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1、双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明（一）双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长证法一（坐标法）：设双曲线焦点为，一条渐近线为即，到的距离为证法二（几何法）：过实轴端点A作实轴垂线AD交渐近线于点D，则，又，所以到的距离。（等腰三角形两腰上的高相等）（二）双曲线中，PT平分焦点PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长F1H到M，交PF2于M，则，又，又H、O为MF1、F1F2中点，OH H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.（三）设A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2的内切圆，必与A1A2所在的直线切

2、于A2（或A1）.证明：设切x轴于点，与切于M，PF2切于N|PM|=|PN|,|MF1|,|NF2|=又，重合.注：可知，圆心在直线或直线上.（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1，圆心为O1；以MF1为直径的圆的半径为r2，圆心为O2，由双曲线定义知，圆O1与圆O外切又 ，圆O2与圆O内切（五）双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.证明：设交点，又，即（六）若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.证明：求导可得：，切线方程（七）若在双曲线外 ，

3、则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.证明：设，则过切线分别为，在上，过方程（八）AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则.证明：设，则，又，（九）若在双曲线内，则过P0的弦中点的轨迹方程是.证明：设弦与双曲线交于，中点，即。（十）过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.证明：设两直线与双曲线交于点，则由题意得展开（定值）（十一）双曲线的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上异于顶点任意一点，则双曲线的焦点三角形的面积为； .证明：设，（十二）若P为双曲线右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.证明：设P在左支，由、得：同理，P在右支时，（十三）双曲线上存在两点关于直线：对称的充要条件是.证明：该问题等价于在双曲线找两点，过这两点直线，斜率为， 其中垂线为，则设方程为代入， 得，中点为，则可以写成代入得，即其中代入，得（十四）已知双曲线，A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.证明：设A为，B为，由点差法得：又有：，由得，显然或（十五）双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则证明：由角平分线性质得（十六）已知双曲线和（ ），一条直线顺次与它们相交于A

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