x) 09.证明(fkgk)fk gk证明(fkgk)fk 1gkfkgkfk 1gk 1gk 1( fkfkgkfk)fkgk 1fk(gk 1fkgk gk)fkk gkgk 1得证10.证明1fk gk0f ngnfogo1gk 1 fk0fk gk(fkgk) gk 1 fkn 1fk gkk On 1(fkgk)k On 1(fkgk)k Ogk

20、1fk)(fkgk) fkn 1(fkgk)k O(fgfngnfogo) fogon 1fkk Ogk得证。11.证明n证明yj得证。12.假设n证明：n 1gk k O1gk 11fkfkgk(f2g2 相)(fngn fn1gn1)fn gnfogon 1gk 1 k OfkyjynV。f(x)kXjyj iyj)(yiy。)(y2y1)(yn yn 1)yny。a1x nan 1x1 anxn有n个不同实根 x1,x2，,xn,j1 f (xj)0,0 k n,kn 2;n 1证明：f(x)有个不同实根x1,x2，xn且 f (x)n 1aoax an 1xn anxf(x)an(xK

21、)(x x2)(xxn )令 n(x)(xx1)(x x2)(xxn)nkn xj1 f (xj)j1 an n(xj)而 n(X)n (Xj )(XjX1)(Xj X2)(XjXj 1)(Xj Xj1)(Xj Xn)令 g(X)Xi,X2，XnkXj1 n(Xj)X1，X2，Xnn kxjj 1 n(Xj)(x X2)(X X3)(x Xn) (x Xi)(X X3)(X Xn) (X X)(X X2)(X Xn 1)n k n Xj r(X5kXjj1 f (Xj)0,0 k n 2; n01,k n 11g X，X2，Xn an得证。13.证明n阶均差有以下性质:(1)假设F (x)cf

22、(x),那么 FXo,X1，,XncfX0,X1，Xn；(2)假设F(x) f(X)g(x)，那么 F X0,X1，,Xnf X0,X1，Xng Xo,X1，Xn .证明:Xi,X2，Xnf(xj)0 (Xj X0)(Xj Xj 1)(Xj Xj 1)(Xj Xn)F X1,“，XnF(xj)j 0(Xj X0)(Xj Xj 1)(Xj Xj1)(Xj Xn)cf(xj)j 0 (Xj X0)(Xj Xj 1)(Xj Xj1)(Xj Xn)nc(fxj)0(Xj X0)(Xj Xj 1)(Xj Xj1)(Xj xn)cf%,Xi，Xn得证。 Fx)f(x) g(x)F %,XnF(xj)j 0

23、 (xj %)3 xj 1)(xj xj1)区 xn)f(xj) g(xj)jo(xj xo)(xj xj i)(xj xj 1)(xj xn)f(xj)j 0 (xj xO)(xj xj 1)(xj * 1)( xn)g(xj)jo(xj xo)(xj得证。f x。，,4gXo,，Xn14. f (x) x7x4 3x 1,求 F20,21，,27 及 F 20,21，,28解： f(x) x7 x4 3x 12i,i 0,1，,8x。，”,，、f(n)()n!xo，一,x7J4)7!7!1 7!f xo,X1%a 08!xj 1)(xj xj 1) (xj xn)15.证明两点三次埃尔米特

24、插值余项是R3(x) f ()(x xk)2(x xk 1)2/4!,(xk,xki)解: 若x xk,xk 1,且插值多项式知足条件山(4)f(xk),H3(xk)f (xk)H3(xk1) f(xk 1),H3(xk 1) f (xk 1)插值余项为R(x) f (x) H3(x)由插值条件可知 R(xk) R(xk1) 0且 R(Xk) R(Xki) 02 . 2R(x)可与成 R(x) g(x)(x xj (x Xk i)其中g(x)是关于x的待定函数，现把x看成xk,xk 1上的一个固定点，作函数(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk1)2依照余项性质，有(x

25、k)0, (xk 1) 0一22(x) f (x) H3(x) g(x)(x xk) (x xk 1) f(x) H3(x) R(x)022(t) f(t) H3(t) g(x)2(t xk)(t xk1)2 2(t xk1)(t xk)2(xk) 0(xk 1)0由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和(x,xk1),使(1) 0, ( 2) 0即(x)在xk,xk 1上有四个互异零点。依照罗尔定理，(t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点，故(t)在(xk, xk 1)内至少有三个互异零点，依此类推，(4) (t)在(xk ,xk 1)内至少有一个零点。记为(xk,xk1)使()f()H3(

26、4)( ) 4!g(x) 0又也 0、f(4)( ).、g(x) 一，(xk,xk 1)4!其中依托于xf ( )22R(x)(x Xk) (x Xk i)4!h,即分段三次埃尔米特插值时，假设节点为xk(k 0,1, ,n),设步长为XkXo kh,k 0,1,n在小区间4?上R(x)3(x4!xk)2 *(x xki)24i(xxk)2(xk 1R(x)沙()(x xk)2(x xkl)22 - 工(4) / x) max f (x)7 a x b 1Kx xk xk1 x)2max f (x)4!2a x b1611 .4 工(4) /、一Fhmaxf(x)4!24a x b-h4f (

27、4) /maxf (x)384 axb求一个次数不高于 4次的多项式x ), 使它知足P(0)P(0) 0,P(1) P (1) 0,P(2) 0解：利用埃米尔特插值可取得次数不高于4的多项式x 0,x1 1Vo 0,y1 1m0 0,m1 111(x)yj j(x)mj j(x)j 0j 0(x) (1 2)()2 x X x x1(1 2x)(x 1)21(x)(1 2T)22232H3(x) (3 2x)x2 (x 1)x2x3 2x2设 P(x) H3(x) A(x xo)2(x xi)2其中，A为待定常数-/ P(2) 1P(x) x3 2x2 Ax2(x 1)2A 141 22从而

28、 P(x) -x (x 3)4Ih(x),17.设f(x) 1/(1 x2),在5 x 5上取n 10,按等距节点求分段线性插值函数计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估量误差。解：若 x5,x,o 5那么步长h 1,为x0 ih,i 0,1，,10f(x)11 x2在小区间xixij上，分段线性插值函数为x xi 1x xiIh(x) f (xi) f (xi 1)xi xi 1xi 1 xi(x 1x)1 xi2(xx)112 xi 1各节点间中点处的Ih(x)与f (x)的值为当 x4.5时，f(x)当 x3.5时，f (x)当 x2.5时，f (x)当 x1.5时，f(x)当

29、 x0.5时，f (x)0.0471,Ih(x) 0.04860.0755,Ih(x) 0.07940.1379,Ih(x) 0.15000.3077,Ih(x) 0.35000.8000,Ih(x) 0.75004H至庆左max f (x) xi x xi iIh(x)h2一max f ()8 5x5又f (x)f (x)11 x22xf (x)f (x)22 , (1 x )6x2 23273(1 x )324x 24x2a2.4(1 x )令 f (x) 0得f(x)的驻点为x21和乂3 0.1 .f (x1,2) 2,f(x3)2max f (x) I h(x) 5x5并估量误差。，,

30、n 1,18 .求f (x) x2在a,b上分段线性插值函数Ih(x), 解： 在区间a,b上，xo a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1/hmax hi0 i n 1 i-2f(x) x函数f (x)在小区间x,xi1上分段线性插值函数为Ih(x)xxixi 1xif(x)；%2(X1 x) xi 12(x x) h误差为maxx x *i 1f(x) Ih(x)1 max8a bf ()虫2,* f(x) x2f (x) 2x, f (x)max a x bf(x) Ih(x)19.求f (x) x4在a,b上分段埃尔米特插值，并估量误差。在a,b区间上,解:xo a,%b,hi

31、x1xi,i0,1，n 1,令 h max hi 0 i n 1/ f (x) x4,f(x) 4x3函数f (x)在区间x ,xi 1上的分段埃尔米特插值函数为Ih(x)(土兵)2(1 2xixiH)f(xi) xi 1 xi(xi 1J2(1xi2-jf (xi 1)(土上)2(xxi xi 1xi) f (xi)xi1)f (x 1)4 2Mx hix 14 /3-(x h3x 1)2(hxi)2(hi2x 2x)2x 2xi 1)4x h24为3-(xxi 1 )2 (xX)(xX)2(xxi 1)误差为f(x)1Ih(x)一f ( 4!22)(x xi) (x xi 1)1max24

32、 a x bf(4)()(?)又/ f (x) x4f (x) 4! 24max f (x) Ih(x) a x bmax0 i n 1 16h41620.给定数据表如下:XjYj试求三次样条插值，并知足条件:(1)S(0.25) 1.0000, S (0.53) 0.6868; S (0.25) S (0.53) 0.解：h0 x1 x0 0.05h1 x2 x1 0.09hjh2 x3 x2 0.06 h3 x4 x3 0.08hj 1hj 1hj14,j35,hj 1hj924 d1 u, 2 5, 3 7, 0 1f x0,x1f(xf 0.9540Xi Xof x1,x2 0.853

33、3f x2,x30.7717f x3,x40.7150(1)S(Xo) 1.0000,S(X4) 0.6868，6 , 、d0一(f x1,x2f0)5.5200h。di 6fx1，X2fX0，X1h0hi4.3157f x2,x3f x1,x2d2 623.2640% h2f x3,x4f x2,x3d3 6 2.4300h2 h36d4(f4 f x3,x4 )2.1150h3由此得矩阵形式的方程组为914237M0M1M2M3M4, 5.5200、4.31573.26402.43002.1150求解此方程组得M02.0278,M11.4643M21.0313,M30.8070,M40.6

34、539;三次样条表达式为S(x)(yj(xj 1 x)36%(x xj)36%2M jhjxj 1 x6 )hj(yj 12M j 1hjx xj6) hj(j0,1，n 1)将MoMhMzMM代入得6.7593(0.30x)34.8810(x0.25)310.0169(0.30x)x 0.25,0.3032.7117(0.39 x)x 0.30,0.39S(x)32.8647(0.45 x)331.9098(x 0.30)6.1075(0.39 x)2.2422( x 0.39)3 10.4186(0.45 x)x 0.39,0.45331.6817(0.53 x) 1.3623(x 0.4

35、5)8.3958(0.53 x)10.9662( x 0.25)6.9544( x 0.30)10.9662( x 0.39)9.1087( x 0.45)x 0.45,0.53S(&) 0,S (x4) 0d0 2 f0 0,d14.3157,d23.2640d32.43004 2 f4 0040由此得矩阵动工的方程组为M0 M4 014M1M2M34.31573.26402.4300求解此方程组，得M0 0,M11.8809M20.8616,M31.0304, M4 0又,/三次样条表达式为S(x)Mj(xj 1 x)36hjMj(x 为)36hj2Mjhj 为 1 x6hj2M j 1%

36、 x xj6hj将 M0,M1,M2,M3,M4 代入得S(x)21 .假设36.2697( x 0.25)x 0.25,0.303.4831(0.39x 0.30,0.392.3933(0.45x 0.39,0.452.1467(0.53x 0.45,0.5310(0.3 x) 10.9697( x 0.25)x)33 x)x)331.5956( x 0.3)6.1138(0.39 x)2.8622( x 0.39)3 10.4186(0.458.3987(0.53 x) 9.1(xf(x) C2 a,b ,S(x)是三次样条函数，证明:(x)f (x)a2b2dx a S (x) dx2b

37、S (x) dx 2 S (x) f (x) S (x) dx a0.45)6.9518(x 0.30)x) 11.1903( x 0.39)(2)若 f(x)S(x)(i0,1,n),式中x为插值节点，且x1么bS (x) f (x) S (x) adxS(b)证明：f(b) S(b)S(a) f(a) S(a)ba fbfabfa(x) S(x)2dx从而有bfab解:(x)(x)2dx2dx(x) 2dxf (x)f(x)S (x)S(x)S(x)2S (x) dx2dx2dx2dxb2 s (x) a第三章bf (x)S (x)dx abS(x) f (x) S(x) af (x) S

38、 (x) dxdx函数逼近与曲线拟合给出0,1上的伯恩斯坦多项式B(f,x)及B3(f,x)。,J f(x) sin -, x 0,12伯恩斯坦多项式为Bn(f,X)其中Pk(x)kn kX (1 x)当n 1时，1P0(x)0 (1 x)P(x) xB(f,x) f(0)P0(x) f(1)P(x)(1 x)sin(- 0)xsin 一 2x当n 3时，13P0(x)n (1 x)30122P(x) x(1 x) 3x(1 x) 0322P2(x)x (1 x) 3x (1 x)1P3(x)3 x3 x33 kB3(f,x)f(-)Pk(x)k 0 n0 3x(1 x)2in 3x2(163

39、2 3、, 3 2-x(1 x) x (1 x)22x)*sin 一33x3_.x sin 一25 3 3 3 3.3 6 23x x x222231.5x 0.402x0.098x2.当 f(x) x时，求证 Bn(f,x) x证明：若f(x) x,那么n kBn(f,x)f(一)Pk(x)k 0 nkf(一)Pk(x) k o nxk(1n k x)n k n(n 1)(n k 1)k!kn kx (1 x)n (n 1)- (n 1) (k 1) 1(k 1)!kn kx (1 x)kn kx (1 x)k 1(n 1) (k 1)x (1 x)xx(1n 1 x)3.证明函数1,x,x

40、n线性无关证明：2 n右 a0 a1x a2xanx0, x R别离取xk(k 0,1,2,n),对上式两头在0,1上作带权(x) 1的内积，得aoa112n 1an此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异, 只有零解a=0。函数1,x,xn线性无关。4。计算以下函数f(x)关于C0,1的|叶，1fli与|f|2：(1)f(x) (x 1)3,x 0,1r1 f (x) x 2,(3) f (x) xm(1 x)n,m 与 n 为正整数， f(x) (x 1)10ex解： 若 f(x) (x 1)3,x 0,1,那么2f (x) 3(x 1)2 0f(x) (x 1)6若f(x) xm

41、(1 x)n,m与n为正整数当 x 0,1 时，f (x) 02(n m) 1!若 f (x) (x 1)10e x在(0,1)内单调递增max f (x) 0 x 1 max f (0) , f (1)max 0,11max f (x)0 x 1 ，max f (0) , f (1)max 0,111f 2( 0(1 x) dx)21 . 1 17(1 x)702卫70,1 ,那么4.1(2)若f(x)x-,x2II f Imaxf (x)-1110 x 121f10 f (x)dx1 12 1(x )dx221411f 2 ( 0 f 2(x)dx)21 1 210(x 2)2dx2m 1

42、n mn 1 ,f (x) mx (1 x) x n(1 x) ( 1)m 1 n 1 n m 、x (1 x) m(1 x)m当 x (0,一)时，f(x) 0 n mf (x)在(0,)内单调递减 n m当 x (上一,1)时，f(x) 0 n mf (x)在(,1)内单调递减。 n mx (,1)f (x) 0n mIIf I maxlf(x)max f (0) , f () n mm n m n_、m n(m n)1f 10f(x)dx1o xm(1 x)ndx2 (sin2 t)m(1 sin 2t)nd sin2t3 sin 2mt cos2n t cost* 2* sin tdt

43、 0n!m!(n m 1)!1 1f 2 0x2m(1 x)2ndx2_12 . 4m 4n2202sin t cos td (sin t)2_1022sin4m1tcos4n1tdt2(2n)!(2m)!f (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x) (x 1)9ex(9 x)0f (x)在0,1内单调递减。则 f (x) 0maxf(x)max f (0), f(1)210e1f10f(x)dx1 _0(x 1)10e xdx(x 1)10ex；10(x 1)9e xdx5”e1 1f 2 0(x 1)20e2xdx27(3当4 e5。证明 f gl II f g证明：f(

44、f g) g f g g f g f g1.6。对 f (x),g(x) C a,b,概念b(1)(f.g) a f (x)g (x)dx ab(2)( f.g) f (x)g (x)dx f(a)g(a) a问它们是不是组成内积。解：令f (x) C (C为常数，且C 0)而（f,f）f (x)f (x)dx a这与当且仅当f 0时，(f,f) 0矛盾不能组成C1a,b上的内积。b(2)若(f,g) f(x)g(x)dx f(a)g(a),那么 ab(g, f) g(x)f(x)dx g(a) f(a) (f ,g), K a b(f ,g) f (x) g (x)dx af (a)g(a)

45、abf (x)g (x)dx f (a)g(a) a(f ,g)h C1a,b,那么b(f g,h) f(x) g(x) h(x)dx f(a)g(a)h(a) a bbf (x)h (x)dx f (a)h(a) f (x)h (x)dx g(a)h(a) aa(f,h) (h,g)b2.2(f,f) f (x)2dx f2(a) 0 a若(f , f) 0,那么b22af (x) dx 0,且 f2(a) 0 af (x) 0,f(a) 0f(x) 0即当且仅当f 0时，(f,f) 0.故能够组成C1a,b上的内积。*17。令 Tn(x) Tn(2x 1),x 0,1,试证 Tn(x)是在0,1上带权(x)/2 的正父, x x多项式，并求T(x),T1 (刈工工。解：-4-4- *.右 Tn(x) Tn(2x 1),x 0,1,那么 * *0Tn (X)Tm(X)P(X)dX1 10Tn(2x 1)Tm(2x 1)d