实用文库汇编之证明三点共线问题的方法

1、*实用文库汇编之证明三点共线问题的方法*1、利用梅涅劳斯定理的逆定理=1.例1、如图1.圆内接A ABC为不等边三角形，过点A. B、C分别作圆的切线依次交直线BC.CA、AB于C1 ,求证：灯、BX 0三点共线。AC S解:iBC = a,CA = b.AB = c,易知一=亠乞C'B S*又易证 A4C*C - CCXB .PIiJ= ( =1.同理竽=2卑A'C b2 BlAAC1 BA1 CB1 _b2 c2 a2A*CV?S、CC'B v CB y cr由梅涅劳斯泄理的逆泄理，知A'、丹、O三点共线。2、利用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线

2、）例2、如图，以锐角 ABC的一边BC为直径作00,过点A作0O的两条切线，切点为M、 N,点H是A ABC的垂心求证：M、H、N三点共线。（96中I 证明：射线AH交BC于D,显然AD为高。记AB与0O的交点为E,易知C、H、E三点共线。联结 0M、ON、DM、DN、MH. NH,易知 ZAMO = ZANO = ZADO = 90° ,A、21、0、D、N五点共圆，更有A、M、D、N四点共圆，此时，ZAMD+ZAAD = 180°因为 AM2=AEAB = AHAD （B、D、H、E 四点共圆），即 =:又 AMAH=ADAM、所以故 ZAHM = ZAMDAH AM同

3、理，ZAHN = ZAND.因为 ZAHM + ZAHN = ZAMD + ZAND = 180°,所以，M、H、N 三点共线。3、利用面积法如果点E、F位于直线MN的异侧，则直线MN平分线段EF,即M、N与 SEMN AFM/VEF的中点三点共线。AM AD例3、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E,延长边AD> BC交于点F,又M. N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线。AB证明：设BC的中点为O,辅助线如图所示, 由 OM / AE, ON / DE 可知，点0必在内，此时，$A£MN 叫 OMN SSOME 仝 'O

4、NE=S 4MN + SggB + SgNC =+ S 乂 CN=(Sab.MD + SBCD ) = ( SaMC + S4MC ) = 3 (SmBC + Smpc )=二 S四边险 同理» Spmn = S四边形啟。因此也/厂S列"此时，直线MN平分EF,即W N、L三点共线。注：利用梅涅劳斯宦理的逆左理也可证明此题。4、利用同一法尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一 法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。例4、如图4(a),凸四边形ABCD的四边皆与00相切切点分别为P. M、Q. N,设PQ与S'CCQMN交于S

5、,证明：A、S. C三点共线。 证明：如图4(b),令PQ与AC交于S', 戈 易证厶PS'与ZCgS7互补。而AAsyesa贝IAS' _ sin ZAPS' _ sin ZCQS1 AP sin ZASfP sin ACS'Q故籌=嘗再令E与AC交于代同理可得籌需, AP AM1s=CQ CNA Cz A W'所以兀-五。利用合比性质得,AS' _ AS"7c "7c因此，AS，=qs，可断定S'与S必重合于点S,故A、s、c三点共线。注：观察本题图形，显然还可证得氏S、D三点共线；换言之，AC、BD. P

6、Q. MN四线共点。5. 利用位似形的性质如果AA3C与MBC是两个位似三角形，点0为位似中心，那么不仅A、戶、O： B、B、0： C. C 0分别三点共线，而且AABC. A/V3C的两个对应点与位似中心0也三 点共线，位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。例5、如图,AA3C内部的三个等圆OO3两两相交且都经过点匕 英中每两个圆证明：联结OO2. OQ。宀由已知得C0OQJ AB、OgBC、OQJCA。可断左AABC与gO。是一对位似三角形,且易知A4BC的内心I是两者的位似中心'因为00 000为等圆,°3即 POX=PO2=PO都与AA3C的一边相切，已知0、

7、I分别是口庆？的外心、内心，证明：I、P. 0三点共线。 A所以点戸是4O.O.O.的外心。又点O是A4BC的外心，故P、O两点是两个位似三角形的对 应点，利用位似形的性质即得I. P、O三点共线。6、利用反证法有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的*例6、如图，梯形ABCD中、DC/AB,对形内的三点人、P“如果到四边距离之和皆相DC等，那么，R、P-出三点共线，试证之。证明：先看A、E两点，设直线分别交AD、BC于M、N,斥厶丄3C于&,只艮丄BC于E-AR斤丄AD于斥，£巧丄AD于竹。因为DC/AB,则点人到AB、CD的距离之和等于点出到AB、CD的

8、距离之和。由已知可得P+P=P2E2+P2F2.过点A作AD的平行线、过点A作BC的平行线得交点P （由于 AD与BC不平行）。记RP交£耳于G,马P交于H。观察上式有斥厶一£耳=人场一呂斥。所以，RH = P2 °因为有两条高RH = RG ,所以，APR巴是等腰三角形，则ZPRR = 牛片° 故乙DMN = ZPRP=乙PP?R = ZCNM。再用反证法证明点R左在AA上：假设点R不在上，联结并延长分别交AD、BC 于M'、AT,易知点M'、在MN的异侧：因为点片到AD、BC的距离之和等于点鬥到AD、 BC的距离之和，由上述证明过程知

9、必有ZDM' =ZCN,M, o事实上，观察图形只能得到ZDM，2 > ZDMN = ZCNM >乙CNM ,矛盾，这说明点R必 在上，即MN上，因此R、P2. R三点共线。7、用塞瓦定量的逆定理变三点共线为三线共点，利用塞瓦泄理的逆左理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若AB CD EF = BC DE FA,则AD、BE、CF三线共点：反之亦然，利用这个结果来证明某 些三点共线问题，可立竿见影。例7.如图7,凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P,作PE、PF切圆于E、F,又AC与BD交于K,证明：E> K、F三点共线。解：联结AE、ED、CF、FB得凸

10、六边形ABFCDE。欲证E、K、F三点共线，即AC、BD、EF三线共点， 只须证 ABFCDE = BFCDEA°注意到 WAB APCD, APFC AP3F, APDE APEA .又 PE=PF,=PAFC = PCDE = PECD PC BF PF EA PAH1I AB FC DE PA PC PE tCD BF EA PC PF PA故 AB FC DE = BFCD EA. 因此，AC、BD、EF三线共点，即E、K、F三点共线。练习题1、在AABC中，AB>BC>CA,它的内切圆切BC、CA、AB于D、E、F。设FE与BC交 于A, FD与AC交于8，DE与BA交于C求证：B、C，三点共线。（提示：方法1）2、证明：圆外切凸四边形对角线的中点及圆心三点共线。（提示：利用面积法）3. 凸四边形ABCD内接于圆，AC与BD交于P,过点A、D分别作BD、AC的垂线交于点K, 过AB、CD的中点分别作BD、AC的垂线交于点L.证明：P、K、L三点共线。（提示：设第一组垂线的垂足为M、N,第二组垂线的垂足为X、Y,寻证MN/XY,得出MMN 与SLXY位似。）4、图8,凸四边形ABCD的ZA + Z3 = 120°,以AC. BD、CD为一边分别作三个正三角形:AACP. MQD、SCDR.证明