《线性代数》同济大学版课后习题答案详解

1、线性代数同济大学版 课后习题答案详解1aa21 b b21 c c2第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式20114 1183201解14 11832 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4a b cb c acaba b c解 b c a cabacb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3aa21bb2cc2bc2ca2ab2 ac2 ba2 cb2(ab)(bc)(c a)x y x y y x y xx y x yx y x y解 y x y xx y x yx(

2、x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x33xy(x y) y3 3x2y x3 y3 x32(x3 y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解 逆序数为441 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为53 2 3 1 4 2 4 1,2 1(4)2 4 1 3解逆序数为32 1 4 1 4 3(5)1 3(2n 1) 2 4(2n)逆序数为n(n 1)23 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2)

3、 (n 1 个)(6)1 3(2n 1) (2n) (2n 2)2解逆序数为n(n 1)3 2(1 个)5 2 5 4 (2 个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6(2n)(2n 2) (n 1 个)3写出四阶行列式中含有因子ana23的项解 含因子ana23的项的一般形式为(1)tana23a3ra4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)ta11a23332a44 ( 1)1a11a23a32a44 ana23a

4、32a44 t2(1)a11a23334a42 ( 1) ana23a34a42 ana23a34a424计算下列各行列式420 7202 112 5 1411000 4 121 1234110 0 41210 20211230 41100 q兀 Gd4207 2021 解 12514 110041100241239079002411224236112023152315G 04 11 22 42 36 11 20 23 15biabdbfbdbf2310cfcdcf42301120e e adefaedeef0200Q 0202 4236 1120ofadbb23 1202 0042 3411

5、211 1 1adfbce 11 11 114abcdef/ 八3 1aba2b2a2baVba、ab a zhV( 1) ba2b2a(ba)(ba)12(ab)Oo1d o 1 C1 1 b1o a1oooo 1d a1 C1 lbab1o 1O1OO aOo1d O1 C1 1b1oa1oo解1 ab( 1)( 1)21 01a 0 c3c 11 ddc21 ab a ad1 c 1 cd010( 1)( 1)3 21ab 1ad1 cdabcd ab cd ad 1ax(2) ay az证明by ay bz az bxbz az bx ax bybx ax by ay bzx y z

6、(a3 b3) y z x ；z x yaxbyaybzazbxaybzazbxaxbyazbxaxbyaybzx ay bz az bx ay az bx ax byz ax by ay bzy ay bz az bx bz az bx ax byx ax by ay bz5证明：a2 ab b2 2a a b 2b (a b)3；111证明a22a1aba b1b2 c22b1 5c1 a2 ab a2 2a b aq 10b2 a22b 2a0x ay bz z a2 y az bx xz ax by yy z az bx b2z x ax byx y ay bzx y z _3 a3y

7、 z xz x yx y z a3y z xz x yy z x b3z x yx y zx y z b3 y z xz x yd)(c d)(a b c d);(a b)(a c)(a d)(b c)(b证明1d2 4 dd 2 4 c c1bt)2b411110 ba c a d a0b(ba) c(ca) d(da)0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111(b a)(c a)(d a) 2 b 2 c 2 d b2(b a) c2(c a) d2(d a)9g(c(dabed/V /V /V /V2 2 2 2 7 7 7 1111abed/V /V /V /V2 2 2

8、 2abed6得c82c3ca1 d b b)(d b a：11a)0 c b0 c(c b)(c b a) d(d(b a)(c a)(d得庚3c5 55 52a2b2c2d333311c(c b a) d(d b a)(b a)(c a)(d a)(c b)(dan 1x anb)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)xn a1xn 1X=(aoooo X电O1I 1X on a xo o烝abed/k /k /k /k2a2b2c2d2 2 2 21111abed/ / r r2 2 2 2 abed11112a2b2c2dab cd22 2 22 4 1d

9、 dd02 4c c2 2 2 2 abed2 2 2 2 ab cd1bt)2b412 41 a a a证明用数学归纳法证明- X 12当 n 2时 D2 o y o X aX 2 x a1假设于(n 1)阶行列式命题成立 即Dn 1 Xn 1 ai Xn 2an 2X an 1则Dn按第一列展开有1 0Dn XDn 1 an( 1)n 1 X 111xD n 1 an Xn a1Xn 1an 1X an因此对于n阶行列式命题成立a2命题成立(1)n1(1)na11a21an1a1n a2n annOOOO6设n阶行列式D det(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次

10、得an1a11anna1nQnD2a11annan1annD3a1na11(1)12同理可证(n 2) (n 1)dn(n 1)(1)=Dn(n 1)证明 D1D2 ( 1) 2 D D3 d证明 因为D det(aij)所以an1D1ann“1 (1)n1an1a11a1na21n(n 1) a11D2( 1尸a1nn(n 1)D3( 1尸 D2计算下列各行列式an1n(n 1)n(n 1)(1尸 DT (1尸 Dannn(n 1) n(n 1)(1)= ( 1)= D ( 1)n(n 1)D D(Dk为k阶行列式)a 1(1)Dn,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0Dn（按第n行展开

11、）Dn再将各列都加到第一列上1OO ooo ooo oo a o ao1 n ) 1(n1)(n 1)(1)2n(1)nDn(n1)n1)(n 1)(n 2)(n2)an an an 2 an 2(a2 1)Dn(3) Dn 1解根据第Dm解将第一行乘（1）分别加到其余各行x (n00anan11)a(a (a6题结果x (n 1)a(x a)n 11)n1)n 1(a (an)nn)n 1n(n 1)(1) 2此行列式为范德蒙德行列式n(nDn 1 ( 1) 21)n 1 aan(a(a1)n11)n(a(a n 1n)n)n(aj 1i 1)(a j1)D2nn(n 1)(1尸(i j)n

12、 1 i j 1n(n 1) n (n 1)1(1) 2 ( 1)2(i j)n 1 i j 1(i j)n 1 i j 1anc1 d1dnananbnan 1a1 nc1 d1cn 100 an 1(1)2n 1bncn 1cn再按最后一行展开得递推公式D2n andnD2n 2 bnCnD2n 2bn1 0dn1 0 0 dn即 D2n (andnbn 1a1 b1c1 d1bnCn)D2n 2a1C1d1（按第1行展开）dnn于是D2n(aidi hG)D2i 2而 D2 a1 d1 aid1 Dc1c1 d 1n所以 D2n(aidi bci)i 1(5) D det(aij)其中

13、aij |i j|;解aj |i j|111 ooo oooo o%匕Oa2a “320 1nli 111n311a2a3an1aa1a2a3n aa 11 ooo 1 ooo ano ooo 1O ooooo 1 o oO1 1 o o11 o o oka&C3JC2, 11a1n na11 o o oOO1 o oO1O o o1OO o oka2 a a.1 k a2 a a.8用克莱姆法则解下列方程组123 4o n n n noooon1111 o4 321 on 3210 1n21O1 2n1012 3n1 1111111114 n 3 na et d1 1111noo022aa中

14、其)22oo n 2302 22n 2 12 n )2J GC2qka1 11a21 11a-1 11Dn61 a111 1 a2Dn111 ano o o1 10 006 5 o 0651 0 6510 6 5100 5 1000为 D因 c解075000 6 50065106510651001OOO1D540006500651065101OOO15100042X442T-6421I2X2X 2%X2451145111121122311123231220D1弘214511111252201123151452212311200 065 1OOO1 06 51065100 510004.0370

15、0 06 5 00651 1OOO165 1oo 5100004215221231124ELD刈32 D%22 D“1 D为以所51000651 00065 10006 511OO O1411213211211411x 1507为665x21145665x3703665x4395665x42126659问取何值时齐次线性方程组x2x22 x2x3x30有非零解?0解系数行列式为1 1得 o D令02或 3于是当 02或 3时 该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换小3yl3ylX1X2% 3 3 y y y35求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换解由已知x

16、i221yiX2315、2X3323y2yi2211 Xi故y23 15x2y23 2 3x37 4 9 y637 y23 24 y31 1D 111 2 1令D 0得0或1于是当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解(1)x1 2x2 4x3 010问取何值时齐次线性方程组2x1 (3)x2 x3 0 有非零xl x2 (1)x3 0解？解系数行列式为y17x1 4x2 9x3y2 6% 3x2 7x3y3 3x| 2x2 4x3已知两个线性变换求从zi解xi 2yi V3 x22yi 3y2 2y3% 4yi y2 5y3Z2 Z3到xi x2 x3的线性变换由已知xi 2 0 i yix2

17、2 3 2 y2x34 i 5 y2yi 3zi z2y2 2zi Z3y3 Z2 3z32 0 i 3 i 0 42 3 2 2 0 i z24 i 5 0i 3 z3所以有6 i 3 zi i2 4 9 z2i0 i i6 z3xi6z z2 3z3x2124 4马 9z3x3i0zi z2 i6z3i2 3i 2 4 求 3AB 2A 及 ATB05 ii i i 3AB 2A 3i i i i i i0 5 8 3 0 5 62 9 0i i ATB i ii i4计算下列乘积 4 3 i 7 i 2 3 25 7 0 i4 3i7解i2325 70i3(i 2 3) 2 i3解(i

18、2 3) 2 i2 i ( i 2)3i i i2 i i ii i iii 2 3i i 2 4i0 5 i2 i3 222 i7 204 2920 5 80 5 62 9 04 7 3i 7 ( 2)5 7 7(i 3 2 2 3 i) (i0)2 i i352 3 i62 0 i492)10141) 21) 11) 3(5)(Xi X2 X3)0l1 a12 a13a115 设A 13 B 11 01 431303130a1212121212a13a22 a23a23a33X1X2X3a12 a13Xi(X1 X2 X3) a12 a22 a23x2a13X3(allXl a12X2 a

19、13X3 a12Xl a22X2 a23X3 a13Xl(1)AB BA 吗？解 AB BA因为AB(A B)2 A23 4 ba4 6 BA2AB B2 吗？解 (A B)2 A2 2ABB2所以ABBA620a23X2 a33X3)X1X2X3ai1X1 a22X2 a33X3 2ai2XlX22a13X1X3 2a23X2X3因为A(AB)28141429A2 2AB所以(A B)2 A2B281181210 1615 272AB B2(A B)(A B) A2 B2 吗？解(A B)(A B) A22因为A B 2(A B)(AB2B)而A223810而AB41134故(A B)(A

20、B) A2 B26举反列说明下列命题是错误的(1)若 A2 0 则 A 0解取A若A2 A则A 0或A E解取A则A2 A但A 0且A E若AX AY且A 0则X Y解取则AX AY且A 0但X YA 1 07 设 A 1 0求 A2 A3Ak1.八21 0 1 01 0解 A 112 1A3 A2A10 102 11Ak1 08设A 01求Ak0 0解首先观察1 01 02 21A201 010 2 20 00 00 02A3 A2 A 03 3 20 034 4 3 6 2A4A3 A044 30045 5 4 10 3A5A4 A055 4005k k k 1 k(k 1) k 2Ak0

21、 k k k 100k用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k时成立，则k 1时,01Ak 1 A A(kk(k 1)11求下列矩阵的逆矩阵|A| 1故A1存在因为1)k 1(k 1)k2 (k由数学归纳法原理知A*Ak9设A B为n阶矩阵，且 证明因为AT A所以k)1A21A22A1 A*|A|k(k 1)2k k 1kA为对称矩阵，证明 BTAB也是对称矩阵(BTAB)T BT(BTA)T BTATB BTAB从而BTAB是对称矩阵所以cos sinsin cosA*cos sinsin cos|A| 10故A 1存在因为A21A22cossinsincos1 |A|Acossinsin

22、 cos121AB BA10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是证明 充分性 因为AT A BT B且AB BA 所以(AB)T (BA)T ATBT AB即AB是对称矩阵故A 1存在因为必要性 因为AT A BT B 且(AB)T AB 所以AB (AB)T BTAT BAAAA 12 3 AAA 12 3 AAAA*1 A13 7 2132164 2 013 6132 14 20123 5 4 62 2312 2 10 8a1 a20(4)(a1a2an 0)0an0由对角矩阵的性质知1a1 0A1a201an12解下列矩阵方程1- 312 112 1 01 1 11

23、428- 32 T-2 T-1312312- 311-401010014310 0X0 012 0100 10 101 20x1 x2 2x1 x2 3x1 2x2x323x3 15x3 010 1 014 31 0 02 010 0 112 0解方程组可表示为0 10 14 3 1 0 01002010010 0 1 12 0 0 1 013利用逆矩阵解下列线性方程组x1 2x22x1 243% 5x23x3 5x3 X3解方程组可表示为1 11X22 13%13 25x301为 11125故x22 1310x33 2503“ 5故有 “ 0x3 314设Ak O (k为正整数)证明(E A

24、) 1 E A A2Ak 1123%1225x22351x331为1 2 31故x22 2 52x33 5 13 x 1从而有 x2 0*3 0证明 因为Ak O 所以E Ak E又因为E Ak (E A)(E A A2Ak 1)所以 (E A)(E A A2Ak 1) E由定理2推论知(E A)可逆 且(E A) 1 E A A2Ak 1证明 一方面 有E (E A) 1(E A)另一方面由Ak O有E (E A) (A A2) A2Ak 1 (Ak 1 Ak)(E A A2Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A2Ak 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有(E

25、 A) 1(E A) E A A2Ak 115设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆 并求A 1及(A 2E) 证明由A2 A 2E O得A2 A 2E 即 A(A E) 2E或 A 2(A E) E11由te理2推论知a可逆且A (A E)由A2 A 2E。得A2 A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 (A 2E) 1(3E A) E11- AX由定理2推论知(a 2E)可逆且(A 2E) (3E A)4证明 由A2 A 2E。得A2 A 2E两端同时取行列式得|A2 A| 2即|A|A E| 2故|A| 0所以A可逆 而A 2E A2 |A 2E| A2| |

26、A|2 0 故A 2E也可逆由A2 A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E A1 2(A E)又由 A2 A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E(A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1(A 2E) 1 -4(3E A)16设A为3阶矩阵|A| 2求 |(2A) 1 5A*|1解因为A1 A*所以|A|(2A) 1 5A*| |1 A 1 5|A| A 1| |1 A 1 夕 A1|()| | 2| | 22| 2A 1| ( 2)3A 1| 8|A| 18 21617设矩阵A可逆证明其彳随阵 A*也

27、可逆 且(A*) 1 (A 1)*1证明 由A1A*得A* |A|A1所以当A可逆时|A|A*11A1n|A 11 |A|n 1 0从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1 |A| 1A又 A 土(A1)* |A1A |(A*) 1 |A| 1A A| 1|A|(A 1)*1)*所以(A 1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明若A|0则|A*| 0(2)|A*| A|n 1证明(1)用反证法证明假设A*| 0则有A*(A*) 1 E由此得A A A*(A*) 1 A|E(A*) 1 O所以A* O这与|A*| 0矛盾，故当A| 0时 有A*| 0A 11 A(2)由于A 1A*

28、则AA* |A|E取行列式得到|A|A|A*| |A|n若 |A| 0 则 A*11A1n 1若|A| 0由(1)知|A*| 0此时命题也成立因此 |A*11A1n 10 3 319 设 A 11 0 AB A 2B 求 B1 2 3解由AB A 2E可得(A 2E)B A故B (A 2E)1A12 3 30 3 311 01 1 01 2 11 2 31 0 120 设 A 0 2 0且 ABEA2B 求 B1 0 1解由AB E A2 B得(A E)B A2 E即 (A E)B (A E)(A E)0 0 1因为|A E| 0 1 01 0所以(A E)可逆从而1 0 02 0 1BAE

29、030 1 0 221 设 A diag(1 2 1) A* BA 2BA 8E 求 B 解由A*BA 2BA 8E得(A* 2E)BA 8EB 8(A* 2E) 1A 18A(A* 2E) 18(AA* 2A) 18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A) 1 4diag(2 1 2) 1 114diag4 1%)2diag(1 2 1)10 0 0 0 10 022已知矩阵A的伴随阵A / c / c10 100 3 0 8且 ABA 1 BA 1 3E 求 B解 由 |A*| |A|3 8 得 |A| 2由 ABA 1 BA 1 3E 得AB B 3AB 3(A E) 1

30、A 3A(E A 1) 1A3(E A*) 1 6(2E A*) 110 0 00 10 010 100 3 0 66 0 0 00 6 0 06 0 6 00 3 0 11 41023设P 1AP其中P 110 2 求A解由P 1AP|P| 3P*11得 A P P 1 所以 A11 A=P 11P 1A1124设AP|P|P)P*11021125设矩阵A、B及A B都可逆证明因为A 1(A B)B 1 B 1 A 1 A 1 B 1证明A 1 B 1也可逆 并求其逆阵而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆 即A 1 B 1可逆(A 1B 1) 1 A 1

31、(A B)B 1 1 B(A B) 1A0211131343132731683273268426计算100021001 02001131000010032201133其中PB31B121求(A) A8(5E 6A A2)解()8(5 E 62)diag(1 1 58)diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0)(A) P ( )P 1B2EA2B1B2A AB1 b2OA2B2AB1 B228设AA2B2求A8|及A4A E E 0O A2 O B2A AB1 B2OA2B212 5 2

32、0 12 40 0 4 30 0 0 9解令 A14 43A 22 2A1 OO A12101030 1010120 0210020 00300011252101243004330009A8A8 oo a8|A8| IA811A811A181A28 101627 取 A B验证网|B|C| |D|A4 oO A454 00 54O10 100 10 110 1001 0 1|A| |B| 1|C|D| 1A B |A| |BC D |C| |D2 0 0 00 2 0 010 1001 0 14o 11 oo 22 o24 026 2429设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆 求C2C4O A C1

33、 C2 B O C3 c4AC3 ac4BC1 BC2En OO EsAo OB 3 4 12 cc c c n s E o o E 3 4 12 66 c c A A B B得匕止由所以A O Di D2C B D3 D4Di D2D3 D4AD1 AD2CD1 BD3 CD2BD4En OO Es0 0 3 20 0 8 52 10 05 2 0 08 3mB 52则1A15 212A2 125118 32 35 25 8ADi En，口AD2 OCD1BD3 OCD2 BD4 EsD1 A1D2 OD3B 1CA 1D4 B 1所以1,A O A1OC BB 1CA 1 B 15 2 0

34、 0112 10 0 A A10 0 8 3BB 10 0 5 210 0 012 0 0 2 1 3 012 1412 0 02 5 0 00 0 2 30 0 5 830求下列矩阵的逆阵解设 A 10 B 34 c1 0 0 011 2 0 0 AO A1 O2 13 0 C BB 1CA 1 B 112 14112121801216524001311200014第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵1021203130431 0 21解 2 0 31(下一步 r2 ( 2)r1 r3 ( 3)r1 )3 0 4310210 013(下一步r2 ( 1)r3( 2)0

35、 02010210013(下步r3r2)001010210013(下步r33)0 0 031 0 21 0 0 13 (下步 r2 3r3 )000110210010(下一步 r1 ( 2)r2 r1 r3 )000110 0 00010000102310343047113 (下一步 r2 2 ( 3)门 r3 (10 23 1 0 013 (下步 r3 r2 门 3r2 )0 0130 2 0 100 0 13 （下一步 ri 2 ）0 0 0 00 10 5 0 0 1 30 0 0 0113 4 3335412232033421113 4335422323342（下一步 r2 3门 r3

36、 2门 r4 3r1 ）38 -（下一步 r2（ 4） r3 （ 3） r4 （ 5）610110 2 300122000 00000 002 3 13 712024328302374321323 1 32 0 22 8 33 7 4740 （3门 2r2 r3 3r2 r4 2r2 ）113 40 0 4 8 0 0 3 60 0 5 10113 4 30012200122（下一步门3r2 r3r2r4 r2）0012201001 12 08 87 7129814（下一步1211r2 2r1 r3 8r1 r4 7r 1 ）0 11110 2 00 0 0 10 0 0 112 - （下一步

37、门44r2 r2 （ 1） r4 r3 ）10 2 00 111 0 0 0 10 0 0 02140（下一步 r2 r3 ）100001002100001023400 0A 0 1 0是初等矩阵E(1 2)其逆矩阵就是其本身2 0 3/21 010 211/2217/21 1/29/221/2E(1 2( 1)是初等矩阵E(1 2(1)其逆矩阵是7/6 2/3111/203/22 1/2故逆矩阵为761123-2213(2)002221023211213试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵110 0 010 10 02 0 0 1 01 0 0 0 13 2 00 2 21 2 30 1

38、212 3 201210 4 9 50 2 2112 3 2012 100 1100 2 112 3 2012100 1100 0112 0 01010 0000 10100 0 121 0 0 0 10 10 0 0 0 0 10 10 0 0 1 20 0 1 00 0 0 11 0 3 00 1 0 00 0 100 0 0 110 3 40 10 20 0 100 0 011 0 342 1 6 1012210113616101241011361610故逆矩阵为1 10 11 12 12 40 13 66 104 1 24设A 2 21 B3 11解因为(A, B)4 12 12 21

39、 23 11 310 2所以 X A1B 15 312 40 2 1设A 2 1 33 3 4解考虑ATXT BT因为(AT, BT)1 322 求X使AX B3 10 2 3 12 13 213 4 3101512求X使XA B2 4所以 XT (AT) 1BT1 71 4从而 X BA17从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样？解 R(A) R(B)这是因为B的非零子式必是 A的非零子式 故A的秩不会小于B的秩110011AX 2X A 求X101解 原方程化为(A 2E)X A因为(A 2E, A)110 1100 110 1110 110 11 0 0 0 11 0 1 0

40、 1 0 10 0 1110011所以 X (A 2E) 1A1011106在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r 1阶子式？有没有等于0的r阶子式？解 在秩是r的矩阵中 可能存在等于0的r 1阶子式 也可能存在等于0的r 阶子式10 0 0例如 A 0 10 0 R(A) 30 0 10是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解 用已知向量容易构成一个有111 004个非零行的5阶下三角矩阵0 0 0 010 0 00 10 00 0 100 0 0 0此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式3 10 26 112 113 4 40 221 (下一步 r1 r2 )4 4112 1 3 10 213 4 4(下一步 r2 3r1 r3 r1 )112 10465（下步r3r