三导数与微分

1、第三章导数与微分本章教学要求1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数(变化率)描述一些简单的实际问题2. 熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式3. 熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法4. 了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法5. 了解可导、可微、连续之间的关系.重点：导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法难点：求复合函数和隐函数的导数的方法.第一节导数的概念一、引例为了说明微分学的基本概念一一导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。1、直线运动的速度设某点沿直线运动， 运动完全由位置函数

2、函数 S=f(t)所确定。非匀速运动的动点从位置Sq = f (t0)移动到S = f (t),求在时刻to的速度应如何理解,又如何求得呢？右二 0t tat to一o电£ = /W最简单的匀速运动情形,(1)S - Sqt讥如果运动不是匀速的，那末在运动的不同时间间隔内，比值(1)会有不同的值。这样，把比值(1)笼统地称为该点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。首先去从时刻to到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置So = f (t0)移动到S二f (t)。这时由式算得比值V f(t)-f(to)在V =t -to可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选

3、得较短，这个比值实践中也可用来说明动点在时刻to的速度。但对于动点在时刻to的速度的精确概念来说，这样做是不够的。，而更确切地应当这样：令 t >to，取(2)式的极限，如果这个极限存在，设为V,即V=limf f(to)(3)5t-to这时就把这个极限值V称为动点在时刻to的瞬时速度。2、切线问题切线的定义：设由曲线C及C上的一点M，在点M夕卜另取C上一点N,做割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT,直线MT就称为 曲线C在 点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，N NMT也趋于零。现在就曲线C为函数y二f(x)的图形的情形来讨

4、论切线问题。设M(x0,y0)是曲线C上的一点，则yo=f(x°)。根据上述定义要定出曲线 C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点 M外另取上的一点 N(x, y)，于是割线MN的斜率为tan - y-yo(x)-f(xo)xxoxXo其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，x > xo。如果当x > xo时， 上式的极限存在，设为 k,即f(X)-f(X。)k = lim(5)xfx - x()存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里k =tan，其中是切线MT的倾角。于是，通过点M (xo, f (xo)且以k为斜率的直线MT便

5、是曲线C在点M处的切线。事实上，由 NMT - -以及X； xo时:-,可见x_. x0时，（这时切线。MN0）, NMT ； 0。因此直线MT确为曲线C在点M处的、导数的定义在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等等， 都可归结为形如（3）、（5）式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关 系上的共性，就得出函数的导数概念。1导数的定义定义1 （导数）设函数y = f（X）在点Xo的某个领域内有定义，当自变量x在Xo处取得增量lx时（点x lx仍在该领域内），相应地函数y取得增量：.y = f （x0 ：x） - f （x0），如果.：y与厶x之

6、比当.'Xr 0时的极限存在，则称函数y = f （x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y = f（x）在点x0处的导数，记为y'x仝，即x Hx二 limx內f（X。X）- f（X。）x(6)也可记作f（x。）?匸。dx 1df(x)dxX=X0注解:函数f （x）在点x0处可导时，也称f （x）在点x0具有导数或导数存在。如果极限（6）不存在，称函数 f（x） 在点x0处不可导。导数的定义式也可取不同的形式，常见的有f (X0)= h叫f(x° h) - f(x°)h(7)f（小吧f(x) - f(X0)X x°(8)式（7）中h的即自变量的

7、增量 X、若 x > 0时, r '，则函数y = f （x）在X°处是不可导的。但为了描述 X函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在 x0处的导数为无穷大。并赋予它记号f (Xo)二定义2 （导函数）上面讲的是函数在一点处可导，如果函数y二f（x）在开区间I内的每一点都可导，就称函数y = f （x）在开区间I内可导。这时，对于任一 x. I，都对应着f（x）的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数y = f （x）的导函数,f'(x)E(X"f(X)(9)df(x)。dx. dy 记作y , f (x),，或 dx例1求y

8、= x X在x =。处的导数.解:由导数的定义知（。）呷"。"f（。）lx =x -。=limlim ：x =。.J。x注解:在式或式中把X。换成x，即得导函数的定义式f (x：x) - f(x)在以上两式中，虽然x或h是变量。f（x）”mf（x hJf（X）X可以取区间I内的任何数值，但在极限过程中,x是常量,函数f （x）在点x。处的导数f（X。）就是导数f（X）在点x=x。处的函数值，即f（X。）= f（X）X =x)导函数f（x）简称导数,例2求y = xx的导函数（导数）.解:由导数的定义知f(xwf(x)lim (X ")2。3二 x2A 3(1X)2

9、 limx匚j。二 x-13二 x22、左、右导数根据函数f（X）在点X。处的导数（X。）的定义,f （x。）= limf （x。 h） - f （x。）。h是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此（X。）存在即f（X）在点X。处可导的充分必要条件是左、右极限f（X。 h） f（X。）hlimf（X。 h） f（X。）h ah都存在且相等。这两个极限分别称为函数f （X）在点X。处的左导数和右导数，记作f _（X。）及 f .（X。），即f_（x。）鬪f（x。 h） - f（x。）h（1。）（11）f （x。h） - f（x。）h特别地,函数f （x）在点X。可导的充

10、分必要条件是例3求函数f（x） = x在x=。的导数 f （X）在点X。处左导数、右导数都存在且相解:f （。 h） - f（。）h|-。不存在。即f（x） = X 在X =。不可导。函数f (x) = x在x = 0的左导数f _ (0) = -1及右导数f . (0) = 1 都存在，但不相 等，故函数f(x)=x在x=0处不可导。另外，如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且f.(a)及f_(b)都存在，就说在闭区间a,b 上可导。3、导数的几何意义(1)函数y二f (x)在点x处的导数f(X。)在几何上表示曲线y = f(x)在点M(x°,f(x。)处的切线的斜率，即f

11、(x°) = tan：其中是切线的倾角。MN(2)如果y = f (x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y = f (x)的割线以垂直于 x轴y = f (x)在点的直线x=x°为极限位置，即曲线 y = f(x)在点M(x°,f(x。)处具有垂直于 x轴的切线(3) 根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线M (x0, f (x0)处的切线方程为y - y° 二 f (x°)(x- x°)过切点M (x。，f (x。)且与切线垂直的直线叫做曲线目二f (x)在点M处的法线。如果f (xq) = 0 ,法线的斜率为1f(X

12、。)，从而法线方程为丙“。)3例4 求曲线 科仝的通过点(5,11)的切线方程解设切点为(xo，y。)，这切线的斜率为于是所求切线方程可设为3 (12)(13)y yo =3 寸xo(xxo)3切点(Xo, yo)在曲线y = x3上，故有3y°切线(11)通过点(5,11)，故有3 -11 - yo = 2 . xo (5 - xo)(14)求得方程(13)及(14)组成的方程组的解为xo =4, yo =8,代入(11)式并化简，即得所求切线方 程为4、变化率模型在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变化快慢问题，在数学上就是所谓的函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的

13、精确描述，他撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻划变化率的本质：因变量增量与自变量增量之比是因变量在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是因变量在点处的变换率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。例5电流模型设在O，t这段区间内通过导线横截面的电荷为Q = Q(t)，求to时刻的电流解：对恒定电流. 电荷 .gi时间 =t非恒定电流:：t > O，i(to)Pmo哼 PmoQ(to：t) Q(to)AtdQdt t = to例6化学反应速度模型在化学反应中，某种物质的浓度N 和时间t的关系为N=N(t)求在t时刻该物质的瞬时速度。解：当

14、时间从t变到r ：t是，浓度的改变量为N二N(t 氏)- N(t)浓度函数的平均变化率为.N N(to . ：t) - N(to).：t.：t当.：t )0时，t时刻的瞬时反应速度为N'(t) = lim - = limAt 3N(to：t) - N(to)t三、函数的可导性与连续性的关系设函数y = f (x)在点x处可导，即f (x)存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道=f(X)七其中当：x > 0时为无穷小。上式两边同乘以：x，得由此可见，当 x > 0时，厶y 、0。这就是说，函数 y二f (x)在点x处是连续的。所以,如果函数y = f (x)在点x处可导，则

15、函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。举例说明如下：例7函数y二f(x)=3x在区间内连续，但在点x=0处不可导。这是因为 在点x =0处有h3f (0 h) - f(0) _ 3 hh- h因而，lim 址0= lim = ：,即导数为无穷大(注意，导数不存在)。这事实hThhT 2h3在图形中表现为曲线 y=3、x在原点O具有垂直于x轴的切线x = 0。例8函数y = Jx2 (即y =|x )在(-°0,七边)内连续，但在例 6中已经看到，这函数在x = 0处不可导。曲线 y = x2在原点O没有切线由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的

16、必要条件，但不是充分条件。四、求导举例F面根据导数的定义来求一些简单函数的导数。例9求函数f(x)=C(C为常数)的导数Hh即C = 0这就是说，常数的导数等于零。例10求函数f(x)=xn(n为正整数)在 x = a处的导数f(x) f(a) =limXnxa =|imxnaxn，an=nanxaxax-a把以上结果中的a换成x得f (x) = nxn。更一般地，对于幕函数y = x *为常数)，有这就是幕函数的导数公式。 这公式的证明将在以后讨论。 函数的导数，例如利用这公式，可以很方便地求出幕例11- x 二* 1、x2)1一21 ：二取 二 1 x44 - xx-2求函数f(x)二si

17、nx的导数f(x)=lim f(x hf(x)sin(x h)sin x =limh 10h二际込(X扣专.hh sin =”mcos(x -)= cosx2sin x=cosx用类似的方法，可以求得cosx=sin x例12求函数f(x)二ax(a0, a = 1)的导数特别f (x)=lim f(x h)-f(x)=limhTh7x-h x a - ahax 二axinaex上式表明，以e为底的指数函数的导数就是他自己, 要特性。例13求函数f (x)二loga x(a 0,a = 1)的导数f (x)= limf(x h)")h)0"him0*oga特别14 求 f

18、(x)解：当x 0时,所以因此hx a 1 x.=a lima ln a7 h这是以e为底的指数函数的一个重=lim 也(x + h) - loga x1 xx1lOga(V-)=lim log a (1) limxh h hhxh 101xln alog ain1xln a1in 1 x ,f (x)二当 X ： 0 时， f（X）=1，f(0)Pmf(x) f(0)x0f _(0) = lim = 1,x当x = 0时,f(°)Pm -ln(1 x) -0x -0f (0) =1，x亠0，的导数.x ： 0limf(x)-f(0)x01二 lim ln(1 x)x =ln e =

19、 1,x )0f "(X)=勺 +x1求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函 数的求导公式求得，要熟练导数的定义式小结：1、基本知识点：导数、导函数的概念，左、右导数，可导与连续的关系，2、区分导数与导函数的概念，掌握可导与左、右导数的关系3、利用导数定义求基本函数的导数、分段函数求导(要注意分界点的导数的求法)第二节求导法则、函数的和、差、积、商的求导法则前面我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，对于比较复杂的函数， 直接根据定义来求他们的导数往往很困难，在本节和下节中，将介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。借助于这

20、些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数一一 初等函数的导数本节探索函数的和、差、积、商的求导法则。为此，设函数U = u(x)及V = v(x)在点x具有导数u >u(X)及V =v(x)，并分别考虑这两个函数的和、差、积、商在点 x的导数u(x h) v(x h) I- u(x) v(x)h1.设f(x) = u(x) v(x)，则由导数的定义有f (x h) - f (x)f (x) = limlimhThT<himu(x h)-u(x) v(x h)-v(x) (x) v(x)这表示，函数f (x)在点x处也可导，且f (x)二 u (x) v (x)以上结果简单地写成F

21、u v = u v类似地可得Fu - v 二 u - v由此的函数和、差的求导法则：两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。这个法则可推广到任意有限项的情形，例如uv_w =uv-wf (x h) - f (x)h2.设f (x)二u(x) v(x)，则由导数定义有 u(x h)v(x h) - u(x)v(x)hx h) -u(x)hv(x h) u(x)v(x h) v(x)hU(x h)v(x h) -u(x)v(x h) u(x)v(x h) - u(x)v(x) 1limU(x h) -U(x)h 0hlimv(x h) u(x)imv(x h)v(x)h刃hh=

22、u (x)v(x) u(x)v (x)其中lim v(x h) = v(x)是由于v (x)存在，故在点x连续。 h_晋因此，函数f(x)在点x处也可导，且f(X)= u (x)v(x) u(x)v(X)以上结果简单地写成Fuv 二 u v uv由此可得函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个 因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积F特殊地，如果v = C (C为常数)，则因C =0，故有FCu = Cu这就是说，求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。积的求导法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形，例如Fuvw 二 u

23、 vw uv w uvw32例 1 y =2x -5x 3x - 7，求 y解：y = 2x3 5x2 3x-7 = 2x3 ；：5x23x - 7 Osf OQQ=2x -5x 3xi=2 3x -5 2x 3 =6x -10x 3求f (x)及f3,JLf (x)二 x 4co s< s in2解 f (x) = 3x2 -4si rx/八3 2f， =_兀2 _4、2)4例 3 y=ex(sixcos)，求 yFF解 y = ex i isi n< co s< ex s i n< cosx=ex si rx cox ex(co>s-si rx)二 2exco

24、x3.设f(x) = u(x),v(x) =0，则由导数定义有v(x)u(x h) u(x)(x) = limIf (x h) - f (x)h=limh )0v(x hhv(x)|im u(x h)v(x) -u(x)v(x h) hT v(x+h)v(x)hlim U(x + h) _ u(x) b(x) _ u(x) 0(x 十 h) _ v(x)】 hTv(x + h)v(x)hu(x h)u(x)v(x)_u(x)v(x h)-v(x)v(x h)v(x)u(x)v(x) -u(x)v (x)u (x)v(x) -u(x)v(x)f (x)二这表示，函数f (x)在点x处也可导，且以

25、上结果简单地写成由此得函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去 分母的导数与分子的乘积，在除以分母的平方。注解： 条件v(x) =0不容忽视。“商的求导，楼上一撇，楼下一撇” 不可将商的求导法则记成:13 / 43、一个常用推论:1 二 _ v(x)v(x) v(x)2(此处负号容易出错)例 4 y=tarx，求 y”* i si nx -iy t anx =(cosx 丿si nx cosx-sirxcosc2cos xcos2 x sin 22cos x12 cos=sec2 xtan x = sec2 xy =secx，求 yy = s ecx =co sx

26、1 cosx -1 cosx2cos xsi nxsecxt anx2 cos xsecx = secx tan x这就是正割函数的求导公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式:cotx2=-csc xcscx=-cscxcotx二、复合函数的求导法则到目前为止，对于2ln tan x,ex ,sin2x1 x2那样的函数，我们还不知道它们是否可导,可导的话如何求它们的导数。这些问题借助于下面的重要法则可以得以解决，从而使可以求导数的函数的范围得到很大的扩充。复合函数求导法则：如果u二(x)在点xo可导，而y = f (u)在点u。二(x。)可导,则复合函数y = f :(x)

27、1在点x0可导，且其导数为f (Uo)"(Xo)证由y = f (u)在点Uo可导，因此鹊 2 = f(u0)存在，于是根据极限与无穷小的关系有-= f(Uo)：,其中、丄是-U 0时的无穷小。上式中 _u - 0 ,用=u乘上式两边，得y = f (u0) . ：u 亠黒 u用.lx =0除上式两边，得.：yu . ：uf(U0)-xx x于是Ijmiim f(u°U丛0 Ax艮0 Z也x -根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当时x > 0，:u > 0,从而可以推知又因U h护(X)在点x0可导，有啊号八(x0)，dyX=xq二 f (u°

28、)：认)证毕。更一般地，根据上述法则，如果二：(x)在开区间I内可导，y = f (u)在开区间Ii内可导，且当xI时，对应的n，那么复合函数 y=f - (x) 1在区间I内可导，且下公式成立：dy dy dudx du dx复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记: 求导法则也称 锁链法则，有点“顺藤摸瓜”的味道y ux欲求y对x的导数，先求y对u的导数，再求u对 x的导数，最后将它们相乘 dydy du 。dxdu dx 弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式：y = f厂(x)，求乎dx引入中间变量，设 V =(x)，u二(V)，于是y = f (u)变

29、量关系是y - u - v - x，由锁链规则有:dy dy du dv=T Tdx du dv dx 用锁链规则求导的关键：引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。 变量代换成原自变量。还应注意：求导完成后，应将引入的中间dy例 6 y=lntax，求-解 y=l nt ax可看作由y=| nu,u=ta nx复合而成，因此dydxdy dudu dx1 2 sec u2x = cot xsec2ix = sin xcosx例7 y = ex，求dydxx解 y=e可看作由3=x复合而成，因此dydx警"3x2du2xdyn ，求1 x2dx2x1 x2可看作由y = sin

30、u,u =2x1-7复合而成，dydu=cosududx2(1 十 x2 )-(2x 22(1 -x2(1+x2 21 x2 2所以dy2 1 -x221 -x2 2xcosu 22 cos 2dx(1+x22 (1+x221 + x对复合函数的分解比较熟练后，就不必再写出中间变量，而可以采用下列例题的方式来 计算。例 9 y = In sin x,求 dydx” dy 占， /1./ cosx ,解In tan xsin xcot xdxsin xsin x例10y =零1 -2x2，求史dxr解翌=(1-2乂2 J =(1-2x2 戶(1-2x2 j =一4xdx 一33：(1-2x2)2

31、复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形,例 11 y = In cosex，求 dydx解所给函数可分解为y = In u,u 二 cosv, v 二 ex，因dy 1 du . dv x ,sin v, edu u dvdxsinv x x x e = -e tanle cosv故dy = 1 ：；sin v exdx u不写出中间变量，此例可这样写：3 = 1ncosex 1 =Cosex 丨= sin ： ex = -ex tanex dxcos ecos esin1例 12 y = e x，求 y解1 s i ne xr. nsi n-< x丿s i n1e x cos例

32、 13 y 二 sinnx sinn x（n为常数）,求 y解 首先应用积的求导法则得，回需用复合函数的求导法则，由此得FFnnnny 二 si nnx sin x si nn x sin x =n cos nxsin x si n nx nsinx cosx二 nsinnx cosnx sin x sin nx cosx = nsinn A x sin n 1 x最后，就x 0的情形证明幕函数的导数公式因为einx二/小，所以x求导小结：从以上例子看出，应用复合函数求导法则时，首先要分析所给函数可看作有哪些函数复合而 成，或者说，所给函数能分解成哪些函数。如果所给函数能分解成比较简单的函数，

33、而这些 简单函数的导数我们已经会求，那末应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数了。三、反函数的求导法则设X二(y)是直接函数，y二f (x)是它的反函数。由第一章第一节定理4知道，如果x二(y)在区间I y内单调且连续，那么它的反函数y = f(x)在对应区间lx Jxx =护(y), y I y匚内也是单调且连续的。现在假定XhfTy)在区间Iy不仅单调、连续，而且是可导的，在此假定下来考虑它的反函数y = f (x)的可导性以及导数(X)与:(y)间的关系。任取x I x，给x以增量=x( = x = 0,x ,x lx)。由y = f (x)的单调性可知=y = f (x ： =x)

34、 - f (x) = 0于是有.：y1xxAy因y = f (x)连续，故当： 0时，必有.y 0。现在假定x= ( y)在点y处不仅可导且(y) =0，即 lim0，则0 3Ay11叽£ “化卫二(i)f (x)二(y)这表示，反函数y = f (x)在点x可导且 式成立。由于x是区间I x内任意取定的一点，因 此得出结论：如果函数 x = (y)在某区间|y内单调、可导且 "(y) = 0，那末它的反函数 y=f(x)在对应区间Ix内也可导、且有公式(1)成立。上述结论简单地说成：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。下面用上述结论来求反三角函数及对数函数的导数。例14

35、设x二siny为直接函数，则 y二arcsinx是它的反函数。函数 x二siny在开区*兀兀间ly = - ,|内单调、可导，且<2 2；sin y = cos y 0因此，由公式(1)，在对应区间lx =(-1,1)内有* 1 1 arcs inx(si ny) cosy2 / 2但cos y二.1 - sin y二1 - x (因为当- 叮y叮时，cos y 0，所以根号前只取正号)，从而得反正弦函数的导数公式：arcs inxJ-x2用类似的方法可求得反余弦函数的导数公式:*'1 X2例15 设x =tany是直接函数，贝U y =arctanx是它的反函数。 函数x =

36、tany在开区 、( n k间ly = -一,一 内单调、可导，且y I 22丿因此由公式，在对应区间Ix -：,亠内有* 1 1arcta nx(tan y ) sec y但sec y = 1 tan2 y =1 x2，从而得反正切函数得到数公式:* 1arcta n x21 + x2用类似的方法可得反余切函数的导数公式:* 1arc cot x21 +x2例16设x=ay(ay 0,ay=1)是直接函数，则y = logaX是它的反函数。函数x = ay在开区间I y=内单调、可导，且ay = ay ln x 0因此，由公式(1)，在对应区间lx =(0, ：)内有 1 log a X(a

37、y )1ya In a但，从而得第节例 5中已求得的对数函数的导数公式: 1 lOgaX =xlna四、初等函数的求导公式初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并 可用一个式子表示的函数. 为了解决初等函数的求导问题，前面已经求出了常数和全部基本初等函数的导数，还推出了函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则，禾U 用这些导数公式以及求导法则，可以比较方便地求初等函数的导数.由前面所举的大量例子可见，基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的求导运算中起着重要的作用，我们必须熟练地掌握它为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下

38、：1、常数和基本初等函数的导数公式(1) C =0(3) sinx=cosx(4) cosx=sin x. 2(5) tanx = sec x cotx2=-csc x(7) secx=secx tanx(10) ex 二 ex(8) cscx=-cscx cotx1(11) logaxxl n aax ln a 1(12) lnx 二一x(9) ax 二(13) arcsinx(15) arctanx1.1 -x21 "1 x2_1_J - x21(16) arccotx21 +x(14) arccosx -2、函数的和、差、积、上的求导法则设u = u(x), v =v(x)都可

39、导，则(1) u Vi： =u V(2) Cu i； - Cu(3) uv 二 u v uv<v丿v23、复合函数的求导法则设 y = f (u)，而 U二(x)且f(u)及(x)都可导，则复合函数的导数为4、反函数的求导法则dy，y du 或 y (x)二dx du dxf (x)(x)设 y = f (u)，是 x=(y)的反函数，贝U f (x)五、三个求导方法1、隐含数求导法函数y二f(x)表示两个变量y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方 式表达，前面我们遇到的函数， 例如y = sinx, y = Inx -讨1 _x2等，这种函数表达方式的 特点是：等号左端是因

40、变量的符号， 而右端是含有自变量的式子， 当自变量取定义城内任一 值时，由这式子能确定对应的函数值. 用这种方式表达的函数叫做 显函数.有些函数的表达 方式却不是这样，例如，方程xy3 -1 =0表示一个函数，因为当变量x在-：打;3内取值时，变量有确定的值与之对应.例如当x = 0时，y =1 ;当x = -1时，y=3. 2等等这样的函数称为 隐函数.般地，如果在方程 F(x, y) =0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那末就说方程 F(x, y)=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化例如从方程x y3 -1 =0解出y

41、 = 31 - x,就把隐函数化成了显函数. 隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来下面通例子来说明这种方法.例17求由方程ey，xy-e=0所确定的隐函数 y的导数dy .dx解 我们把方程两边分别对 x求导数，注意y是x的函数.方程左边对x求导得d(ey+xy-e)=ey屯+ y + x史dxdxdx方程右边对x求导得0 =0由于等式两边对x的导数相等，所以ey业+ y+x业=0dxdx从而dy = - y y (x ey = 0)dx x e在这个结果中

42、，分式中的y是由方程ey - xy-e = 0所确定的隐函数。例18求由方程y5 2yx-3x? = 0所确定的隐函数y在x = 0处的导数叟| x由此得5y4巴 2 鱼-1-21X0dxdx因为当x = 0时，从原方程得dydxy =0，121x65y42所以dydxx=02 2例19求椭圆'169r 3、=1在点2,J3 处的切线方程I 2丿解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为把椭圆方程的两边分别对x求导，有89 dx从而dy9x当时，代入上式得于是所求的切线方程为dxdx16y 3于是y-3、323 x-2，即 3x 4y-8、3 = 01 .例20求由方程x-y siny

43、=0所确定的隐函数2解 应用隐函数的求导方法，得 dy 1dy门1cos y 0dx 2dx鱼=2dx 2 -cosyy的二阶导数d2ydx2上式两边再对x求导，得解 把方程两边分别对 x求导数，由于方程两边的导数相等，所以dy22 sin yd y7 dx- 4sin ydx2 (2cosyf (2_cosyf上式右端分式中1 .y的是由方程x - ysin y二0所确定的隐函数22、对数求导法在某些场合，利用所谓对数求导法求导数比用通常的方法简便些。这种方法是先在y二f(x)的两边取对数，然后再求出y的导数。下面的例子来说明这种方法例21求y=xsinx(x 0)的导数解 这函数既不是幕函

44、数也不是指数函数，称为幕指函数，先在两边取对数，得In y 二 sin xln x上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得1 . 1 y = cosx In x sin x yx于是y"=y cosxIsin xxcosxIn xsin xx幕指函数的一般形式为vy = u (u 0)其中u,v是x的函数，如果U,V都可导，则可利用对数求导法求出幕指函数的导数如下:现在两边取对数，得上式两边对x求导，注意到y,u,v都是x的函数，得于是”，Z丄 vuTv u丄 vu y = y v In u 十=u v In u 十Iu丿 Iu丿幕指函数也可表示为vIn u二 e这样，便可直接求得t

45、 vln u %丄 u ! v * |, vu !y=e vInu+v一 |=u vInu 十<u丿 iu丿例22求y =（X-2）的导数 Y（x_3【x 4）解现在两边取对数（假定 x > 4），得In y nx1 In x2 In x3 -lnx4 1 2上式两边对x求导，注意y是x的函数，得丄y =1丄丄一丄一丄y 2x-1 x-2 x-3 x-4y j丄 1 L2 x-1 x-2 x-3 x-4当x ：1时,1-x 2-x ；3-x 4-x '当 2<xc3时，y= 甘一2）； ¥（3x4 x）用同样方法可得与上面相同的结果。3、有参数方程所确定的函

46、数的求导法研究物体运动的轨迹时， 常遇到参数方程.例如， 研究抛射体的运动问题时，如果空气 阻力忽略不计，则抛射体的运动轨迹可表示为x = wt:j12y =v2t-2gt其中V1 ,V2分别是抛射体初速的水平、铅直分量，g是重力加速度，t是飞行时间，x和y分别是飞行中抛射体在铅直平面上的位置的横坐标和纵坐标（如图）.在 式中，x、y都是t的函数.如果把对应于同一个 t值的y与x的值看作是对应的,这样就得到y与x之间的函数关系.消去（2）中的参数t,有g_-V2t =护（X），且此反函数能与函数d2y dx2V2 y -Vi这是因变量y与自变量x直接联系着的式子，也是参数方程（2）所确定的函数

47、的显式表示.一般地，若参数方程y与x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程（3）所确定的函数.在实际问题中，需要计算由参数方程（3）所确定的函数的导数，但从（3）中消去参数t有时会有困难因此；我们希望有一种方法直接由参数方程（3）算出它所确定的函数的导数来下面就来讨论由参数方程（3）所确定的函数的求导方法.在（3）式中，如果函数 X二（t）具有单调连续反函数y ='丁复合成复合函数，那末由参程（3）所确定的函数可以看成是由函数y（t）、t = _（x）复合的函数y L（x）1.现在，要计算这个复合函数的导数.为此再假定函数x二（t）、y =丁（t）都可导，而且:（t） =

48、 0。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有dy dy dt dy 1- (t)dx 一 dt dx 一 dt dx 一 ： (t)dt即dy ' (t)dx: (t)上式也可写成鱼dy _ dtdx dxdt（4）式就是由参数方程（3）所确定的x的函数的导数公式。如果x二（t）、y =（t）还是二阶可导的，那么从 式又可得到函数的二阶导数公式:dyd(t) dx (t)(t)(t)一 dx dx - dt : (t) dt 一: 2 (t)d2y (t) : (t)(t)(t) dx2 _- 3 (t)例23已知椭圆的参数方程为x = acost y = bsint求椭圆

49、在, nt相应的点处的切线方程4当t二时，椭圆上的相应点4M o的坐标是:曲线在点Xo兀二 a cos4a、2y0 二 bsinb. 22Mo的切线斜率为:dydx(bsin t)b costt兀_”4(a cost)t尹-as int所以椭圆在点Mo处的切线方程为aQ化简后得bx ay - $2ab =0例24已知抛射体的运动轨迹的参数方程为X = Vit彳 t 1 t 2y 二 v?t - 2 gt求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向解 先求速度的大小。由于速度的水平分量为dxv1dt铅直分量为dy防2胃所以抛射体运动速度的大小为v = j伴+ 学=Jw2 +（匕 _gt idt 丿 &

50、lt;dt 丿再求速度的方向，也就是轨道的切线方向设是切线的倾角，则根据导数的几何意义，得dytan：史二址二心dx dxv1dt所以，在抛射体刚射出（t =0）时,tan。to =lto一 dx1 -VigdydxV2g-0这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。 例25计算由摆线的参数方程x= a(t -sint) y =a(1 cost)所确定的函数y = y（x）的二阶导数。dydy dt a si ntsi ntdx dx a 1 -cost 1costt=cot-2(t = 2n 二)dtd2y d t " 111=cot _ i=dx dt i 2 丿竺 2si门2 丄 a(1cost) dt212a 1 -cost（t 屮 2n二）*4、相关变化率设x=x(t)及y = y(t)都是可导函数，而变量x与y间存在某种关系，从 而变化率dx与间也存在一定的关系。这两个相互依赖的变化率称dt dt为相关变化率。相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。例一气球从离