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文档简介

1、数的分类和概念我们把 0 、1、2、3、4、5、6、 7、8、 9、 10、 等全体非负整数组成的数集合称为“自然数” 。把1 , 2,3, , 9,10 向前扩充得到 正整数 1 , 2, 3, , 9,10,11, ,把它反向扩充得到 负整数 , -11 ,-10 ,-9 , , -3 ,-2 ,-1 ,介于正整数和负整数中间的“ 0”为中性数;把它们合在一起,得到 ,-11 ,-10 ,-9 , , -3 ,-2 ,-1 , 0 ,1,2,3, , 9,10, 11, , 叫做整数 。对整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做 四则运算 。整数,对加、减、乘运算组成了一个封闭的数集合,是

2、数学古老分支 “数论” 研究的对象。着名的德国数学家高斯说: “数学是科学的皇后 ,数论是数学中的皇冠” 。德国数学家、数学王子高斯(Gauss,1777 1855)除法运算,如7/11 = 、 11/7 = ,不再是整数,也就是说整数对除法运算是不封闭的。为了使数集合对加、 减、乘、除四则运算都是封闭的, 就必须增加新的数,如 7/11 、 11/7 ,为两个整数之比,称为可比数、分数,现在通称为 有理数 。? ?把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理,形成最古老的一门数学 算术。有理数集合,对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合,看起来似乎已很完备。 25

3、00 多年前,不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。公元前世纪,当时的毕达哥拉斯学派很重视整数,想用它说明一切,“数是万物之本”成了他们的哲学观。毕达哥拉斯学派的学生希帕索斯在研究1 和 2 的比例中项x时,由 1/x = x/2 ,得到代数方程x2 = 2? ?(1)在( 1)中引入的 x ,代表我们暂时还不知道一个数,称为未知数。对(1)求解,得到 x =。显然, 1< x <2 ,不是整数;经证明,不能表成两个整数之比,也不是有理数;这就是后来称为“ 无理数 ”的数。无理数的发现,对以整数为基础的毕氏哲学,是一次致命的打击,数学史上把这件事称为“ 第一次数学危机 ”。在之后

4、,又发现了很多无理数,圆周率就是其中最重要的一个。15 世纪意大利着名画家达·芬奇把它称之为“无理之数”。现在,人们把有理数和无理数合并在一起,称为 “实数” 。把方程( 1)中 2 换成 -2 时,得到x2 = -2? (2)由此得到两个解: x1 =和 x 2 = -,它们还是( 2)的解吗如果认为不是,(2)就没有解,解方程如同走进了死胡同。 为解决这一问题, 数学家不得不再次扩大数的范围,引入符号“”表示“ 1 的平方根”,即i?=,称为虚数;再把实数 a、b 和虚数结合起来,组成z =形式的数,称为 “复数” 。在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,

5、让人感到有点虚无缥缈。随着科学的发展,虚数在水力学、地图学和航空学上得到了广泛的应用。这样,数的家族就进一步扩大,包括实数和复数两大类,并把加、减、乘、除的四则算术运算 扩展到包括乘方和开方的 六种代数运算 ,形成了数学中一个新的分支 “代数” 。代数进一步向两个方面发展,一是研究未知数更多的一次方程组,引进矩阵、向量、空间等符号和概念,形成 “线性代数” ;另一是研究未知数次数更高的高次方程,形成“多项式代数” 。这样,代数研究的对象,不仅是数,还包括 矩阵、向量、向量空间 及其变换等。它们都可以进行“运算”,虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再有效。因此,代数学的内容可以概括称为带有运算的一些代数结构的集合, 如群、环、域等,又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数等众多分支。由于科学技术发展的需要,数的范围不断扩大,从正整数、自然数、整数、实数到复数,再到向量、张量、矩阵、群、环、域等不断的扩充与发展。为区别起见,人们把实数和复数称为“ 狭义

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