k导数的概念和应用(陈杰)

1、本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考导数及其应用 温州八中 陈杰一. 设计立意及思路： 导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对 学生进行理性思维训练的良好素材。 从近几年的高考命题分析， 高考对到导数的 考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证 明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关 不等式和函数的单调性、 方程根的分布、 解析几何中的切线问题等有机的结合在 一起，设计综合试题。正是基于以上的认识，本专题在例题设计上

2、也是逐层递进，而在每一个例 题上又注意一题多解和多题一解， 并且逐步拓展， 使学生能循序渐进的掌握知识 和方法，二. 高考考点回顾：1. 考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线 的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数 的概念。熟记基本导数公式（c, xm （m为有理数），sinx , cosx, ex, ax, lnx , lOg aX的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导 法则,会求某些简单函数的导数。（3） 了解可导函数的单调性与其导数的关系。 了解可导函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件

3、（导数在极值点两侧异号） 。会求一些实际问题（一般指 单峰函数）的最大值和最小值。2. 近 5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：科别年份题型题量分值考查内容文科2000解答题114导数在实际中的应用2001解答题112利用导数求函数的单调区间2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003解答题112利用导数求曲线的切线方程2004(浙江卷)解答题112求函数导数。利用导数求最值，解有关单调性冋题。理科2000解答题112导数在实际中的应用2001选择、解答题各1题5+12利用导数求函数的极值和证明函数的单调性。2002解答题112综合运用导数的几何意义证明不等式2003选择、解

4、答题各1题5+12导数的几何意义，利用导数求 函数的单调区间2004(浙江卷)选择、解答题各1题5+12导函数的概念，；利用导数求曲 线的切线方程，求函数的最值。.基础知识梳理:1.导数的有关概念定义：函数y=f(x)的导数f/(x),就是当x > 0时，函数的增量：y与自变量的增的极限，即f/(x)二二 0严 _x)-f(x)。(2) 实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。(3) 几何意义：函数y=f(x)在点xo处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(xo,f(x 0)处的切线的斜率。2.求导的方法：(1) 常用的导数公式:C=o( c为常数)；(xn)/=m)<

5、-1(m Q);(sinx) /=cosx;(cosx) /= -sinx ;(ex)/=ex;(ax) /=axl naZl 、/ 1 (ln x) ;x1 (log ax)/ logae.x两个函数的四则运算的导数:(u -v)/-v/;(uv)/ = u/v uv/;/ /u V uv2 (V = 0).V 复合函数的导数：y'x = y/u u/x3. 导数的运用：(1) 判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如 果f/(x)<0，则f(x)为减函数。(2) 极大值和极小值。设函数f(x)在点X。附近有定义，

6、如果对X。附近所有的点，都有f(X)<f(X 0)(或f(x)>f(x 0),我们就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。(3) 函数f(x)在a,b上的最大值和最小值的求法。四.例题讲解：例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2) 若 f(x)在 R上可导，且 f(x)= -f(x) ，求 f/(0) 0(1) 解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量 y与自变量的改变量 x之比 二一凶一，当x- 0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0xx处的导数。记作fhoziim3f(0 x) - f(0)x 解法一 ： f(x)= f(-x) ，

7、则 f( x)= f(- x)f (- x) - f (0)-x/f( x)-f(0):f(0) Fmr- Tixm当x 0时，有-x 0:f/(0H-ijmf x)xf(0-f/(0):.f/(0) =0。解 法二：T f(x)=f(-x),两边对 x 求导，得f/(x)二 f/(x) (x)/ f/(x)f/(0) f/(0) f/(0) =0。评析：本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。题(2)可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x), 所以函数y=f(x)为偶函数，它 的图象关于y轴对称，因此它在x=xo处的切线关于y轴对称，斜率为互为相 反数，点(0,f(0)位于y轴

8、上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴(当f(0)=0时，与x轴重合)，于是有f/(0)=0。在题(2)的解二中可指 出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导 函数为偶函数吗？例2.设f(x)在点X。处可导，a为常数，则f(x° a x) - f(x° - a x)叭x等于()A.fYxo)B.2af/(xo)C.af，(xo)D.0解：f (x0 a. ：x) - f (x0 -a. ：x)Zlim.x0f (X0a. ：x) _ f (Xo)f (Xo) _ f(X0 _ a. ：x)Z二 a lima J0f(x°a.：x

9、)_f(x°)f (Xo _a.：x) _ f (Xo)a lima=xa=x= 2af /(xo)故选(C)评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的 导数的定义的掌握。例3. 一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。(人教版高三数学 教材(选修U)第三章复习参考题 B组第6题)解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为 x轴、y轴建立直角坐标系系(如图)，t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，则两汽车和气球的距离<(50t)2 (10t)2/ 1 1 2 2S/ (t

10、)(2 502t 2 102t)2 J(50t)2+(10t)2令 t=1,/1122s/ (1)(2 502 2 102)2 J(50)2 +(10)2=10、26故1h后它们彼此分离的速度为10 26km/h。评析：本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生 用所学数学知识处理实际问题的能力。2004年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。例4.已知抛物线C: y=x2+2x，按下列条件求切线方程：切线过曲线上一点（1, 3）。拓展：已知抛物线 G: y=x2+2x和G: y= -x 2+a，如果直

11、线I同时是 C和C2的切线，当a取何值时，C和C2有且仅有一条切线？写出此公切线的 方程。（2003年全国高考卷新课程（数学文科）（2）切线过抛物线外的一点（1,1）。（3）切线的斜率为2。拓展：点P为抛物线C: y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2 的最小距离为。评析：本题考查曲线y=f（x）在点X。处的导数的几何意义：曲线y=f（x） 在点P（x°,y°）处切线的斜率。以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导 数几何意义的应用。第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一般化，考 查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。第（3）小题

12、的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题 一解的类型。例5.设f/（x）是函数f（x）的导函数，y=（x）的图象如右图所示，则 答案：(C)y=f（x）的图象最有可能是（）（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第题）6 / 10评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。1令f(X)=-X-X2 1，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：3求f(x)的极值；在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。如让学生判断下 列说法是否正确：极大值一定比极小值大；区间的端点一定是极值点； 导数为0的点一定是极值点；极值点一定是导数为0的点。从而进一步强调求极值的方法。(

13、2)求y=f(x)在x 0,3上的最值；让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数 最值的基本思路。(3)用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器 的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少是容器的容积最大？并求出它 的最大容积。(2002年全国新课程高考卷(理科)第 20题)此题为题(2)的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。解不等式f(x) > 1。导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：证明不等式、 解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处 理，进而用导数方法求解。例 6.设函数 f (x)二 x2 1 -

14、ax，其中 a>0。(1)求f(x)的单调区间；解不等式f(x) < 1。x解：(1)a2+1 当a> 1时，有"< a ,此时f/(x)<0 ,我+1函数f(x)在区间上是单调递减函数。 当0<a<1时，解不等式f/(x)<0得x< a 2 ,- a2a f(x)在区间上是单调递减函数Ji -a2解不等式f/(x)>0a1 -a2f(x)在区间叮a?，：)上是单调递增函数 当a> 1时，I函数f(x)在区间(-：)上是单调递减函数由 f(0)=1,当且仅当x> 0时f(x) < 1.当0<a<

15、1时， af(x)在区间(°°, 上是单调递减函数J1 a2f(x)在区间=,址)上是单调递增函数，山a2由 f(x)=12a1 -a2且0当且仅当0乞X笔时，f(x) < 1.1 -a综上可得：当a> 1时，f(x) < 1的解集为x|x >0;2a当0<a<1时，f(x) < 1的解集为x| 0x 笔。1 - a评析：本题是将2000年全国咼考新课程卷(理科)第19题稍作改动而得到。使学生在例 5中题(4)的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调 性的问题。并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。五思维能力训练:(一)选

16、择题：1.已知函数y=f(x)=x x<0B.1C:y=3x-x 3 及点A.02.已知曲线C.1B.1C.2> 0那么y/1 x=0的值为()或0P(2,2)，则过点D. 不存在P可向C引切线的条数为A.03.下列求导的式子中正确的是A.cos(1-x)/=-si n(-x)D.3)B.(ex)/=e 二 exx /x-1C.(a ) =xaD.(ln-)/x广14.函数 y=asinx sin3x在x3蔦处有极值，则(A.a=2B.a=1C.1a =_2D.a= -25.函数y=x3-3x , x a2 1, 2的最小值是a2-1，贝U实数a的值是1aC. a =2 26. 若

17、 f(x)=ax 3+bx2+cx+d (a>0)为增函数，贝U ()2A.b -4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b(二)填空题：7. 对函数 f(x), 已知 f(3)=2,A.OB.D.12-3ac<0f/(3)=-2,则.2x - 3f (x) i mx 38. 某日中午12时整，6船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两 船之间距离对时间的变化率是 km/h。(2004年全国高考湖北卷(理科)16题)(三)解答题：9. 设抛物线C:y=x2(x > 0)上的点P°(X0,y°)，过P。做曲线C的切线与x 轴交于Q,过Q作平行于y轴的直线与曲线C交于R(X1,yd，然后再过R 作曲线C的切线交x轴于Q,过Q作平行于y轴的直线与曲线交于R(X2,y 2), 仿此作出以下各点：P°,Q1,P1,Q2,P2,Q3,Pn,Qn+1,已知X°=1。(1)求过P0的切线方程；(2)求 lim(xo Xi x 亠 Xn)的值。 n_c10. 如果 f(x)=x 2+1, g(x)=ff(x), 设 F(x) = g(x) ，(x)，问是否存在适当