命题与证明知识点总结

1、命题、定理与证明的知识点总结知识结构梳理二、知识点归类知识点一 定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如： “两点之 间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。注意 ：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些” 、“大概”、“差不多”等 不能在定义中出现。知识点二 命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句） ，要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生” 、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。（ 2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。知识点三 命题的结构

2、每个命题都有题设和结论两部分组成。题设是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果 ，那么 ”的形式。有的命题表面上看不具有“如果 ，那么 ”的形式，但可以写成这种形式。如： “对顶角相等” ，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 。例 把下列命题改写成“如果 ，那么 ”的形式，并指出条件与结论。1、同角的余角相等2 、两点确定一条直线知识点四 真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么 称它是假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 知识点五 证明及互

3、逆命题的定义1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例， 即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满 足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。注意 ：一个命题为真 不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。(1) 直角三角形的两锐角互余；( 2)全等三角形的对应角相等。类型一：例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有

4、对事情作出判断？(1) 对顶角相等； (2) 画一个角等于已知角； (3) 两直线平行，同位角相等；()，两条直线平行吗 ? (5) 鸟是动物； (6) 若，求的值； (7) 若，则思路点拨 : 通过本题熟悉命题的定义解析： 句子 (1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子 (2)(4)(6) 没有对事情作出判断其中(1) (3)(5) 判断是正确的，(7)判断是错误的【变式 1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1) 若 a<b，则； (2) 三角形的三条高交于一点； (3) 在 ABC中，若 AB>AC，则 C> B吗?(4) 两点之间线段最短； (5) 解方程

5、；(6)1 23【答案】(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题类型二：例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式：(1) 三条边对应相等的两个三角形全等； (2) 在同一个三角形中，等角对等边；(3) 对顶角相等； (4) 同角的余角相等；(5) 三角形的内角和等于 180°；(6) 角平分线上的点到角的两边距离相等思路点拨 : 找出命题的条件和结论是本题的难点， 因为命题在叙述时要求通顺和简练， 把命题 中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去解析：(1)“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形” 这句

6、话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全 等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”(2) “等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个 三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提 条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏(3) 这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”(4) 条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成 “如果两个角是同一个角的

7、余角，那么这两个角相等”( 5)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。【变式 1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命 题的真假（1） 对顶角相等；（2） 两直线平行，同位角相等；（3） 若 a=0，则 ab=0；（4） 两条直线不平行，则一定相交；【答案】 （l） 对顶角相等 （ 真）

8、；相等的角是对顶角 （ 假） ；不是对顶角不相等 （假） ；不相等的角不 是对顶角 （ 真）（2）两直线平行，同位角相等 （真 ） ；同位角相等，两直线平行 （ 真）； 两直线不平行，同位角不相等 （真） ；同位角不相等，两直线不平行 （真）（3）若 a=0，则 ab=0（真） ； 若 ab=0，则 a=0（假） ； 若 a0，则 ab0（假） ； 若 ab0，则 a0（真）（4）两条直线不平行，则一定相交 （ 假）； 两条直线相交，则一定不平行 （真） ； 两条直线平行，则一定不相交 （ 真）； 两条直线不相交，则一定平行 （假） 【变式 2】判断正误：（1） 如果两个角是对顶角，那么这两个

9、角相等。（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（）（3）如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（）（4）如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（）（5）如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（）（6）如果两个角的和是 180°，那么这两个角是邻补角。（）（7）对顶角的角平分线在同一条直线上。（）（8）如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。 【答案】：（1） ；（2） ×；（3） ×； （4） ×；（5） ；（6） ×； （7） ；（8） ×。 注：判断题如果是

10、正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出 一个反例即可。知识点六 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原 始依据， 这样的真命题叫做公理。 以基本定义和公理作为推理的出发点， 去判断其他命题的真假， 已经判断为真的命题称为定理。注意：（1）公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明；（2 ）定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，则两直线；（ 2）平面内两条不重合的直线的位置关系是；（ 3）四边形是平行四边形。知识点七 互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么称

11、它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定 理。对顶角相等”就没逆定理。注意：每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：知识点八 证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理） ，得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这 个过程叫做证明。 推理证明的必要性： 判断猜想的数学结论是否正确， 仅仅依靠经验是不够的， 必须一步一步，有理有据地进行推理。证明命题的步骤： 由题设出发， 经过一步步的推理最后推出结论 （书证） 正确的过程叫做证明。 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定 义、公理，在此以前学过的定理。 （证明命题的格式一般为： 1

12、）按题意画出图形； 2）分清命 题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意（1） 注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题：公理可以作为判定其他命题真假的根据 .（2）注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真 命题作为定理， 可以以它们为根据推证其他命题 . 这些被选作定理的真命题， 在教科书中是用 黑体字排印的 .（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行， 同位角相等”这个命题， 如果只采用测量的方法 . 只能测

13、量有限个两平行直线的同位角 是相等的 . 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等， 那么就可以确信任意两平行直线的 同位角相等 .（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” . 论据必须是真命题，如； 定义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据 应是论题的充足理由 .例 1. 证明：两直线平行，内错角相等。已知： ab,c 是截线求证： 1= 2分析：要证 1= 2只要证 3= 2即可，因为 3 与 1是对顶角，根据平行线的性质，易得出3=2证明： ab（已知 ） 3=2（ 两直线平行，同位角相等 ） 1=3（对顶角相等 ） 1=2（等量代换

14、 ）例 2. 如图所示，已知： A=F， C= D，求证： BD CE分析：要证 BDCE，只需证得 D=CEF或 D+CED=18°0 即可，由于 C=D，因此只要 C=CEF或 C+CED=18°0 ，这就需要有 ACDF，由已知条件中的 A= F，可以得出AC DF，故此题可证证明： A=F（已知 ） ACDF（内错角相等，两直线平行 ） C=CEF（两直线平行，内错角相等 ）又 D=C（已知 ） D=CEF（等量代换 ） BDCE（同位角相等，两直线平行 ）变式】 已知：如图正方形 ABCD中， E为 CD边上一点， F 为 BC延长线上一点，且 CECF1）求证：

15、 BCE DCF2）若 FDC30°，求 BEF的度数。知识点九 反证法反证法： 在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出 和已知条件矛盾， 或者与定义， 公理， 定理等矛盾的结论， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题成立，这种证明方法叫做反正法。反证法的基本步骤： 1. 假设命题的结论不成立 2. 从这个假设出发， 经过推理论证得出矛盾。3. 有矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确结论的反面不止一种情形的反证法 ：应用反证法证明命题时，首先要分清命题的题设和结论， 再全面地否定结论，如果结论的反面不止一种情形，那么必须把各种可能

16、性都列出来，并且在逐一 加以否定之后，才能肯定原结论正确。例 1、已知：如右图，直线 l 1，l 2，l 3在同一平面内，且 l 1l 2，13 与 11相交于点 P.求证： 13与l 2相交（使用反证法）思路点拨 : 仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。解析： 证明：假设， 13 与 l 2不相交，即 l3 l 2 ，又 l1 l 2（已知）， 过直线 12外一点 P有两条直线 11,1 3与直线 12平行，这与“ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ”相矛盾， 假设不成立，即求证的命题成立， 13与 12相交【变式 1】用反证法证明不是有理数【变式 2】我们年级有 367

17、名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日巩固训练1. 把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果 , 那么”的形式是2. 命题“如果 , 那么”的逆命题是 .3. 命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个 命题 （填“真”或“假” ）.4. 如图 ,已知梯形 ABCD中, AD BC, AD3,AB CD4, BC 7,则 B.5. 用反证法证明“ b1b2”时 ,应先假设 .6. 下列语句中 , 不是命题的是（ ）A. 直角都等于 90° B. 面积相等的两个三角形全等 C. 互补的两个角不相等D.作线段 AB7. 下列命题是真命题的是（A. 两个等腰三角形全等B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等C. 同位角相等D.两边和一角对应相等的两个三角形全等8. 下列命题的逆命题是真命题的是（A.两直线平行同位角相等 B. 对顶角相等 C. 若,则 D.若, 则9. 下列条件中，