第二章矩阵代数基础ppt课件

1、第二章第二章 矩阵代数基础矩阵代数基础刘子忠2.1 引言 为何要学习矩阵代数知识？ 已学过：分子的对称操作如何构成点群及 点群的分类和符号。 下一目标：寻找和对称操作行为相似的矩阵集合，即和对称操作同态的矩阵。这些矩阵称为对称操作的表示，即以数学方法来表达分子对称性的含义，是群论应用于化学全部问题的中心。 作法：建立矩阵表示与点群间的联系，应用矩阵表示的数学定理来解决不同的化学问题。 在建立矩阵表示与点群间的联系之前，必须了解一点矩阵本身的性质。2.2 矩阵定义矩阵定义 定义 矩阵是称作元素的数字或符号的矩形列阵。 这些元素写在小括号或中括号之间。 如： 群论与化学只涉及方阵行数等于列数）、单

2、行或单列矩阵。1122abab123123123aaabbbccc123xxx123xxx111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa 通常用大写斜体字母代表矩阵，小写字母代表矩阵元素。如：A表示矩阵，aij表示矩阵A的第i行j列元素。方正的行数或列数称为矩阵的阶。矩阵有确定的运算规则。注意矩阵与行列式的区别：行列式：是一些元素的正方列阵，代表着这些元素确定的乘积的总和，有确定的数值。用列阵的两边加单根数线表示，如：11122122aaaa二阶行列式展开三阶行列式展开n阶行列式展开 一个行列式等于任意给定的列或行的元素与它们相应的代数余子式乘积的总和。行列式的展开111211222

3、1 122122aaa aa aaa11121321222311223321321312233131221321 12333223 11313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa例如行列式某元素的余子式：将该元素所在行和所在列划掉后得到的低一阶的行列式。如元素a22的余子式为：某元素的代数余子式：将该元素的余子式乘以(-1)i+j,111212122212.nnnnnnaaaaaaaaa1111.nnnnaaaa11121212221221212222221212222222.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa Aa Aa Aa Aa Aa

4、 A例如将下列行列式按照第2行或按第二列展开如下 例如将下列行列式按第一行展开 或者将下列行列式按第三列展开1112132122233132331111121213132223212321221 11 21 3111213323331333132112233322312213331231321323122( 1)( 1)( 1)()()()aaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaa aa a1112132122233132331313232333332122111211121 32 33 3132333313231322122132132

5、312223113231 1233112221 12( 1)( 1)( 1)()()()aaaaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaa aa a 一个方阵的行列式就是将该矩阵认作行列式即可，假如矩阵为A，我们就将其行列式记作det(A),即： 那么111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa111212122212.det( ).nnnnnnaaaaaaAaaa2.3 矩阵代数矩阵代数（1） 相等 两矩阵A和B相等，当且仅当对于所有i和j均有Aij=Bij.例如假设 且 A=B 那么12A=3412B=34（2） 加法与减法 只

6、有相同维数的矩阵才可以相加或相减。在此情况下， A与B之和可用矩阵C 表示。 A + B =C其中对所有i和j均有 Cij = Aij + Bij.例如同理，A减B可用矩阵C表示 A - B =C其中对所有i和j均有 Cij = Aij - Bij.例如12566834781012 由此推论，用数c乘以矩阵A得到矩阵B， B=cA 其矩阵元对所有i和j都由 Bij = cAij 给出.例如1256443478441236334912（3） 乘法 A和B两矩阵，当且仅当A的列数，假定为n，等于B的行数时，才可以相乘称为矩阵乘法），其乘积定义为矩阵C C = AB其矩阵元对于所有i和j都按方程得到

7、。如果矩阵A有m行n列mxn矩阵），而矩阵B有n行p列nxp矩阵），则矩阵C 必为m行p列mxp矩阵）。例如1nijikkjkCA B 例1 例2 例3 12561 52 71 62 8192234783 54 73 64 84350 12311 12 23 31445624 1 5 26 33278937 1 8 29 350 1231234567891 12 43 71 22 53 81 32 63 9303642 记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法记忆法：取第一个矩阵的各行按向量乘法依次乘以第二个矩阵的各列，第依次乘以第二个矩阵的各列，第i行和第行和第j 列列相乘得乘积中的相乘得乘积中

8、的i、j元素。元素。两个以上矩阵的相乘，只要多次运用乘法两个以上矩阵的相乘，只要多次运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘规则，一次将一对矩阵相乘A(BC)= (AB)C.x对于三个矩阵的乘积，D=ABC乘积的一般元素，对所有i和j都可通过给出，式中 r是A的列数，必须和B的行数相同，而s是B的列数，必须和C的行数相同。留意：相乘的矩阵其行数和列数的限制。一般来说： AB BArsijikkmmjkmDA B C12561922347843505612233478343146 矩阵的应用 可以用简单的形式表示线性方程组。例如： 可以写成： AX=Yy1=A11x1 + A12x2 +A13x3 y2

9、=A21x1 + A22x2 +A23x3y3=A31x1 + A32x2 +A33x3 111213112122232231323333AAAxyAAAxyAAAxy此外，若与该方程相关联的还有方程组：那么 Z=BY式中 因此 (BA)X=Z表示意义：若矩阵B定义y变换成z，而矩阵A定义 x变换成y，那么，由x到z的变换就由矩阵BA确定。z1=B11y1 + B12y2 +B13y3 z2=B21y1 + B22y2 +B23y3z3=B31y1 + B32y2 +B33y3111213212223313233BBBBBBBBBB123yYyy123zZzz（4 ）“除法” 矩阵“除法如同算

10、符一样，“除法只能经过一个逆过程来完成。凡是矩阵A具有非零行列式，即 Det(A)0则称矩阵A为非奇异矩阵。对于且仅仅对于非奇异矩阵，才能按照下面等式来定义其逆矩阵方法求其逆矩阵A-1 AA-1=A-1A=E式中E是恒等矩阵和除法等价的矩阵运算是一个逆矩阵相乘，例如，当 AB=C ABB-1=CB-1 AE=CB-1 A=CB-1 留意：由于矩阵不一定对易，在等式两边同乘另一矩阵时，要左乘，均左乘，要右乘，均右乘。 确定逆矩阵的方法Gramer法则）考虑n个方程 y1=A11x1 + A12x2 +A1nxn y2=A21x1 + A22x2 +A2nxn . （2.1） yn=An1x1 +

11、 An2x2 +Annxn 用矩阵记号写为：1111211221222212.nnnnnnnnyAAAxyAAAxyAAAx记为 Y=AX，用A-1左乘两边，得到 X= A-1 Y若令1211112122122212.nnnnnnnnyxAAAyxAAAxAAAy1112112122212.nnnnnnAAAAAAAAAA（2.2）X=A-1Y A的行列式可写成式中Mij为的Aij代数余子式）111212122212111121211112122222221122.det( ).nnnnnnnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAA MA MA MA MA MA MA MA MA M 如果

12、用M11乘方程2.1的第一式，用 M21乘方程2.1的第二式， 用Mn1乘方程2.1的第n式，然后相加，得 M11 y1+ M21 y2+ Mn1 yn = (A11 M11 + A21 M21 + An1Mn1) x1 + (A12 M11 + A22 M21 + An2Mn1) x2 + + (A1n M11 + A2n M21 + AnnMn1) xn =det(A) x1 + 1212111212222222222222.nnnnnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAAAAxxAAAAAA由于具有两个或两个以上相同的列的行列式等于零，这个方程成为M11 y1+ M21 y2+ Mn

13、1 yn=det(A)x1或 11121112xy y ydet Adet Adet AnnMMM按同样的方式，用其它的代数余子式能够得到 212222121212xy y ydet Adet Adet A.xy y ydet Adet Adet AnnnnnnnnMMMMMM （2.3） X=A-1Y这些方程与2.2相比，得到对于任一方阵A (A-1)ij= Mji/det(A) 11121212221122.det Adet Adet A.det Adet Adet A.det Adet Adet AnnnnnMMMMMMAMMM式中(A-1)ij是矩阵A的逆矩阵第i行与第j列的矩阵元素，

14、而Aji的代数余子式Mji是从A中划去第j行与第i列所得到的低一阶矩阵的行列式乘以(-1)i+j. 阐明(1)若det(A)=0即当A是奇异矩阵时），方程(A-1)ij= Mji/det(A)及因之而得到的逆矩阵无法定义。 (2) 若Det(A)0，则A必须是方阵。 （3） 方程2.3给出任何一组有n个变量的n个方程的解。 （5） 结合律及分配律 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (6)特殊矩阵（a恒等矩阵 对角元素均为1，非对角元素均为零的矩阵。也即 100010001E 01ijijEijijij（ 符号称为Kronecker delta)。其它表示恒等矩阵的符号是I和1，

15、有时被称为单位矩阵。他可以是任意阶的，并能插写到任何矩阵方程的任何地方。（b对角矩阵 任何全部非对角元均为零，而全部对角元为非零的方阵陈作对角矩阵。也即 12nd000d0D=00000d00ijDijij(c) 实矩阵设一个复数 f=a+bi, 那么 f 的复共轭为 f*=a-bi 矩阵A的共轭复矩阵为A*，A的矩阵元素是A矩阵元素的共轭复量，即(A*)ij= (A ij) *实矩阵：A= A*也即，对所有的i和j， A ij =A*ij（d) 对称矩阵 转置矩阵：A的转置矩阵是把A矩阵的行变成列即得反之亦然），且以符号 表示A例如对于一个对称矩阵 亦即，对于所有i和j Aij=Aji例如

16、是对称阵。所有对称矩阵必是方阵123456789A147258369AAA123245356A(e)厄米矩阵 伴随矩阵（ ）：A的伴随矩阵是取其转置矩阵的共轭复量而得，即例如：的伴随矩阵是厄米矩阵：A=A*AA214231iiiAeie213421iieeiiAA亦即，例如是厄米矩阵。 所有厄米矩阵必是方阵；对于实矩阵，判定它是厄米矩阵还是对称矩阵的判据是相同的。（f零矩阵 元素全是零的任何矩阵。对于所有i和j Aij=Aji*12443iiieAie 0000000000 （g) 酉矩阵 当一个矩阵的伴随矩阵等于其逆矩阵时，则为酉矩阵。 =A-1 或者 A=E， A =E 酉矩阵的列或行与通

17、常向量空间里的一组正交归一向量相关。例如，假设是酉矩阵，那么 A=E， 和AAA11121111111111111nAAAAAAAAAAA*1nkikjijkA A1,2,.,1,2,.,injn按定义要求全体向量：是正交归一的，即A的各列构成正交归一向量式中 是单位正交基向量。所有酉矩阵都是方阵。例如是酉矩阵1njkkjkrA e1,2,.,jnjrke2(2/3)1000000=iAe式中：（h正交矩阵 若一个矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即则为正交矩阵。对于实矩阵，判定它是正交矩阵还是酉矩阵的判据是相同的。所有正交矩阵都是方阵。例如是正交矩阵。（请证明）1AAcossin0sincos00

18、01A 转置矩阵（ ）、伴随矩阵（ ）与逆矩阵A-1）AAABBA()ABB A111()ABB A2.4 矩阵本征值方程对于每一个n阶的方阵A，都存在形式为 AX=X的本征值方程，式中的 X 是一个维数为n1)列矩阵， 是一个数或标量。方程的解通常有n个各不相同的值称为本征值和相应的列矩阵X (称为本征向量）。 该方程表示意义：以列矩阵右乘矩阵A就等于同一列矩阵乘以一个数。 可以用下标来区分方程的几个解，可将对应于不同本征值1， 2， n的各本征向量写作X1， X2， Xn,并将方程写成 Axi=xi i=1,2,n通常需将本征向量归一化11211nxxx12222nxxx12,.,nnnn

19、xxx即 i=1,2,n 或者 即这一限制删减了那些不必要的仅差一个常数因子的本征向量。方程的另一形式 （A- iE ) xi =0 i=1,2,n 1iix x *11nkikikx x 1212*1iiiininixxxxxx1,2,.,in1,2,.,in式中：E为恒等矩阵，0为零矩阵。为使方程有非平凡解即排除xi=0)，本征值i必须满足行列式方程 det(A- E ) =0 该方程通常被称为矩阵A的特征方程，它实质上是一个的多项式方程，具有n个根1，2， n。将1， 2， n逐一代入方程A- iE ) xi =0 和 进行求解。每一个本征值i导致相应的非零归一化本征向量xi 。 1ii

20、x x 对于A- iE ) xi =0 的本征值和本征向量有两个重要定理：（1若矩阵A是厄米矩阵，则其本征值是实数。 i= i* i=1,2,n 若他们的本征向量都是对应于不同的本征值，亦即，当本征值是非简并的（ k i ），那么本征向量是彼此正交的。 或 合并二式为 0klx x *10,njkjlklkx x*1,2,.,1,2,.,klklknx xln（2以厄米矩阵的本征向量作为列所组成的矩阵X时酉矩阵。 由矩阵A的本征向量所组成的矩阵X，可用来和AX=X 的解结合而成单个方程： 当A是厄米矩阵，则X当然是酉矩阵；如果A是对称矩阵，则X就是正交矩阵。120.00.0.000n AXX2

21、.5 相似变换若存在矩阵Q使 Q-1AQ=B则称矩阵A和B通过相似变换相联系。定理1 若A和B矩阵是通过相似变换关联的，则其行列式本征值及迹对角元素之和应是相等的。det(A)=det(B)A的诸=B的诸迹(A)=迹(B) 假设 A= Q- 1AQ，B= Q- 1BQ， C= Q- 1CQ，则A,B,C, ,之间的任何关系，也为A，B，C，,所满足。定理定理2 若相似变换的结果产生一个对角阵，那么，若相似变换的结果产生一个对角阵，那么，此过程称为对角化。此过程称为对角化。定理定理3 假若矩阵假若矩阵A和和B可通过同一矩阵对角化，则可通过同一矩阵对角化，则A和和B对易。对易。定理定理4 假若假若X是由矩阵是由矩阵A的本征向量所组成的矩阵，的本征向量所组成的矩阵，则相似变换则相似变换X-1AX必将必将 产生一个对角矩阵，其对产生一个对角矩阵，其对角元为角元为A的本征值。假若的本征值。假若A是厄米矩阵，则是厄米矩阵，则X一定一定是酉矩阵。一个厄米矩阵总是可以通过酉变换使是酉矩阵。一个厄米矩阵总是可以通过酉变换使之对角化；而一个对称矩阵总是可以通过正交变之对角化；而一个对称矩阵总是可以通过正交变换使之对角化。换使之对角化。定理定理5 酉矩阵经过酉变换仍然