《全称量词与存在量词》教学设计

1、课题：全称量词与存在量词(授课人:教学目标1、知识与技能 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称2、过程与方法命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法.培养学生分析问题，总结问题的能力.3、情感、态度、价值观 在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想二、教学重点、难点1、重点 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的 一般方法.2、难点全称命题和特称命题的真假判定。三、教学过程一)新课学习(一)、全称量词由课本21页思考(幻灯片上思考 1)引出问题，即由：(1) x>3;(2) 2x+1是整数.(3)对于所有的x

2、R,x>3;(4)对任意一个x 乙2x+1是整数.由上面例子引出：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词( universal quantifier )，并用符号 “”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.注：1、常见的全称量有：“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等；2、组织列举其他数学例子，加深对全称量词的理解总结全称命题的符号语言：通常，将含有变量 x的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量x的取值范围用 M来表示.那么，全 程命题“对于 M中任意一个x,有p(x)成立"可以用符号简记为x M,p(x),读作“对任意x属于M ,有p(x)成立

3、”.例1:判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数2(2) x R, x 11;例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数 学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法.例后练习：课本23页1题。(二)、存在量词由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题，即由：(1) 2x+1=3(2) x能被2和3整除；(3)存在一个 x0R,使 2x01 3;(4)至少有一个x0 Z,x0能被2和3整除.由上面例子引出：短语“存在一个"、"至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词( existenti

4、al quantifier )，并用符号"”表示，含有存在量词的命题，叫做 特称命题.注：1、常见的存在量词有：“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等；2、组织寻找其他数学例子，加深对全称量词的理解.特称命题的符号语言：特称命题“存在 M中的元素x0,使得p( x0)成立"可以用符号简记为x0 M, p(x0),读作“存在 M中的元素x0,使彳导p(x0)成立”.例2:判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数 x0,使 x02+2x0+3=0 ；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数 .例后小结：判断特称命题真假的一般方法：举特例法.例后

5、练习：课本23页第2题.随堂演练：(1、2、3见课件)2) 课后探索命题'(a b)a b是全称命题吗？如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全b 1 b 1称命题。3) 小结1、全称量词、存在量词及全称命题和特称命题的定义；2、全称命题与特称命题真假的判断；3 、全称命题和特称命题的自然语言与符号语言的转化4) 布置作业第二教材第19页的分级训练.全称量词与存在量词(一)教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用， 正确区分全称量词和存在量词的概念， 并能准确使用和理解两类量词。教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课 型：新

6、授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有 至多、至少、有一个一一” 等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习 和讨论这类问题，以解心中的郁结。问题1:请你给下列划横线的地方填上适当的词一 纸；一 牛；一 狗；一 马；一 人家；一 小船张头条匹户叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。 汉语的物量词纷繁复杂，又 有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不 遵守量词使用的这些原则，就会闹出 j匹牛"上头狗"“只鱼”的笑话来。

7、二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言， 量词是人们相互 交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题， 而是更多的给予它数学 的意境。问题2:下列命题中含有哪些量词？(1)对所有的实数x,都有x2q(2)存在实数x,满足x2>Q(3)至少有一个实数x,使得x2 2 = 0成立；(4)存在有理数x,使得x2 2=0成立；(5)对于任彳自然数n,有一个自然数s使彳# s = n尔（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n,有s = n n；上述命题中含有： “所有的 ”、 “存在 ” 、 “至少 ”、 “任何 ”等表示全体和部分的量词。三、

8、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。全称量词 ：如 “所有 ”、 “任何 ”、 “一切 ”等。其表达的逻辑为： “对宇宙间的所有事物 x 来说， x都是 F。 ”例句： “所有的鱼都会游泳。 ”存在量词 ： 如 “有”、 “有的 ”、 “有些 ”等。 其表达的逻辑为： “宇宙间至少有一个事物 x， x 是 F。 ”例句： “有的工程师是工人出身。 ”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。单称命题：其公式为“（这个）S是P'。例句：这件事是我经办的。”单称命

9、题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用 “这个 ”“某个 ”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为 所有S是P'。例句：所有产品都是一等品"。全称命题，可以用全称量词，也可以用 “都”等副词、 “人人 ”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如 “人类是有智慧的。 ”特称命题：其公式为 有的S是P'。例句：失多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如 “有些 ”、 “很少 ”等，也可以用 “基本上 ”、 “一般 ”、 “只是有些 ”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？（ 1）

10、方程2x=5 只有一解 ；（ 2）凡是质数都是奇数；（ 3）方程2x2 1=0 有实数根；（ 4）没有一个无理数不是实数；（ 5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合AAB是集合A的子集；分析 ： （ 1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（ 4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；四、数学理论1 开语句 ： 语句中含有变量 x 或 y， 在没有给定这些变量的值之前， 是无法确定语句真假的 这种含有变量的语句叫做开语句。 如， x<2 ， x-5=3 ， (x+y)(x-y)=0.2表示个体常项或变项之间数量关系的词为 量词 。量词可分两种：(1) 全称量词日

11、常生活和数学中所用的 “一切的 ” ， “所有的 ” ， “每一个 ” ， “任意的 ” ， “凡” ， “都 ”等词可统称为全称量词，记作x、 y 等，表示个体域里的所有个体。(2) 存在量词日常生活和数学中所用的 “存在 ” ， “有一个 ”， “有的 ”， “至少有一个”等词统称为存在量词，记作 x ， y 等，表示个体域里有的个体。3含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。全称命题的格式 ： “对 M 中的所有 x， p(x) ”的命题，记为 : x M , p(x)存在性命题的格式 ： “存在集合 M 中的元素 x， q(x) ”的命题，记为 : x M,

12、q(x)注： 全称量词就是 “任意 ” ，写成上下颠倒过来的大写字母A ，实际上就是英语 "any" 中的首字母。存在量词就是 存在“、有”，写成左右反过来的大写字母E,实际上就是英语"exist”中的首字母。存在量词的 “否 ”就是全称量词。五、巩固运用例 1 判断以下命题的真假：2222 1) 1) x R, x x ( 2) x R, x x ( 3) x Q, x 8 0( 4)x R, x 2 0分析 ： ( 1)真；( 2)假； ( 3)假；( 4)真；例 2 指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设 a=b,贝U有 a2=ab第二步：等式两边都减去

13、b2,得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以 a-b 得， a+b=b第五步：由 a=b 代人得， 2b=b第六步：两边都除以 b 得， 2=1分析：第四步错：因a-b=0,等式两边不能除以a-b第六步错：因b可能为0,两边不能立即除以b,需讨论。心得： (a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b 是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b 2=1是存在性命题，不是全称命题。例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来(1)中国的所有江河都注入太平洋； 2) 0不能作除数；(3)

14、任何一个实数除以1,仍等于这个实数；(4)每一个向量都有方向；分析：(1)全称命题,河流xC 中国的河流,河流x注入太平洋;(2)存在性命题，0CR, 0不能作除数;(3)全称命题，xC R - x；1(4)全称命题，a , a有方向；六、回顾反思要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假。即全称命题与存在性命题之间有可能转化

15、，它们之间并不是对立的关系。七、课后练习1 .判断下列全称命题的真假，其中真命题为()A.所有奇数都是质数B. x R,x2 1 1C,对每个无理数x,则x2也是无理数D.每个函数都有反函数2 .将“2+y22xy改写成全称命题，下列说法正确的是()A. x, y R,都有 x2 y2 2xyB. x,y R,都有 x2 y2 2xyC. x 0, y 0,都有 x2 y2 2xyD. x 0, y 0,都有 x2 y2 2xy3 .判断下列命题的真假，其中为真命题的是22A.xR,x2 1 0B.xR, x21 0C.xR,sin x tanxD.xR,sinx tanx4 .下列命题中的假命题是(A.存在实数 a和 B,使 cos(o+®=cosocos时sin osin 0B.不存在无穷多个 a和 B,使 cos(o+B)=cosocosf+sin osin pC.对任意 a和 B,使 cos(廿份二cosocos。一sin osin pD.不存在这样的a和 就 使 cos( o+ B ) 半 cossg sin osin 05