第2章 72矩阵及其运算作业解答

1、第2章 矩阵及其运算 (作业1) 详细解答一、填空题1已知线性变换则从变量到变量的线性变换为解: 由已知：; 故 .2已知两个线性变换 则从到的线性变换为 解: 由已知 所以有 .3设,则,.解:,.4.解:.5.解:.二、单项选择题设,则以下等式中成立的是().(); (); (); ()(ABA)=A(BE).解: (A), 则 (B) 但故.(C) 而故. (D) 可以验证 (ABA)=A(BE).2下列命题中正确的是(D).(A)若,则; (B)若,则或;(C)若,且,则; (D)若运算可进行,则AE=EA=A.解: (A) 取, ,但. (B) 取,但且.(C) 取,且 但.(D)

2、可以证明,若运算可进行,则AE=EA=A.三、运算题1计算下列乘积: (1); 解:.(2); 解:.(3); 解:.2设,求. 解:首先观察, ,由此推测 用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: .四、证明题1设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明也是对称矩阵.证明: 已知：.则 从而也是对称矩阵.2设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.证明: 由已知： 充分性：,即是对称矩阵.必要性：.第2章 矩阵及其运算 (作业2) 详细解答一、填空题1n阶方阵A可逆的充分必要条件是.2若,则.3设,则.解:, . , 故 .4.解: ,

3、故存在, . 从而.5设, 则.解: 由对角矩阵的性质知 .二、单项选择题1下列命题中不正确的是(D).(A)若,则; (B)若,则;(C)若,则; (D)若A,B为同阶方阵,则.解: 由于矩阵的乘法不满足交换律,所以.2设A,B,C,D均为n阶方阵,为数,则以下等式中不成立的是(D).(A); (B); (C); (D).解: 取,检验: .而 , 故 .三、运算题1解矩阵方程.解:.2求下列未知矩阵:(1)设,求.解:由，得.其中，.(2)设,且,求.解:观察可得.3设,其中,求.解:由，得，则.四、证明题1设(为正整数),证明.证: (由) .2设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证: 由

4、得, 两端同时取行列式: .即 ,故 , 所以可逆,而,.故也可逆. 由又由 .3设矩阵可逆,证明其伴随阵也可逆,且.证:因为可逆,并且,所以.4设矩阵及都可逆,证明也可逆,并求其逆阵.证:因为,所以是的逆.第2章 矩阵及其运算 (检测题) 详细解答一、填空题1设矩阵可交换,则满足等式.解: 因为A与B可交换,所以AB=BA,即 , 由上述矩阵等式可得.2设为3阶方阵,且,则 -16 .解: 由及得.3设,其中,则.解: 由，得，则.4.解: 计算可得结果为. 或设，则.5.解: 设，则.二、单项选择题1设A,B均为n阶矩阵,则(D).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 当时,均可逆.解

5、: 设,则,.(A) .(B) .(C) 在此A,B均为n阶矩阵,不一定可逆.当A,B均可逆时,有.(D) 因为,所以当时,有且,故均可逆.2设A,B均为n阶方阵,且,则(B).(A) 或; (B) 或; (C) ; (D) .解: 设, 则, 故(A)(C)不真.(B) 因为,所以或.(D) 设A=E,B=O,则,而.3设n阶矩阵A满足,E是n阶单位矩阵,则(D).(A) 但; (B) 但;(C) 且; (D) 且.解: 先证明(D):,从而且,(D)正确. 进而(A)(B)(C)不正确.4设阶方阵满足关系式,则必有( D ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .解: 先证明(D): 因为，所以，则有.再令，可以验证，而，故(A) (B) (C)不正确.三、证明题1设n阶矩阵A的伴随矩阵为,证明: (1)若,则; (2).证: (1) 用反证法证明假设，则有，由此得，这与矛盾，故当时，有.(2) 由于,则,取行列式得到：,若,则.若由(1)知此时命题也成立，故有.四、运算题1利用逆矩阵解线性方程组解:方程组可表示为,故,从而有.2解矩阵方程.解: .3设,求.解：因为，所以可逆，且. 因而即，即.左乘，右乘得，即.故.4已知矩阵的伴随阵,且,求.提示:存在.详解：因为，所以，（由