34基本不等式

1、鹿邑县高中：崔有亮20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 探究探究1：想一想？：想一想？思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不中找出一些相等关系或不等关系？等关系？ 探究探究1：算一算？：算一算？abab22+ +问问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，是全等三角形，它们的面积是它们的面积是S=问问1：在正方形在正方形ABCD中中,AFBF,BGCG,CHDH,DEAE,设设AF=a,BF=b,则正方形的面积为则正方形的面积为S=，问问3：S与与S有什么

2、有什么样的关系？样的关系？ 22ab2ab从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即222abab问题问题1 1：它们有相等的情况吗？何时相等？它们有相等的情况吗？何时相等？问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，上式还成为任意实数时，上式还成 立吗？立吗？ 动画显示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即动画显示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，这时有缩为一个点，这时有 。22=2abab结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立

3、222aba b思考：思考：你能给出它的证明吗？你能给出它的证明吗？文字叙述为文字叙述为: 两数的平方和不小于积的两数的平方和不小于积的2倍倍。 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 (,)002ababab 探究探究2？（特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2问：问：你能用不等式的性质直接推导吗？你能用不等式的性质直接推导吗？a0 ,b0 ,只要证 a+b （2）要证（2），只要证 a+b- 0（3）要证（3），只要证 （ - ） 20（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 证明：要证 2a

4、bab（1）2 2）从不等式的性质推导基本不等式2aba b（ 分析法 ）2 ab2 abab探究探究3？对基本不等式的几何意义作进一步探究（对基本不等式的几何意义作进一步探究（课课本第本第98页的页的“探究探究”）ABCDE如图如图,AB,AB是圆的直是圆的直径，径，C C是是ABAB上任一上任一点，点，AC=AC=a a,CB,CB= =b b, ,过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，连，连AD,BDAD,BD, ,则则CD=CD=, ,半径半径为为问：问：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?几何意义：几何意义：半径不小于弦

5、的一半半径不小于弦的一半abab2ba 概概 念念 是是 基基 础础aba b2算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数a、 b 是两个正数是两个正数 ，当且仅当，当且仅当 a=b 时时“”号成立号成立 基本不等式的简单应用基本不等式的简单应用v例例1：（：（1）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为100m的矩的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2（x+y）m. 2xyxy2

6、 100,xy 2()40 xy等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是40m. 结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值（2）用一段长为）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？2m解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x m，宽为，宽为y m， 则则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy2xyxy=18/2=9得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最时，菜园面积最大，最大面积是大面积是812m结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值v应用要点：应用要点：v 积定和小积定和小和定积大和定积大a与与b为正实数为正实数等号成立，等号成立，a与与b必须