32复数的四则运算(2)

1、3.2 3.2 复数的四则运算复数的四则运算 ； 形如形如a a+ +bibi( (a,ba,bR)R)的数叫做复数的数叫做复数. . 全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做，一般用字母，一般用字母 表示表示 . .复习：复习：1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di=c+di, , 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: :两

2、个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与就是实部与实部实部, ,虚部与虚部分虚部与虚部分 别相加别相加( (减减).).(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).例例1.1.计算计算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65(2.复数的乘法与除法复数的乘法与除法(1)(1)复数

3、乘法的法则复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘法与多项式的乘法是类似的的, ,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并. .即即: :(a+bi)(c+di(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以以及乘法对加法的及乘法对加法的分配律分配律. .即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有有z z1 1z z2

4、 2=z=z2 2z z1 1; ;(z(z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3););z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .)(1biabia）（22222)(2ibabiabia）（例例2 2：计算：计算222ibabiabia22ba 222babia)2)(43)(21 (3iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (【定义【定义】 其其共轭复数共轭复数 z =_z =_则若,biazbia性质：性质： z + z = 2a z + z = 2a z z = 2

5、bi ( z z = 2bi (纯虚数或纯虚数或 0) 0) ( z ) = z ( z ) = z1212zzzz1212z zz z22z zabzzzR0zzz为纯虚数为纯虚数 (3)(3)复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子再把分子与分母都乘以分母的共轭复数与分母都乘以分母的共轭复数, ,化简后化简后写成代数形式写成代数形式( (分母实数化分母实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac例例3.3.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4

6、321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251（1 1）已知已知求求iziz41,232121212121,zzzzzzzz练练 习习（2 2）已知）已知 求求iziz2,1212214121)(,zzzzz3 .(12 )43zi ziz（ ）复数满足求z=2+i（4 4）2)1 (i;2iii11i1; iii11; i. i2022-1-29 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C及及m,nm,nN

7、N* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .2022-1-29【探究【探究】 i i 的指数变化规律的指数变化规律1,1,4321iiiiii_,_,_,_8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i2022-1-29【例【例2】求值：求值：200632iiii10.212006200520042003200220018765432iiiiiiiiiiiii

8、iiii）（）（）（解：原式2022-1-29的值。求已知1,2150100zziz例例3:3:iiizzziziiz111)() 1() 1(1)()(1)(,2)1 (122521242542422原式解：2022-1-292(1)2ii 11iii 11iii，。2022-1-29 是是1在集合在集合C中中的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记 则则 ，则有，则有i-i-232123211，i-2321i-23212n332222n1110100，n+11 =【探究【探究】 1的三次根的的三次根的变化规律变化规律2022-1-2915612441

9、313 2() 2()222212 (1)(1)2iiiii 153 563 262413132 () 2 () 222212 ( 2 )(2 )2iiii(22)102622iii（2 2）原式）原式2022-1-29【解题回顾】【解题回顾】 是是1在集合在集合C中中的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记的三个立方根，它们有比较丰富的性质，若记 则则 ，并有，并有i-i-232123211，i-2321i-23212n332222n1110100，n+11 =2022-1-29iiizzz23)(2iizzz1)(221232123（05上海）在复数范围内解方程上

10、海）在复数范围内解方程(i为虚数单位为虚数单位), 设设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, 且且y=, 原方程的解是原方程的解是z=-i. 解解原方程化简为原方程化简为, x2+y2=1且且2x=-1,解得解得x=-2022-1-29求：求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a a、b b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出可求出a a、b b确定确定z z运算简化运算简化2022-1-29求：求：z解：设解：设z=x+yi(x，yR)将将z=x+yiz=x+yi代入代入|z|z 4|4|z|z可得可得x xy y，z=x+xiz=x+xi-4i|-4i|22(2)(2)当当|z|z 1|1|1313，即有，即有x x x x6=06=0则有则有x=3x=3或或x=x=综上所述故综上所述故z z0 0或或z=3+3iz=3+3i或或z=-2z=-22i2i22022-1-29【练习【练习】1、在复数范围内解方程、在复数范围内解方程 (1) x2+4=0 (2) z2=2i2、在复数范围内分解因式、在复数范围内分解因式 (1) x2 + 4 (2) x4 - y43、已知