多项式方幂及其应用

1、Ax -aA(x -a)nAx Bx2 px qAx B(x2 px q)n（p2 -4q ： 0 ）四种类型的分式，然后根据该四种类型各多项式的方幕及其应用太原师范学院数学系王桂英一个多项式表示成另一个一次多项式的方幕，所采用的基本方法，不外乎综合除法、泰勒展开式 以及幕级数展开等等，讨论的方法也多种多样，这里不做赘述。但当另一个多项式不是一次多项式的 时候，也就是说，要将一个多项式表示成另一个一般多项式的方幕时，一般的教材及其教辅资料介绍 的就很少了，在应用方面也鲜有报道！本文只就两个方面的应用做一简要介绍。、用于分解部分分式大家知道，在计算一个有理函数的积分时，首先应该把被积函数分解成部

2、分分式，即自的积分方法进行积分。笔者见到的多个版本的数学分析教材中所介绍的有理真分式化部分分式方法 都是待定系数法。这种方法的好处是理论简单、简明易懂。缺点是：通常计算量比较大，如果分母的次数较高时，往往需要待定的系数较多，计算量非常大，给研究工作带来很大的不便。例1.求(x-1)2解：令23x -1 (x-1) (x-1)x 2x -6(x-1)3等号两边同乘（x-1）3=x2 2x-6 = A(x-1)2 B(x-1) C= A(x2 -2x 1) B(x-1) C二 Ax2 (B-2A)x (A-B C)比较系数后，得到下面的联立方程式A =1B -2A =2A _ B C 二-6=A

3、=1,B =4,C 二一3，于是x2 2x -6GM S'1x -14(x-1)2=Inx -1_4(x -I)13(x_1)，K76532例2.dx2x x 7x 7x -x -3x 3(x2 1)42分析：由于x1是一个二次多项式，所以不能应用泰勒公式展开，如果还像例题1那样用待定系数法的话，需要8个待定系数，即2x7 +x6 +7x5 +7x3 x2 3x+3_ Ax + B丄 Cx+ D 丄 Ex+ F 丄 Gx +H(八242+22 +23 *24(2)(x 1)(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)通分后，由等式两边的分子相等得到一个和(1)类似的关于8个未知量的线

4、性方程组，然后解得待定系数A,B,C,D,E, F,G, H，不仅计算的工作量很大，也非常容易出错。笔者在多年的初等代数教学中，解决这类问题一直用“多项式表示成另一个多项式的方幕”来解决的。1、最简分式定义：如果Q(x)是既约多项式，非零多项式P(x)的次数小于Q(x)的次数，那么真分式( k为Q (x)正整数)称为最简分式。定理：若 巴型 是真分式，Q(x)是既约多项式，非零多项式P(x)的次数不小于 Q(x)的次数，那么Qn(x)-型可以唯一地表示成最简分式之和(即分解成部分分式之和)Qn(x)2、一个多项式表示成另一个多项式的方幕由于P(x)和Q(x)都是多项式，且 P(x)的次数不小于

5、 Q(x)的次数，所以P(x)可唯一地表示成P(x)=rn4(x)Qn(x) n/(x)Q2(x)川1(x)Q(x) r°(x)(3)这里r0(x), rjx), r2(x),IH,rn4(x)的次数小于Q(x)的次数或有零多项式。于是有P(x) = rn(x)+n/(x) +r1(x) + r°(x)Qn(x)= Q(x) Q2(x)Qn4(x) Qn(x)以此方法用来解决例 1和例22例1中的P(x) = x ，2x-6的次数比Q(x) = x-1的次数高，所以由综合除法(也可以按泰勒公式在 1 点的展开式)2 2x2x6 = (x1) +4(x1) -3两边同除以(X

6、-1)3得然后再进行积分以例2来说明，若将2x7 x6 7x5 7x3 -x2 -3x 3/2八4(x 1)化成部分分式，由于765322P(x) = 2x x 7x 7x -x -3x 3 的次数比 Q(x)=x T的次数高所以，由带余除法知2x7x67x57x3x2 -3x3 =(x21)( 2x5x4x3 扌2x2 )+ (5x32x5 x4 5x3 -x2 2x = ( x2 1)( 2x3 x2 3x -2)+ (-x 2)2x3 x2 3x -2 =( x2 1)( 2x 1)+( x -3)于是由(3)式，将 2x7 - x6 7x5 - 7x3 -x2 -3x 3表为x21的多

7、项式为2x7 x6 7x5 7x3 -x2 -3x 3=(2x 1 )(x21)3 +( x-3 )(x21)2 +(-x 2 )(x21)+(-5x3)两边同除以(x2 V)4得2x7x67x57x3 -x2-3x 3 2x1 x - 3-x2-5x32 4 2 22 2 3 24(x 1)(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)通过比较可知，这里只做了三次带余除法，比解(2)中关于8个未知数 A,B,C,D, E,F,G,H的线性方程组要简单多了。329x 24x +48x把涇_警竺分解成部分分式之和 (x_2)4(x 1)解:329x -24x48x A f (x)x 1 (x-2

8、)4歧(x_2)4(x 1)那么9x3 -24x248x = A(x-2)4 (x 1)f(x)，取 x = 1，得 A = -1因此(x 1)f(x) = 9x3 -24x2 48x+(x-2)4 ,f(x) = x3 16所以9x3 -24x2 48x-1x3 16= +(x-2)4(x 1) x 1 (x-2)4其中- 芈分解为部分分式之和归结为例1，用综合除法(也可以按泰勒公式在(x -2)42点的展开式)x 2x - 614-33=23(x -1)3x-1 (x-1)2(x-1)3即可解决。二、用于进制的转换我们知道，数是特殊的多项式， 对于一个多项式表示成另一个多项式的方幕时，P(

9、x)=r2(x)QnJ1(x) rn/(x)Qn，(x)川 rxQx) r°(x)当多项式P(x)和Q(x)都是数的时候，ri(x)n-1)也是数，于是就有了下面的情况定理：若整数g >1,则任一正整数a能够唯一地表为angn anJgnJaig ao(4)其中 n _0, az,且 0： g , i =12111, n(证明过程这里从略)上述(4)式就变成了进制的转换，表明每一个正整数a都能表成g进制数：a =詁二 aia°(g)当g=io时就是我们熟悉的io进制数，即科学记数法an10n anJ10n Ja110 a0 ananJa1a0(10)不过是我们使用的数都是10进制的，上面的横线省略了， 表明10进制的10也省略了。中学里的一些关于进制转换的竞赛题都是这样转换的。例4.(十一届希望杯竞赛试题，第一试 20题)两个7进制数分别为454和5，它们的商的7进制数表示为 .解：分析：我们学过的除法法则都是在10进制的规则下进行的，对于其它进制的运算法则还不熟悉，所以需