111正弦定理（约2课时）

1、主备人：罗瑜唐强主备人：罗瑜唐强 审核人：牟必继审核人：牟必继1.1.1正弦定理 善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，善于奋飞的人天上有路，敢于攀登的人山中有路，勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路勇于远航的人海里有路，勤于学习的人脚下有路! .(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？问题的引入：问题的引入：(2)设设A,B两点在河的两岸两点在河的两岸, 只给

2、你米尺和量角只给你米尺和量角设备设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具的有力工具.ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?1.1.1 正弦定理正弦定理在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabcccABCCC在中，如果已知 A所对的边BC长为a,B所对的边AC长为b,所对的边AB长为c,我们研究 A， B，a，b,c之间有怎样的数量关

3、系？在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB(1) 若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证明:(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2一、正弦定理: 在一个三角形中在一

4、个三角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦的比相等正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即即你可以用其他方法证明正弦定理吗？解斜三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解斜三角形Y YX X正弦定理的向量证明正弦定理的向量证明B BA AC C想一想：如何用向量法证明正弦定理？想一想：如何用向量法证明正弦定理？BABA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为CACA在在Y Y轴上的投影为轴上的投影为BA sinB= CA sinC BACA=sinCsinBabc=sinAsinBsinC同同理理可可得得|BA|c

5、os(90|BA|cos(90o o-B)=|BA|sinB-B)=|BA|sinB|CA|cos(90|CA|cos(90o o-C)=|CA|sinC-C)=|CA|sinC AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径外接圆直径）2R思考？求证:证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,二、剖析定理、加深理解正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题： 已知两角和一边，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求

6、其他的边和角.CcBbAasinsinsin三、定理的应用三、定理的应用P3例 1 已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角P4练习11.在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434例 2 已知a=16， b= ， A=30 ，解三角形已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316P4例 2例例3:

7、在在 中，已知中，已知 ，解三角形，解三角形ABC 45, 24, 4Bba解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 为锐角为锐角 30A分析：这是属于已知两边和其中一边的对角问题分析：这是属于已知两边和其中一边的对角问题练习练习2BbaAABCBbaAABC求中，已知在求中，已知在,3310, 4,60) 2(, 2, 2,45) 1 (00B=300无解无解(3)(3)CBbaAcABC, 2,45,60和求中，23245sin6sinsin,sinsin0aAcCCcAa0012060,sin或CcaAc解：解：1360sin75

8、sin6sinsin,75600000CBcbBC时，当1360sin15sin6sinsin,151200000CBcbBC时，当或0060,75, 13CBb00120,15, 13CBb，已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?思考思考?已知已知a, b和和A, 用正弦定理解三角形的情况用正弦定理解三角形的情况:若若A为锐角时为锐角时:)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba b a b a b a b a a 已知边a,b

9、和 A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H H HABabCABabCABabCab 一解一解若若A为直角或钝角时为直角或钝角时:)( ba 锐角一解无解baabc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式变形式：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=, sinB= sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinCa:b:c=sinA:sinB:

10、sinC=2sinsinsinsinsinsinabcabaRABCABAsinsinABCABabAB中，体现边角互化思想（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. 练习：练习：:sin: sin: sinsin 2= sin 2=sinsinB,B,sinsinsinsinsinAABCa b cABCBABCABabCABCABABabaDABCABA（2）以下关于正弦定理的变形或叙述错误的是（）、在中，、在中，若，则、在中，若，则A若A则、在中，ABC 练

11、习练习:在在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三角形等边三角形2cos2cos2cosCcBbAa ABC 222例3：在 ABC中，若sinA=2sinBcosC,且sin Asin Bsin C，试判断 ABC的形状。2cossin2cossin2cossinCCBBAA2cos2cos2cosCcBbAa 分析：由正弦定理分析：由正弦定理 式子式子 可以写成可以写成由二倍角公式由二倍角公式sin2sin cos22有有sin =sin sin2A2B2c从而得到从而得到A=B=C,三角形是三角形是等

12、边三角形等边三角形证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21三角形面积公式: 例例4 在在 中，中， ，求，求 的面积的面积S ABC )13(2,60,45 aCBABC BacCabsin21sin21 Abcsin21 hABCaABCahS21 三角形面积公式三角形面积公式解：解： 75)(180CBA由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab32

13、6)23(4)13(221sin21 CabSABC BacAbcCabSABCsin21sin21sin21)2(22sinsinsin(4RABCabcRABCR为外接圆的半径）ABC1()(2r abc rABC为内切圆的半径）ABC三角形面积公式变形:35.A45.B55.C65.D,2,25BAba例例5. (08. 四川四川 文文) ABC的三内角的三内角A、B、C的对边边长的对边边长分别为分别为a、b、c若若则则cosB= 解析：解析：由题意得由题意得,45cos,cos2sin2sinsinsin25BBBBBAba选选B B9ABCAC= 3 A=45C=75BC=_、在在中中，那那么么210ABCa+b=12, A=60 ,B=45 ,a=_,b=_ 、在在中中，那那么么36-12 612 6-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_ 、在在中中，若若那那么么13 2：12ABCb=3,c=3 3,