命题关系及其真假判定

1、命题关系及其真假判定1.四种命题的写法(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则 q”的形式后再进行转换(2) 分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题2 四种命题真假的判断方法因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题 )的真假即可已知下面四个命题：对于 ? x，若 x3 0，则 x 3 0；“若 a b，则 ac2 bc2”的否命题；命题“若非零向量a，b， a·b0，则 ab”的逆命题；已知 p、 q 为两个命题，若“pq”为假命题，则“(綈 p) (綈 q)”为真命题其中所有

2、真命题的序号是_【思路点拨】对于注意四种命题及其关系，对于涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断【解析】x 3 0? x 3 0，为真命题 “ 若 a b，则 ac2 bc2” 的否命题是：“ 若 a b，则 ac2 bc2” ，由不等式的性质知为真命题逆命题： “ 若 a b，则 a·b 0” 为真命题由 pq 为假命题， p 与 q 均为假命题綈 p，綈 q 为真命题，一定有(綈 p)(綈 q)为真，故为真命题综上知，命题均为真命题【答案】已知命题 p： ? x0R ，使 sin命题“ p q”是真命题；命题“题“ 綈 p綈 q”是真命题其中正确的是()A

3、Cx0 3，命题 q： x22x 3 0 的解集为 ?，下列结论：2p 綈 q”是真命题；命题“綈 p q”是真命题；命BD 【解析】命题p：? x0R，使sin x0 32是假命题，命题q： x2 2x 3 0的解集是?是真命题，则綈 p 为真命题， 綈 q 为假命题“ pq” 是假命题， “ p綈 q” 是假命题， “綈 pq” 与 “ 綈 p綈 q” 均为真命题因此正确【答案】C三种条件的判断及应用1.充分条件与必要条件的判断方法(1)直接利用定义判断：即若 p? q 成立，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 . (条件与结论是相对的 )(2)利用等价命题的关系判断：

4、p? q 的等价命题是 綈 q? 綈 p，即若 綈 q? 綈 p 成立，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件2 充分条件、必要条件和充要条件的应用此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围， 涉及到的数学知识主要是不等式问题， 根据相应知识列不等式 (组 ) 求解下列各小题中，p 是 q 的充要条件的是() p：m 2 或 m 6； q：y x2 mx m3 有两个不同的零点； p：f x 1；q： y f(x)为偶函数； f x p： cos cos ； q： tan tan ； p：A BA； q：?U B? ?U A

5、；A CBD 【思路点拨】把握充要条件的概念，会用反例来排除选项【解析】对，y x2 mx m 3 有两个不同零点，m2 4(m3) 0，解得m2 或 m 6.p 是 q 的充要条件，排除选项B， C.对于， q：取 f(x) x2 在 R 上为偶函数，但f x在 x0 处没有意义， p 是 q 的充分不f x必要条件，排除选项A.【答案】D已知 p：x2 8x 20 0，q：x2 2x 1 a2 0，若 p 是 q 的充分而不必要条件，求正实数 a 的取值范围【解】A x|x2 8x 20>0 x|x< 2 或 x>10 ，B x|x2 2x 1 a2>0 x|x&l

6、t;1 a 或x>1 a 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知AB.a 0a>0 ，从而1 a 2或1 a> 2，解得0<a 3.1 a101 a 10，故所求正实数a 的取值范围为(0,3.全称命题与特称命题1.全称命题与特称命题真假的判断方法(1) 判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例(2) 判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明2 含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题， 特称命题的否定是全称命题 否定时既要改写量词， 又要否定结论判断下列命题是特称命题还是全称命

7、题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性(1)有一个实数， sin2 cos2 1；(2)任何一条直线都存在斜率；1(3)存在实数x，使得 x2 x 1 2.【思路点拨】首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理【规范解答】(1)特称命题，否定：? R ， sin2 cos2 1，真命题(2)全称命题，否定：? 直线 l， l 没有斜率，真命题1(3)特称命题，否定：? xR， x2 x 12，真命题(2013 台·州高二检测)下列命题中的假命题是()A ? x0 R， lg x0 0B? x0 R ，

8、tan x0 1C? x R， x3 3D ? x R,2x 0【解析】 当 x 1 时， lg 1 0， A 是真命题； 当 x4时， tan 4 1， B 是真命题；3 当 x0 时， x 0， C 是假命题；由指数函数的性质可知，对? x R,2x0 成立， D 是真命题【答案】C转化与化归思想所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转

9、化等通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化设命题 p：函数 f(x) lg ax2 x1a 的定义域为 R；命题 q：不等式162x 11 ax 对一切正实数均成立如果命题“ p 或 q”为真命题， 命题“ p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围【思路点拨】由于 “ p 或 q” 为真， “p 且 q” 为假，可以得到p 与 q 一真一假， 再转化为集合间的关系求解结果由 ax2 x 1a 0，【规范解答】a解得 a 2.16a 0 恒成立，得 14× a×16 0， 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立，令t2x 1 1，则 xt2 12 ，2(t 1) a(t2 1)对一切 t 1 均成立2 a(t 1)，a 2 ，a1.t 1“ p 或 q” 为真， “ p 且 q” 为假，p， q 一真一假若p 真 q 假，则 a 2 且 a 1，a 值不存在若 p 假 q 真，则 a 2 且 a 1，1 a 2.故