251　函数的零点

1、情境问题：情境问题：在第在第2.3.1节中，我们利用对数求出了方程节中，我们利用对数求出了方程0.84x0.5的近似解；的近似解； 利用函数的图象能求出方程利用函数的图象能求出方程0.84x0.5的近似解吗？的近似解吗？ 情境问题：情境问题：如图如图1，一次函数，一次函数ykxb的图象与的图象与x轴交于轴交于(2，0)点，试根据图象填空点，试根据图象填空 ：(1)k 0，b 0；(2)方程方程kxb0的解是的解是；(3)不等式不等式kxb0的解集的解集 xyO2 方程方程f (x)0的解、不等式的解、不等式f (x)0、f (x)0的解集的解集与函数与函数yf (x)的图象密切相关：的图象密切

2、相关：方程方程f (x)0的解是函数的解是函数yf (x)的图象与的图象与x轴交点的横坐标，轴交点的横坐标，如何定义这一数值呢？如何定义这一数值呢？ 已知二次函数已知二次函数yax2bxc的图象的图象x轴交于点轴交于点(3，0)和和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空：，且开口方向向下，试画出图象并结合图象填空：(1)方程方程ax2bxc 0的解是的解是；(2)不等式不等式ax2bxc0的解集为的解集为 ； 不等式不等式ax2bxc0的解集为的解集为 图12xyO4231数学建构：数学建构：函数零点的定义：函数零点的定义：一元一次方程一元一次方程kxb0(k0)的根称为一次函数

3、的根称为一次函数ykxb的零点的零点一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)的根称为二次函数的根称为二次函数yax2bxc(a0)的零点的零点 一般地，对于函数一般地，对于函数yf (x)(x D)，我们把使，我们把使f (x)0的实数的实数x叫做函叫做函数数yf (x)(x D)的零点的零点 数学应用：数学应用：例例1函数函数yf (x)(x 5，3)的图象如图所示的图象如图所示 ，根据图象，写出函数，根据图象，写出函数f (x)的零点及不等式的零点及不等式f (x)0与与f (x)0的解集的解集yxO53113函数函数f (x)的零点的零点x12x20 x32不等式不等式f (x)0

4、的解集为的解集为x|2x0或或2x3 不等式不等式f (x)0的解集为的解集为x|5x2或或0 x2 数学探究：数学探究：二次函数二次函数yax2bxc(a0)的零点、图象与一元二次方程的零点、图象与一元二次方程ax2bxc0的实数根的关系的实数根的关系 b24ac000ax2bxc0的根的根 yax2bxc的图象的图象 yax2bxc的零点的零点 见课本见课本74页表页表2- -5- -1数学应用：数学应用：例例2 求证：二次函数求证：二次函数y2x23x7 有两个不同的零点有两个不同的零点 变式练习变式练习1下列区域：下列区域：(1)(3，2)，(2)(2，1)，(3)(1，0)，(4)(

5、0， 1)，(5)(1，2)，(6)(2，3)，函数，函数y2x23x7的两个零点分别的两个零点分别在其中的区间在其中的区间 上上(1) (5)数学建构数学建构：函数零点存在条件函数零点存在条件 ：若函数若函数yf (x)在区间在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)f (b)0，则函数，则函数yf (x)在区间在区间(a，b)上有零点上有零点思考：若思考：若x0是二次函数是二次函数yf (x)的零点，且的零点，且ax0 b，那么，那么f (a)f (b)0一定成立吗？一定成立吗？数学应用：数学应用：例例3判断函数判断函数f(x)x22x1在区间在区间

6、(2，3)上是否存在零点？上是否存在零点？ 变式练习变式练习2(1)函数函数f(x)2x25x2的零点是的零点是_ (2)若函数若函数f(x)x22axa没有零点，则实数没有零点，则实数a的取值范围是的取值范围是_；(3) 二次函数二次函数y2x2px15的一个零点是的一个零点是3，则另一个零点是，则另一个零点是 ；数学应用：数学应用：例例4求证：函数求证：函数f(x)x3x21在区间在区间(2，1)上存在零点上存在零点 变式练习变式练习3已知函数已知函数f(x)x33x3在在R上有且只有一个零点，且该零点在区间上有且只有一个零点，且该零点在区间t，t1上，则实数上，则实数t 数学应用：数学应

7、用：补充例题若关于补充例题若关于x的方程的方程x2(m2)x2m10有一根在有一根在(0，1)内，试确定内，试确定实数实数m 的范围的范围 变式变式1已知方程已知方程2ax2x10在在(0，1)内恰有一解，求实数内恰有一解，求实数a的取值范围的取值范围 变式变式2已知方程已知方程ax22x10在在(0，1)内恰有一解，求实数内恰有一解，求实数a的取值范围的取值范围 数学应用：数学应用：补充练习补充练习1已知函数已知函数f (x)(xa)(xb)2(ab)的两个零点分别是的两个零点分别是 ， ( )，则实数则实数a、b、 、 的大小关系用的大小关系用“”按从小到大的顺序排列按从小到大的顺序排列是是 2若函数若函数f (x)x2axa27的零点一个大于的零点一个大于2，一个小于，一个小于2，则，则实数实数a的取值范围是的取值范围是 3若函数若函数f (x)x2axa27的零点都大于的零点都大于2，则，则实数实数a的取值范围的取值范围是是 4若函数若函数f (x)x2axa27的零点都小于的零点都小于2，则，则实数实数a的取值范围的取值范围是是 小结：小结：二次