计算方法第八章矩阵特征值和特征向量的计算(32学时)-2011-2-21

1、第八章§1 引言§2 乘幂法与反幂法§3 Jacobi方法西北工业大学理学院欧阳洁矩阵特征值和特征向量的计算1§1 引言设A为n阶方阵，若数满足Ax=xx0称为A的一个特征值。非零向量x称对应的特征向量。求A的特征值，可通过求det(AI)=0n个根得到；对应的特征向量可通过求(AiI)x=0i=1,2,Ln的非零解向量得到。但将det(AI)=0展开为的多项式，未必得到精确的特征方程；且n增加，计算量迅速增加。计算矩阵特征值及特征向量的数值方迭代法和变换法西北工业大学理学院欧阳洁2则为与特征值的法：§2 乘幂法与反幂法一乘幂法二原点平移法三反

2、幂法西北工业大学理学院欧阳洁3G1和G3交结在一起，它们的并集是例题中，一个连通区域（其中任意两点可以用位于该区域内的一条折线连接）。交结在一起的盖尔圆所构成的最大连通区域称为一个连通区域。孤立的一个盖尔圆就是一个连通部分。本例题中有三个连通部分，即G1和G3的并集G2与G4各是一个连通部分。是一个连通部分，例题中，G2与G4中各有一个特征值，而G1西北工业大学理学院欧阳洁13和G3构成的连通部分中有两个特征值。§3 Jocobi方法一二Jacobi方法Jacobi法的变形西北工业大学理学院欧阳洁17一Jacobi方法求矩阵全部特征值和特征向量。基本思想：将实对称矩阵A经一系列正交相

3、似变换约化为一个近似的对角阵，从而该对角阵的对角元就是A的近似特征值，由各个正交变换矩阵乘积的转置可得对应的特征向量。1 相关知识矩阵A与相似矩阵B=PAP的特征值相同。T若矩阵Q满足QQ=I，则称Q为正交矩阵。T1显然Q=Q，且正交阵的乘积仍为正交阵。若A为实对称矩阵，则存在正交阵Q，使且Q的列是相应的特征向量。实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准西北工业大学理学院欧阳洁正交的特征向量系。T1QAQ=diag(1,2,L,n)T18Givens 旋转矩阵R(p,q,)是正交阵，其中1O1cosLLLsinM1MMOMM1MsinLLLcos1O1pR(p,q,)=qpqJacobi方法就是

4、用这种旋转矩阵对实对称阵A作一系列旋转相似变换，从而将A约化为对角阵。西北工业大学理学院欧阳洁20说明经旋转变换C=RART后，C的对角线元素平方和比A的对角线元素平方和增加了2a2pq。而C的非对角元素平方和比A的非对角元素平方和减少了2a2pq。如果不断地变换下去，则最后非对角元素可趋于0,即可通过一系列旋转变换，使A与一对角阵相似。Remark某步化为零的元素在后续的步骤中可能又非零。但只要不断重复化零过程，则当k时，非对角元素必趋于0。D(C)=D(A)+2a2pqS(C)=S(A)2a2pq西北工业大学理学院欧阳洁26特征向量的计算A的特征向量可与特征值同时求得。k+1次变换结束后，

5、由ATTT1=R1AR1,A2=R2A1R2,L,Ak+1=Rk+1AkRk+1得ATTTk+1=Rk+1AkRk+1=Rk+1RkAk1RkRk+1=LLLL=RRTTTk+1RkL2R1AR1R2LRTkRk+1记HRTTLRTk+1=k+1RkLR1HTk+1=R1R2k+1则HTk+1,Hk+1为正交矩阵且limATkk+1=limkHk+1AHk+1=diag(1,2,L,n)=D于是A(HT)H1DTk+1k+1即AHTk+1Hk+1D或A(H1H2LHn)(H1H2LHn)diag(1,2,L,n)即AHiiHii=1,2,L,n西北工业大学理学院欧阳洁29TAHiiHi,i=1

6、,2,L,n说明Hk+1的第i列就是A对应i的标准正交特征向量的近似值。计算过程开始时H0I。以后对A每进行一次平面旋TTT转交换，就将Hk+1HkRk+1。TH0=I即HTk+1=HRTkTk+1(k=0,1,L)计算时，每一步仅改变HTk+1的第p列，第q列。T设hi,j为Hk+1在(i,j)位置的元素，则h=hcos+hsin(k+1)(k)(k)hiq=hipsin+hiqcos(k+1)(k)hhjp=ijij西北工业大学理学院欧阳洁(k+1)ip(k)ip(k)iqi=1,2,LHTk+1=RRLRT1T2Tk+130Ak+1的计算每一步仅改变Ak+1的第p, q行，第p, q列。(k+1)(k)(k)(k+1)apj=apjcos+aqjsin=ajp(k+1)(k)(k)(k+1)aqj=apjsin+aqjcos=ajq(k+1)pp(k)pp2(k)pqjp,q=acos+2asincos+asina(k+1)(k)2(k)(k)2=+aasin2asincosacosqqpppqqqa(k+1)pq(k)qq2=a(k+1)qp=0Ak+1=Rk+1AkR西北工业大学理学院欧阳洁