6.2用留数定理计算实积分ppt课件

1、 第六章 留数理论及应用第第6.2节节 用留数定计算实积分用留数定计算实积分留数定理的应用-积分的计算: 在数学分析中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,1cos,sin22dxxxdxedxxxx或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,)1 (122dxx留数定理的应用-积分的计算:（2）、利用留数计算积分，没有一些通用的方法，我们主要通过例子进行讨论；（3我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在课本中有讨论。由于时间的关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分的问题

2、，同学们可以自学。利用留数计算积分的特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分的问题，转化为计算某些解析函数在孤立奇点的留数，从而大大化简了计算；例1、例1、 计算积分20,sintadtI其中常数a1。解：令zeitizdzdtzzit),1(21sin而且当t从0增加到2解：令 ，那么时，z按反时针方向绕圆C:|z|=1一周。例1、因此,1222CiazzdzI于是应用留数定理，只需计算1222 iazz在|z|1内极点处的留数，就可求出I。上面的被积函数有两个极点：121aiiaz122aiiaz显然1| , 1|21zz例1、因此被积函数在|z|1，那么z=i包含在Cr的内区域内。

3、沿 Cr取22)1 (1zrrrzdzxdx2222)1 ()1 (其中r.2412),)1 (1(Res222iiizi其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。的积分，得例2：现在估计积分rzdz22)1 (我们有,) 1(1|)1 (|2222rrzdzr因此, 0)1 (lim22rzdzr令 ，就得到r.2)1 (22xdx从而.4)1 (2122xdxI注解：注解1、我们计算所得的值这个广义积分的柯西主值，但由于此积分收敛，所以积分值等于主值。注解2、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)(dxxRI的积分，其中R(x)是有理分式，分母在实轴上不为零，并且分母

4、的次数比分子的次数至少高2次，即积分绝对收敛。引理6.1：引理3.1设f(z)是闭区域),0 , 0(|,210021rzrArgz上连续的复变函数，并且设r)(0rr , 0)(limzfz那么我们有. 0)(limrdzezfizr 是以O为心、r为半径的圆弧在这闭区域上的一段 假设当z在这闭区域上时，引理6.1：证明：设M(r)是f(z)在r.)(2)()(|)(|20sin0sinsinrderMrderMrderMdzezfrrtizrr因为当20, 1sin2证明：设M(r)是f(z)在 上的最大值，则有因为当 时，引理6.1：所以20220sinrderderr.202rder又

5、因为, 0)(limzfz. 0)(limrdzezfizr, 0)(lim|rMz又因为 所以，例3：例3、 计算积分02,1cosdxxxI解：取r0，则有,121) 1(21cos20202rrixrixixrdxxedxxeedxxx函数12zeiz0y函数 在函数 在去有一阶极点z=i外，在其他每一点都解析。取积分区域如图，而只要取r1。于是我们有例3：于是我们有,),1(Re211222eizesidzzedxxeizizrrixr其中r其中 表示Cr上的圆弧部分，沿它的积分是按幅角增加的方向取的。例3：现在应用引理3.1，取2, 0,11)(0212rzzf那么在这引理中所设各条

6、件显然成立。因此，令r,1lim2edxxerrixr从而可见积分I收敛，并且.2eI因此，令 ，就得到注解：注解1、应用同样得方法，我们可以计算一般形如,)(dtexfIix的积分，其中f(x)在0Imz0Imz注解2、同样，上面求出的广义积分也是其柯西主值。 上可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且当z在上时，引理中的条件满足。阐明： 如果函数f(x)在上上半平面可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，而且在实轴上有孤立奇点，我们也可以计算某些广义积分，同样，所求出的广义积分无限积分与瑕积分也是其柯西主值，如下面的例子。函数 只是在z=0有一个一阶极点。例4： 例4、 计算积分0

7、,sindxxxI解：取r及0r,22sinrixrixrixixrdxxedxxeidxixeedxxx函数zeiz解：取 ，使解：取 ，使 ，我们有例4：作积分路径如下图。在上半平面上作以原点为心、r与r 与于是我们有, 0dzzedxxedzzedxxeizrixizrixr在这里沿r 与现在求当dzzeiz 为半径的半圆 的积分分别是按幅角减小与增加的方向取的。现在求当 趋近于0时，现在求当 趋近于0时， 的极限。例4：由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一个邻域内，| f(z)|有上界当 0z),(1zhzzeiz其中h(z)是在z=0的解析函数。因此,)()(1dzzhidzz

8、hdzzdzzeizM于是当,2|)(|Mdzzh当 时于是当 充分小时例4：从而,lim0idzzeiz令r , 02I令 ，应用引理3.1，可以得到所求积分收敛，并且留数定理的应用-儒歇定理: 应用留数定理，我们也可以解决有关零点与极点的个数问题，因为教学时间的关系，我们只介绍儒歇定理，并应用它来决定方程在一些区域内根的个数。儒歇定理定理6.2设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设函数f(z)及g(z)在D及C所组成的闭区域上解析，并且在C上，|f(z)|g(z)|，那么在D上，f(z)及 f(z)+g(z)的零点的个数相同。注解：注解1、应用此定理时，我们只要估计和在区域边界上模的值。注解2、f(z)及g(z)选择的原则是，f(z)在内的零点个数好计算。例1: 例1、 求方程, 012558zzz在|z|1内根的个数。解：令,2)(, 15)(85zzzgzzf由于当|z|=1时，我们有, 41|5| )(|5zzf而, 3|2| )(|8zzzg已给方程在|z|1内根的个数与-z5+1在|