一讲求极限的各种方法

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象2007级本科授课题目第一讲求极限地各种方法课时数教案目地通过教案使学生掌握求极限地各种方法，重点掌握用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求L二 极限；利用Taylor公式求极限;数列极限转化成函数极限求解重 占 八、 难 占 八、1用等价无穷小量代换求极限2用罗必塔法则求极限3. 用对数恒等式求 | 极限4. 利用Taylor公式求极限5 数列极限转化成函数极限求解第一讲求极限地各种方法1.约去零因子求极限教 学 提 纲2. 分子分母同除求极限3. 分子（母有理化求极限4. 应用两个重要极限求极限5.

2、 用等价无穷小量代换求极限6. 用罗必塔法则求极限7. 用对数恒等式求.亠| 极限&数列极限转化成函数极限求解9. n项和数列极限问题10. 单调有界数列地极限问题教案过程与内容第一讲求极限地各种方法求极限是历年测试地重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题 出现，说明极限作为微积分地基础，地位有所加强数学二、三一般以大题地形式出现.用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求工极限是重点，及时分离极限式中地非零因子是解题地重要技巧1 约去零因子求极限a例1:求极限【说明】 厂二表明一 无限接近 但七，所以|'|这一零因子可以约去【解】2 分子分母同除求极限例2:求

3、极限【说明】_型且分子分母都以多项式给出地极限，可通过分子分母同除来求【解】【评注】(1> 一般分子分母同除T地最高次方;(2>3 分子(母有理化求极限 例3:求极限_【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中地非零因子是解题地关键主要考第二个重要极限，第，再凑| ,最后凑指数部分例6: (1>回|;(2>已知 丨X I，求冃.4 应用两个重要极限求极限两个重要极限是丨和个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现 例5:求极限EKI【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑地步骤：先凑出15

4、.用等价无穷小量代换求极限【说明】Z1(1常见等价无穷小有：当一时，(2等价无穷小量代换,只能代换极限式中地因式; a EI =3是不正确地(3此方法在各种求极限地方法中应作为首选.例7:求极限 【解】例8:求极限【解】乂 例9:求极限【解】6 用罗必塔法则求极限 例10:求极限【说明】 日或勺型地极限，可通过罗必塔法则来求例11:求【说明】许多变动上显地积分表示地极限，常用罗必塔法则求解【解】7 用对数恒等式求极限 例12:极限 4【说明】< 1）该类问题一般用对数恒等式降低问题地难度< 2）注意 时,【解】一二=例13:求极限【解】原式HI【又如】8 数列极限转化成函数极限求解

5、例14:极限 HJ,若直接求有一定【说明】这是形式地地数列极限，因为数列极限不能使用罗必塔法则难度,若转化成函数极限，可通过7提供地方法结合罗必塔法则求解【解】考虑辅助极限所以，9. n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1用定积分地定义把极限转化为定积分来计算;(2利用两边夹法则求极限.例15:极限0,1 :定积【说明】用定积分地定义把极限转化为定积分计算,是把 “看成【解】原式=例16:极限【说明】(i该题与上一题类似，但是不能凑成而用两边夹法则求解；地形式，因(2两边夹法则需要放大不等式，常用地方法是都换成最大地或最小地【解】因为又IZJ 日所以例17:求【说明】该题需要把两边夹法则与定积分地定义相结合方可解决问题【解】LKI10 单调有界数列地极限问题例18：已知 E ,，证明存在，并求该极限【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限地准则来证明数列极 限地存在【解】该数列单调增加有上界，所以三存在，设 =A例19:设数列3满足 I）证明 F"存在，并求该极限； n）计算 3【解】I）因为