2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷解析版

1、2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）（3分）-6的绝对值等于（3.A. 6C.D. - 62.（3分）“天文单位”C.D.是天文学中测量距离的基本单位,1天文单位约等于149 600 000千米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（一 一 5A . 1 496 X 105B . 1 496 X 108一 一 一 5C. 1.496 X 105D. 1.496X 1084.(3分)在平面直角坐标系中，将点P （26）向下平移3个单位长度，得到的点P的坐标为（C. (T, 6)

2、D. (5, 6)6.A. (23)B . 9)5.（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（7.8.等边三角形正五边形（3分）计算（一3x） 3的结果是（3B. - 9x（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各正六边形C.39x平行四边形3D. 27x2个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（D.9.（3分）如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC,若ABC _C.3D.10. （3分）如图，抛物线 y=x2+2x-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D在抛物线上，且 CD / AB, BD与y轴相交于点

3、巳过点E的直线FG平行于x轴，与抛物线交于F, G两点，则线段FG的长为（）A. 1+VSB, 3C, 2126填空题（本题共 6小题，每小题3分，共18分）D. 2+7111. (3 分)如图， AB / CD , BC / DE, / B = 72° ,则/ D=12. （3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表:成绩（分）47484950则这10名同学的体育成绩的平均数为13. （3分）如图， ABC是等边三角形，中线 BD, CE相交于点 O, OB=2,则BC的长14. （3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题:

4、九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为15. （3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中 AB/DC, ZBAE = 90° ,根据图中的数据计算CD的长为cm （精确到 1cm）（参考数据：sin37° =0.60, cos37° =0.80,tan37° 0.75）B50升油,16. （3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有卜面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升.、解答题（本题共

5、 10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）（3 1,2） 2+V32+17. （9分）计算:18. （9分）计算:7a +63.钝.a+2m2-1619. （9 分）如图，AB=CD, AEXBC, DF ±BC,垂足分别为 E, F, CE = BF.求证：AE= DF.20. （12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测 试.以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比

6、为%,成绩等级为“及格”的男生人数为 人；（2）被测试男生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的男生人数 人；（3）若该校七年级共有 570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为 “良好”的学生人数.21. (9分)向阳村 2017年的人均收入为 30000元，2019年的人均收入为 36300元.(1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；(2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22. (9分)如图，直线 y=3x+6与反比例函数y= (x>0)的图象交于点 A (1, m),与x轴交于点B

7、,与y轴交于点C.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)在y轴上有一动点P (0, n) (0vnv6),过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点 D,交直线AB于点E,连接BD.若Sxbde=1Sxboc,求n的值.23. (10分)如图，AB为。的直径，C为。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,直线AB、CD交于点E, AD交。O于点F.(1)求证：AC平分/DAB;(2)若 AF=7, DC = 2巧，求 AE 的长.24. （11分）如图， ABC中，/ C=90° , AB=5, tanA = 2,点P从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB向

8、点B运动，过点P作PDLAB交4ABC的直角边于点 D,以PD为边向PD右侧作正方形 PDEF.设点P的运动时间为t秒，正方形 PDEF与4ABC 的重叠部分的面积为 S.（1）用含t的代数式表示线段 PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量 t的取值范围.备用图25. （12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题.数学课上，老师出示了这样一道题： ABC中，AB=AC, BC=kAB, DAAC交BC于点D,点E在BC的延长线上，且/ B =/ BAD+Z E, AF平分/ DAE交BE于点F, CGXAF垂足为 G,探究线段 CG与AD 的数量关系，并证明.同学们经过思考后，

9、交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现/ BAD与/ CAE相等.”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段.”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系.” 老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流.”（1）求证：/ BAD = Z EAC;（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含 k的代数式表示），并证明.A26. (12分)定义：把函数 Ci： y=ax2-6ax+5a (aw0)的图象绕点P (m, 0)旋转180。，得到新函数C2的图象，我们称 C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴为直 线 x= h.例如

10、：当m= 1时，函数y= (x+1) 2+5关于点P (1, 0)的相关函数为 y=- ( x- 3) 2 一5.(1)填空：h的值为 (用含m的代数式表示)；(2)若a=1, m=1,当t- 1<x< t时，函数C2的最大值为y1,最小值为y2,且y1 - y2 =3,求t的值；(3)当m=2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴相交于点D.把线段BD绕原点。顺时针旋转90。，得到它的对应线段 B' D'.若线段B'D'与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷

11、参考答案与试题解析、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1 . （ 3分）-6的绝对值等于（）C.D. - 6A. 6B .6【分析】根据绝对值的性质解答即可.【解答】解：根据绝对值的性质,|- 6|= 6,故选：A.【点评】 本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是 它的相反数，0的绝对值是0,难度适中.2. （3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.【解答】解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B

12、.【点评】 本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，解题的关键是掌握几 何体的三视图及空间想象能力.3. （3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149 600 000米，149 600 000这个数用科学记数法表示为（）A . 1 496X 105B . 1 496X 108C. 1.496X 105D. 1.496X 108【分析】科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1W|a|<10, n为整数.确定的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值v1时，n是负数

13、.【解答】 解：149 600 000这个数用科学记数法表示为 1.496X 108.故选：D.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其中1 & |a|v 10, n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.4. (3分)在平面直角坐标系中，将点 P (2, 6)向下平移3个单位长度，得到的点 P'的坐标为()A. (2, 3)B. (2, 9)C. (- 1, 6)D, (5, 6)【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减计算即可.【解答】解：点P (2, 6)向下平移3个单位长度，得到的点 P'的坐标为

14、(2, 6-3),即(2, 3),故选：A.【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律.5. ( 3分)不等式6x+1 <2x-3的解集在数轴上表示正确的是()【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为 1可得.【解答】解：6x+1<2x- 3,6x - 2xW - 3 - 1,4x< 4,x< - 1,故选：D.【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.6.（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（等边三角形正五

15、边形正六边形平行四边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误;B、不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误;C、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误;D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确.【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.A.（3分）计算（-3x） 3的结果是（3B. 9x3C. 9x3D. 27x【分析】根据积的乘方的性质进行计算即可.【解答】解：（-3x） 3= - 27x3,【点评】 本题考查

16、了积的乘方.解题的关键是掌握积的乘方的运算方法,要注意理符号的变化.8.（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（D.【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然 后根据概率公式求解.【解答】解：画树状图为:红厚绿红凝绿红红绿红红禄共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2,所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率=卷 =（.故选：B.【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件 A或B的结果

17、数目m,然后根据概率公式计算事件 A或事件B的概率.9. （3分）如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使点B落在AD上点F处，折痕为EC,若AB=3, BC = 5,则AE的长为（）C.【分析】根据折叠的性质得到 CF = BC=5, EF = BE,根据勾股定理得到 DF=4,求得AF=5-4=1,设AE=x,根据勾股定理列方程即可得到结论.【解答】解：二.将矩形纸片 ABCD折叠，使点B落在AD上点F处,.CF= BC=5, EF = BE, ，CD = AB=3, / D=90° ,DF = 4,AF = 5 - 4= 1 , 设 AE = x,BE= EF = 3 - x, .

18、/ A=90° , .ae2+af2=ef2,x2+12= ( 3 - x)故选：C.【点评】 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、熟练掌握翻折变换的性 质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.10. (3分)如图，抛物线 y=x2+2x-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点D 在抛物线上，且 CD / AB, BD与y轴相交于点 巳过点E的直线FG平行于x轴，与抛 物线交于F, G两点，则线段FG的长为()A. 1+VSB, 3C. 2/3D. 2+/S【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B, C, D的坐标，由点B, D的坐标，利用待定系数法可求出

19、直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点F、G的横坐标，进而可求出线段FG的长.【解答】解：二.抛物线y=x2+2x- 3= (x+3) (x-1),，令 x= 0,贝U y= - 3,C (0, - 3),令 y= 0,贝U ( x+3) (x1) = 0,x= - 3 或 1,B (1, 0),抛物线 y=x2+2x- 3= (x+1) 24,，对称轴为x= - 1. CD / AB,，C、D两点关于x= - 1对称,，D (- 2, - 3),设BD的解析式为y = mx+n (mw0),则rm+n=O1. -2m.-Hn

20、=3 卜 1 ,BD的解析式为y=x- 1, E (0, - 1),令 y= - 1,贝U y = x2+2x - 3= - 1,解得，x= -1 ± F (- 1T), G (- 1g, - 1), FG= ( - 1+ 6)-(-1 - 73)= 2/3故选：C.【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法 求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特 征求出点F、G的横坐标是解题的关键.、填空题(本题共 6小题，每小题3分，共18分),则/ D= 108【分析】先根据AB / CD求出/ C的度数，再由11. （

21、3 分）如图， AB/CD, BC/DE, / B = 72BC / DE即可求出/ D的度数.【解答】解：.AB/CD, /B=72 ./ C= 180° - / B=108° , BC/ DE,.Z D=Z C= 108° .故答案为：108.【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，同旁内角互补.12. (3分)某校随机抽查了 10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表:成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49 .【分析】结合表格根据平均数的概念求解即可.解答解：平均数=47位£

22、乂£槿9义各50工410士才故答案为：49.【点评】本题考查了平均数的知识，掌握平均数的概念是解答本题的关键.13（3分）如图， ABC是等边三角形，中线 BD, CE相交于点 O, OB=2,则BC的长【分析】先判断点。为 ABC的重心，根据重心的性质得到OD = 1,则BD=3,再根据等边三角形的性质得 BDXAC, Z BCD = 60° ,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解.【解答】 解：: BD和CE为乙ABC的中线,.点。为 ABC的重心， .-.OD=-1-OB = X2=1,BD= 3,.ABC为等边三角形，BD± AC, / BCD =

23、60° ,.1.cd=-bd = V3,BC= 2CD = 2/3.故答案为2Vs.【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 .也考查了等边三角形的性质.14. （3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作四元玉鉴中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为|+7=1000善 it4V - ggg一【分析】设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意可得两个等量关系：甜果的个数+苦果的个数=1000,买甜果所需的钱数+买

24、苦果的所需的钱数=999,依此列出相 应的方程组，从而可以解答本题.【解答】解：设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，st+y=1000口 4与 x?期 9故答案为【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列 出相应的方程组.15. （3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中 AB/DC, /BAE = 90。，根据图中的数 据计算CD的长为 22 cm （精确到1cm）（参考数据：sin37° =0.60, cos37° =0.80, tan37° 0.75）【分析】 作DMAB于M,在RtBCN中，由三角函数求出 BC=83.3

25、 （cm）, BN 66.7（cm）,求出AN的长，证出 ADM是等腰直角三角形，得出 AM = DM = 50cm,即可得出CD的长.【解答】 解：作DM LAB于M,如图所示：在RtABCN中，BC=CN + cos37° =50 + 0.8= 62.5 (cm), . BN= BC?sin37° = 62.5X 0.8037.5 (cm), . AN = AB+ BN = 34+37.5 = 71.5cm, . / DAE = 45 ° , / BAE = 90 ° , .Z DAM =45° ,.ADM是等腰直角三角形，AM =DM =

26、 50cm,CD = MN = AN - AM = 71.5 - 50 22 (cm);故答案为：22.【点评】 本题考查了解直角三角形的应用、三角函数、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握解直角三角形的方法，求出BN是解决问题的关键.16（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为 37升.【分析】找准几个关键点进行分析解答即可.【解答】解：由图象可知：当用时 1小时时，油量剩余 45升，行驶了 30公里;当用时在1-2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为 磔型-二口Q0公里，每小

27、时耗油量为 生二生 二g升，当用时1 + 1 = 2小时时，此时刚好行驶了130公里,此时油箱里的剩油量为：45 - 8X 1 = 37升,故答案为：37.【点评】 本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决.、解答题（本题共 10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17. （9 分）计算：（3-攻）2+732+【分析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可.【解答】解：原式=9 - 62+2+45/2+2-J2= 11.【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次

28、根式，然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.18. （9分）计算:【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.解：原式=2U+3） 2aa+4a+4【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则19. （9 分）如图，AB=CD, AEXBC, DF ±BC,垂足分别为 E, F, CE = BF.求证：AE= DF.【分析】 由 AEXBC, DFXBC,得/ DFC = / AEB = 90° ,又由 CE= BF,可得 CE - EF= B

29、FEF,即 CF = BE, AB = CD,所以 DFCAEB,即可得出 AE= DF【解答】 证明：.AE± BC, DF ±BC, ./ DFC = Z AEB = 90° ,又 CE=BF, .CE- EF=BF - EF,即 CF=BE,.AB=CD, RtADFCRtAAEB (HL), . AE= DF .【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在两直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，两直角三角形全等.20. (12分)某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测 试.以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.

30、成绩等级 频数(人)频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：(1)被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30 %,成绩等级为“及格”的男生人数为10人:(2)被测试男生的总人数为 50人,成绩等级为“不及格”的男生人数5人;(3)若该校七年级共有 570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为 “良【分析】（1）根据及格的人数和频率求出被测试男生的总人数，用总人数乘以成绩等级为“优秀”的男生人数所占的百分比，求出成绩等级为“优秀”的男生人数，再用成绩等级为“优秀”的男生人数除以总人数，即可得出成绩等级为“优秀”的男生人数占被测

31、试男生总人数的百分比；根据及格的频数直接得出成绩等级为“及格”的男生人数；（2）根据（1）求出的总人数乘以成绩等级为“不及格”的男生人数的频率即可得出答案；（3）用该校七年级共有的人数乘以成绩等级为“良好”的学生人数所占的百分比即可.【解答】解：（1）被测试男生总数有 10 + 0.2=50 （人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50X 30%= 15 （人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为至 X 100%= 30% ;50成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30, 10;（2）根据（1）可得：被测试男生总数是 50 （人），成绩等级为“不及格”的男生人数

32、有50X0.1=5 （人），故答案为：50, 5;（3）根据题意得：570 X （ 1 - 30%- 0.2- 0.1） = 228 （人）,答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人.【点评】 本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.21. （9分）向阳村 2017年的人均收入为 30000元，2019年的人均收入为 36300元.（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前

33、两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【分析】（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,根据2017年及2019年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据2020年该村的人均收入=2019年该村的人均收入X ( 1+增长率)，即可求出 结论.【解答】 解：(1)设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,依题意，得：30000 (1+x) 2=36300,解得：X1=0.1 = 10%, X2=- 2.1 (不合题意，舍去).答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)

34、36300X ( 1 + 10%) = 39930 (元).答：预测2020年该村的人均收入是 39930元.【点评】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.22. (9分)如图，直线 y=3x+6与反比例函数y= (x>0)的图象交于点 A (1, m),与x轴交于点B,与y轴交于点C.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)在y轴上有一动点P (0, n) (0vnv6),过点P作平行于x轴的直线，交反比例(2)先利用一次函数解析式确定B ( - 2, 0), C (0, 6),再用n表示出E (工?，n),3,n),根据三角形面积公式，利用

35、Sabde="1saboc得至哈xnx (1-呼)=三w2 n s 15|XX 2X6,即方程得到n1=3+z/s, n2=3-2毒，然后利用0vnv6可判断n的值不存在.【解答】 解：(1)把A (1, m)代入y=3x+6得m = 3+6 = 9, A d, 9);把 A (1, 9)代入 y=4导 k= 1X9=9, x 反比例函数解析式为 v=% (x>0;(2)当 y=0 时，3x+6=0,解得 x= 2,则 B ( 2, 0);当 x = 0 时，y= 3x+6 = 6,贝U C (0, 6); DP / x轴, D、E点的纵坐标都为n, E (畔，n), D (一

36、, n),3n9SaBDE = SaBOC,3._x nx (a-=x_Lx2X6,2 n 33 2整理得 n2- 6n- 3=0,解得 m= 3+273, n2 = 3- 2/3,. Ovnv 6,n的值不存在.【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也得考查了待定系数法求函数解析式.23. (10分)如图，AB为。的直径，C为。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,直线AB、CD交于点E, AD交。O于点F.(1)求证：AC平分/DAB;(2)若 AF

37、=7, DC = 2'再，求 AE 的长.【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到 CDXOC,根据平行线的性质得到/ CAD= /ACO,根据角平分线的定义即可得到结论；(2)如图，连接BC, CF, BF,根据圆周角定理得到/ ACB=90 , Z AFB = 90 ,根 据相似三角形的性质得到 马=囱国，求得DF=1 (负值舍去)，根据勾股定理得到=7aD2<D3=7s2+(2V2)2 =,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】(1)证明：连接oc,. CD是的切线，.CDXOC,又 CDXAD,AD II OC, ./ CAD = Z ACO,.OA= OC,CAO

38、=Z ACO, ./ CAD = Z CAO,即AC平分/ DAB ;（2）如图，连接 BC, CF, BF, . AB为。O的直径， ./ ACB=90 , Z AFB = 90° , .Z CAB+Z CBA=90 , Z DAC + Z DCA = 90 ,由（1）知，Z DAC = Z CAO, .Z CBA=Z DCA,四边形ABCF是圆内接四边形, .Z AFC+Z CBA= 180 , / AFC+Z DFC =180 , ./ DFC = Z CBA=Z DCA,由（1）知，Z ADC =Z CDF = 90CDFA ADC, .DF CD CD "CD-A

39、E-AF+DF . DF _ 2愿2>/2 7+DF' DF2+7DF = 8, .DF= 1 （负值舍去），AD= AF+DF = 7+1 = 8,AC= VaD2<D2= 量产 6匹， . / DAC = / CAB, /ADC = /ACB =90° , ./ AFB = / ADC ,BF / DE,.里迎AB AF罟审 .AE =7【点评】 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定 义，正确的作出辅助线是解题的关键.24. (11分)如图， ABC中，/ C=90° , AB=5, tanA = 2,点P从点A出发，

40、以每秒 1 个单位长度的速度沿 AB向点B运动，过点P作PD LAB交 ABC的直角边于点 D,以 PD为边向PD右侧作正方形 PDEF .设点P的运动时间为t秒，正方形 PDEF与4ABC 的重叠部分的面积为 S.(1)用含t的代数式表示线段 PD的长；(2)求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围.备用图【分析】（1）如图1中，过点C作CHXAB于H .则/ AHC = Z CHB = 90°，设AH = m.分两种情形：当0vtwi时，如图1中.当1vt<5时，如图2中，分别求解即可.（2）首先确定点E落在BC上的时间，分三种情形： 当0vtw_L时，重叠部分是

41、正方|7|形PDEF ,如图1中.当反V t< 1时，重叠部分是五边形 PDMNF ,如图4中.当17vt<5时，重叠部分是四边形 PDNF,如图2中，分别求解即可解决问题.【解答】 解：（1）如图1中，过点C作CHLAB于H,则/ AHC =Z CHB = 90° ,设AH=m.St在 RtAACH 中，里=tanA=2,AH.CH2AH = 2m, /A+/ACH = 90° , / ACH + /BCH = /ACB= 90 ./ BCH = Z A,在 RtABCH 中，型=tan/BCH = 2,CHBH= 2CH = 4m,AH + HB=AB,.l

42、 5m= 5,m= 1,四边形PDEF是正方形，/ APD = / DPF =90° ,当0vtwi时，如图1中，n=tanA=2,ADPD= 2PA=2t.PDB = / A,在 RtADPB 中,= tanZ BDP=2,PD =PB = (5-t)_t+L(2)当点E落在BC上时，如图3中，由题意 EF = PF=PD=2t, BF = 2EF = 4t,.AP+PF+BF= AB,.-.t+2t+4t = 5,当0vtw高时，重叠部分是正方形当二V tw 1时，重叠部分是五边形PDEF ,如图 1 中，S= (2t) 2=4t2.PDMNF,如图 4 中，EF = PD=PF

43、 = 2t,C d A PHF图4在 RtBNF 中，FN=BF = = (522EN= EF- FN = 2t-A (5-3t)= 2在 RtEMN 中，EM = 2EN=7t-5tS= S正方形 PDEF - SzEMN= 4t2 ( 4当1vtv5时，重叠部分是四边形x二(5-t) - -X (立-J_)X-L 222 22jT K 2-3t),7t5) 2=至*+生.424PDNF,如图 2 中，S= Sa bdp - Sa bnf=-i x (5-t) 2(_L-N)=£t2_lt+ZL,2 216| | 8 16综上所述，S=33 2 35【点评】 本题属于几何变换综合题

44、，考查了正方形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.25. （12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题.数学课上，老师出示了这样一道题: ABC中，AB=AC, BC=kAB, DAAC交BC于点D,点E在BC的延长线上，且/ B=/ BAD+Z E, AF平分/ DAE交BE于点F, CGXAF垂足为G ,探究线段 CG与AD的数量关系，并证明.同学们经过思考后，交流了自己的想法:小明:“通过观察和度量，发现/ BAD与/ CAE相等.”小强:“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段.小伟:“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段

45、CG与AD的数量关系.老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流.(1)求证：/ BAD = Z EAC;（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含 k的代数式表示），并证明.【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到/B=/ACB,根据三角形的外角性质、结合题意证明即可；（2）作ANLCD于N, DHLAG于H,证明 DFH0CFG,根据全等三角形的性质得 到CG = DH,证明ADHsABN,根据相似三角形的性质列出比例式，计算得到答案.【解答】（1）证明：AB = AC, ./ B=Z ACB, / ACB是 ACE的外角, ./ ACB=Z CAE + Z E, . / B=

46、Z BAD+Z E, ./ BAD = Z EAC;(2)解：CG=AD,2理由如下：作 ANXCDT N, DHAG于H,设/ BAD = a,则/ EAC = a, AF 平分/ DAE, ./ DAF = Z EAF =)(/DAC+/EAC) =45。凸a,AB= AC,a, ./ B=Z ACB = J ( 180° - / BAC) =, (90° - / BAD) = 45a, ./ ADF = Z B+/BAD = 45°./ ADF = Z DAF,FA= FD ,. / DAC= 90° ,，/FAC=90° - Z DAF

47、 , /FCA = 90° - Z ADF , ./ FAC=Z FCA ,FA= FC,DF= CF,在 DFH和ACFG中，fZDHF=ZCGP=90fl/DFH=/CFG ,DH=CFDFHA CFG (AAS),.CG=DH, AB= AC, ANXBC,BN = AbC = -AB,22/ADH = 90° - Z DAF =45° a,2/ ADH = Z B,又/ AHD = / ANB ,ADHA ABN,【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.26. (12分)定义：把函数 Ci