材料力学课件 组合变形课件

1、12第八章第八章 组合变形组合变形一、组合变形的概念一、组合变形的概念二、斜弯曲二、斜弯曲三、拉三、拉( (压压) )与弯曲的组合与弯曲的组合四、扭转与弯曲的组合四、扭转与弯曲的组合38-1 8-1 组合变形的概念组合变形的概念一一. .引例引例4 工程实用工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向烟囱：自重引起轴向压缩压缩 + + 水平方向的风力而水平方向的风力而引起引起弯曲弯曲，传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + + 扭转扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = = 轴向压缩轴

2、向压缩 + + 纯弯曲纯弯曲5二二. .组合变形的定义组合变形的定义构件同时发生两种或两种以上基本构件同时发生两种或两种以上基本变形变形 情况称为组合变形。情况称为组合变形。前面几章研究了构件的基本变形：前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲。轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲。定义：定义：所有由基本变形组合产生的杆件内力称所有由基本变形组合产生的杆件内力称为复合内力。为复合内力。6在复合内力的计算中，通常都是由力作用在复合内力的计算中，通常都是由力作用的的独立性原理独立性原理出发的。在线弹性范围内，出发的。在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的各载荷中的任一可以假

3、设作用在体系上的各载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响可个所引起的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计忽略不计。 实验表明，在小变形情况下，这个原理实验表明，在小变形情况下，这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一是足够精确的。因此，可先分别计算每一种种基本变形基本变形情况下的应力和变形，然后采情况下的应力和变形，然后采用用叠加原理叠加原理计算所有载荷对弹性体系所引计算所有载荷对弹性体系所引起的起的总应力和总变形总应力和总变形。71.1.简化荷载：在静力等效的前提下简化荷载：在静力等效的前提下, ,将载荷分将载荷分 解，使每一组力只引起一种基本变形。解，使每一组力只引起一种基本变形

4、。2.2.按基本变形求解每组载荷作用下的应按基本变形求解每组载荷作用下的应力、位移。力、位移。 3.3.按叠加原理叠加求出组合变形的解。按叠加原理叠加求出组合变形的解。四四. .求解框图求解框图力力系系的的简简化化基基本本变变形形分分析析叠加叠加求最大应力求最大应力求最大位移求最大位移强度条件强度条件刚度条件刚度条件88-2 在两垂直平面内的弯曲（斜弯曲）在两垂直平面内的弯曲（斜弯曲）9FF纵向对称面纵向对称面F轴线轴线平面弯曲平面弯曲对称弯曲对称弯曲10纵向对称面纵向对称面F轴线轴线非对称弯曲非对称弯曲1. .梁梁虽有纵向对称面，但载荷不作用在该平面虽有纵向对称面，但载荷不作用在该平面2.

5、.梁没有纵向对称面梁没有纵向对称面FFF11一一. .定义：定义：斜弯曲斜弯曲荷载不作用在构件的纵向对称荷载不作用在构件的纵向对称面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。cosFFysinFFzCFyFzFzy),(zy12为中性轴弯曲以为中性轴弯曲以yxlFMzxlFMzyyz)()(sin)(sincos)(cosMxlFMMxlFMyz二二. .基本变形分析基本变形分析的应力zMcoszzzIyMIyM1.1.应力计算应力计算yz13sinyyyIzMIzM 的应力yM cC点总应力：)sincos(yzIzIyM2.中性轴的位置中性轴的位

6、置中性轴上某一点的坐标为中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，即由00)sincos(00yzIzIyM故中性轴的方程为：故中性轴的方程为：0sincos00zIyIyz14中性轴是一条通过截面形心的直线。中性轴是一条通过截面形心的直线。tgtg00yzIIzy 为中性轴与为中性轴与z z轴夹角轴夹角中性轴中性轴1D2DF注：注：1 1）中性轴仍过截面形心；）中性轴仍过截面形心；2 2）中性轴把截面分为拉、压两个区域；）中性轴把截面分为拉、压两个区域；3 3）同一横截面）同一横截面max发生在离中性轴最远处发生在离中性轴最远处21,DD点点0sincos00zIyIyz15中性轴中性轴注意：

7、若截面为曲线周边时，可作平行于中性轴注意：若截面为曲线周边时，可作平行于中性轴之切线，切点应力最大。之切线，切点应力最大。)sincos(11max,yztIzIyM3)3)最大应力最大应力3.强度计算强度计算：1 1）危险截面：当）危险截面：当x=0时时yZMM ,同时取最大同时取最大,固定端处为危险面固定端处为危险面2 2）危险点：危险面上）危险点：危险面上点21,DD)sincos(22max,yzcIzIyM max16三三. .位移计算位移计算计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法. .cos3333ZZyyEIlFEIlFfsin3333yyzzE

8、IlFEIlFffffyz22xyxy平面内：平面内：xzxz平面内：平面内：FyFzF17tgtgtgyzyzIIff总挠度总挠度f与中性轴垂直与中性轴垂直f与与y轴轴的夹角：的夹角：则若,) 1yzII 中性轴中性轴zfyfF讨论：讨论：-称为称为平面平面弯曲弯曲2 2）若）若则,zyII即挠曲线与外力即挠曲线与外力F F不在同一平面不在同一平面-称为斜弯曲称为斜弯曲因圆、正方形，因圆、正方形，其其zyII故不会产生斜弯曲故不会产生斜弯曲18载荷平面载荷平面挠曲线平面挠曲线平面yz19载荷平面载荷平面挠曲线平面挠曲线平面20例例 图示悬臂梁，承受载荷图示悬臂梁，承受载荷F1与与F2作用，已

9、知作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力，许用应力=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：试分别按下列要求确定截面尺寸：(1) (1) 截面为矩形，截面为矩形，h h=2=2b b；(2) (2) 截面为圆形。截面为圆形。 解：解：(1) 矩形截面：矩形截面： 212、圆截面、圆截面22 例例 跨度跨度L=4mL=4m的简支梁截面为的简支梁截面为32a32a工字钢，中点受集中力工字钢，中点受集中力P=33kN,P=33kN,它与对称轴称它与对称轴称1515度角，若度角，若按正应力校核强度。按正应力校核强度。解：作梁的弯距图解：作梁的弯距图MPa170kNPLM33

10、44334maxkNMMz54. 815sin33sin0maxmaxkNMMy9 .3115cos33cos0maxmax查表得：查表得：4610692mWy46108 .70mWzMPaWMWMzzyy666maxmax10167108 .708540106923190023一一. .引例引例8-3 8-3 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合变形与弯曲的组合变形qylxABFF二二. .应力分析应力分析1.1.拉伸（压缩）拉伸（压缩）AF2.2.弯曲弯曲zzIyM 3.3.总应力总应力 24 例例 一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆杆直径径d=100

11、mmd=100mm，试求圆杆的最大拉应力，试求圆杆的最大拉应力t t和最大和最大压应力压应力 c c 。25kN4kN,3AAYX解：解：任意横截面 上的内力x:xxYxMYFXFAASAN4)(kN4kN3mkN8kN311MFN，其上：截面上危险截面，WMAFNct9 .811 .8132/1084/1033323tddcWMAFNMW26例例 悬臂吊车如图所示悬臂吊车如图所示,横梁用横梁用20a工字钢制成工字钢制成. 其抗弯刚其抗弯刚度度Wz = 237cm3,横截面面积横截面面积 A=35.5cm2,总荷载总荷载F= 34kN,横梁材料的许用应力为横梁材料的许用应力为 =125MPa.

12、校核横梁校核横梁AB的强度的强度.FACD1.2m1.2mB30BADFFAyFAxFNAB30解：（解：（1） 分析分析AB的受力情况的受力情况02 . 14 . 230sin 0N FFMABAFFAB NFFFFFFAyyAxx5 . 00866. 00 AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面中间截面为危险截面.最大压应力最大压应力 发生在该截面的上边缘发生在该截面的上边缘27AFAFAx866. 0zzAyWFWF6 . 02 . 1max MPa37.946 . 0866. 0maxc zWFAF危险点的应力危险点的应力FACD1.2m1

13、.2m30BBADFFRAyFRAxFNAB302829一一.引例引例 当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。 如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F230二二. .偏心拉偏心拉( (压压) )的应力计算的应力计算FZyzyzMzyyMFFyFzyzcdzFFyycdFFzF31FFzFyzycd 以横截面具有两以横截面具有两对称轴的等直杆承对称轴的等直杆承受距离截面形心为受距离截面形心为 e ( (称为偏心距称为偏心距) )的的偏心压力偏

14、心压力F为例，来为例，来说明说明. .32yzAFAFNyFyyIzFzIzM zFzzIyFyIyM FFyFFzF33zzyyIyMIzMAF zFyFIFyyIFzzAF)1(22zFyFiyyizzAFAIiAIiyyzz22,式中34三三. .中性轴与最大应力中性轴与最大应力1.1.中性轴方程中性轴方程中性轴上各点坐标（中性轴上各点坐标（z zo,o,y yo o),),应力为零应力为零0中性轴方程为：中性轴方程为：012020zFyFiyyizz12020zFyFiyyizzFzyyia2Fyzzia2100yzayaz式中式中zFyFctWFyWFzAF358-5 8-5 截面核

15、心截面核心一一. .截面核心的概念截面核心的概念12020zFyFiyyizzFzyyia2100yzayazyzFyzzia2中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用的最大范围成为截面核心。的最大范围成为截面核心。36二二. .截面核心的求法截面核心的求法1.1.截距与载荷坐标的关系截距与载荷坐标的关系;,zFazzFaz,;, 0zFaz0,zFaz2.2.作截面核心的方法作截面核心的方法（1 1）过截面

16、周边上的一点作切线，以此作为第一）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一根中性轴；根中性轴；（2 2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标；）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标；（3 3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作为第二根中性轴；为第二根中性轴；（5 5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。（4 4）按（）按（2 2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷）求于第二个中性轴对应的第二个载荷点坐标；点坐标；3

17、7 例例 求高求高h,h,宽宽b b的矩形截面的截面核。的矩形截面的截面核。2h2hyz2b2b解：解：（1 1）作中性轴）作中性轴，yzaba,2621222bbbaizzyF（2 2）求载荷点）求载荷点 ，621222hhhaiyyzF（3 3）作中性轴）作中性轴 ，2,haayz, 02zyFaiz（4 4）求载荷点）求载荷点 ，02yzFaiy38(5)中性轴位置变化与截面核心边界变化的关系：中性轴位置变化与截面核心边界变化的关系：中性轴为定直线，载荷作用点为一定点；中性轴为定直线，载荷作用点为一定点；中性轴位置绕定点转动，载荷作用点集呈直线中性轴位置绕定点转动，载荷作用点集呈直线（6

18、 6）截面为对称图形，）截面为对称图形，截面核心也成对称图形。截面核心也成对称图形。按顺序连接所得到的各载荷点，作出截按顺序连接所得到的各载荷点，作出截面核心。面核心。39例例圆截面的截面核心圆截面的截面核心zyRRyzaRa,（1 1）作中性轴）作中性轴，（2 2）求载荷点）求载荷点 ，02yzFaiy4422RRRaizzyF（3 3）按对称性求各载）按对称性求各载荷点，并依次连接。荷点，并依次连接。40例例 试确定图示试确定图示T字形截面的截面核心边界。图中字形截面的截面核心边界。图中y、z轴为截面的形心主惯性轴。轴为截面的形心主惯性轴。 解解：先求出截面的有关几何性质：先求出截面的有关

19、几何性质 2m6 . 0)m9 . 0m4 . 0()m6 . 0m4 . 0(A2222224343m105 .84/m108/m105 .27m1048AIiAIiIIzzyyzyEH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy41 作作、等等6 6条直线，将它们条直线，将它们看作是中性轴，其中看作是中性轴，其中、和和分别与周边分别与周边AB、BC、CD和和FG相切，相切，而而和和则分别连接两顶点则分别连接两顶点D、F和和两顶点两顶点G、A。 依次求出其在依次求出其在y、z坐标轴上的截距，坐标轴上的截距，并算出与这些中性轴对应的核心边界并算出与这些中性轴对应的核心

20、边界上上1 1、2 2、等等6 6个点的坐标值。个点的坐标值。 再利用中性轴绕一点旋转时相应的再利用中性轴绕一点旋转时相应的外力作用点移动的轨迹为一直线的关外力作用点移动的轨迹为一直线的关系，将系，将6 6个点中每相邻两点用直线连个点中每相邻两点用直线连接，即得图中所示的截面核心边界。接，即得图中所示的截面核心边界。453216EH0.45m 0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123456420-0.1021-0.450.45-0.45-0.45ay-0.0740.10241.0800.1023-0.133050.600.2002-0.40中性轴编号中性轴编号 -0.

21、074 -0.102 截面核截面核心边界心边界上点的上点的坐标值坐标值/m /m 6对应的截面核对应的截面核心边界上的点心边界上的点 1.08az 中性轴中性轴的截距的截距/m /m yzyai2zyzai2222222m105 .84m108zyii438-6 8-6 扭转与弯曲的组合变形扭转与弯曲的组合变形一一. .引例引例传动轴传动轴曲拐曲拐44二二. .弯扭的应力分析弯扭的应力分析PaTPlM1. 简化外力：简化外力：P弯曲弯曲变形变形T=-Pa扭转变形扭转变形2. 分析危险截面：分析危险截面：3. 分析危险点：分析危险点：A A截面为危险截面截面为危险截面45k1k2MWTWt22m

22、inmax220222223146r313224MWTWt224WTMr223r412223231212()()()2243rMTW22075.13222220MWTWt,WdWdt333216,Wt=2W473275.0342243223dWWMWTMWMWTMrrrr圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力： 注：注：1、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。、公式只适用于圆杆或圆环截面杆。 2、对于非圆截面杆由于、对于非圆截面杆由于Wt2W,公式不适用公式不适用。22422375. 0TMMTMMrr其中：第三强度理论第三强度理论第四强度理论第四强度理论相当弯矩相当弯矩

23、48 例例 图示传动轴传递功率图示传动轴传递功率p=7.5Kw,p=7.5Kw,轴的转速轴的转速n=100r/minn=100r/min。A A、B B为带轮。轮为带轮。轮A A带处于水平位置；轮带处于水平位置；轮B B带处于铅垂位置。带处于铅垂位置。FFp1p1= F= Fp1p1、 FFp2p2= F= Fp2p2为带拉力。已知为带拉力。已知F Fp1p1 F Fp2p2， F Fp2p2=1500N,=1500N,两轮直径均为两轮直径均为D=600mm,D=600mm,轴材料许用应力轴材料许用应力=80Mpa=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径。试按第三强度理论设计轴的直径。49解

24、解:(1)简化外力：简化外力：(2)(2)分析危险截面：分析危险截面：mNnNT2 .7161005 . 795499549:外加扭矩2)(21DFFTPP又：5400,3900121PpPFFF求出各支反力如图。求出各支反力如图。由计算简图可见，轴由计算简图可见，轴在外力作用下，产生在外力作用下，产生x0yx0y面内（面内（z z为中性轴）为中性轴）x0zx0z面内（面内（y y为中性轴为中性轴）弯曲弯曲及绕及绕x x轴的扭转轴的扭转50TMyMzxxy1 1） x0yx0y面内弯曲（面内弯曲（ z z为中性轴）为中性轴）2 2）x0zx0z面内弯曲（面内弯曲（y y为中性轴）为中性轴）18

25、00N3600N5400NMzB=3600 0.4=1440N.mxyz5400N6520NMyB=1120 0.4=448N.mMyD=3600 0.4=1440N.mCBDACBDAAB3)3)绕绕x x轴的扭转：轴的扭转：T=716.2N.mT=716.2N.m由内力图可见，由内力图可见，B B轮轮处为危险截面处为危险截面TTzx1120N22maxyzBwMMMM51(3)(3)按第三强度理论设计轴直径：按第三强度理论设计轴直径：1 1）求第三强度理论相当弯矩：）求第三强度理论相当弯矩：NmTMMTMMyzwr166910448. 044. 1716. 032222222232 2）按

26、第三强度理论设计轴直径：）按第三强度理论设计轴直径：33WMrr由：32/333dMrr即：mMdr33633107 .59108016693232讨论讨论：按第四强度理论？按第四强度理论？22475. 0TMMwr32/344dMrr3332rMd 52 例例 图示悬臂梁的横截面为等边三角形，图示悬臂梁的横截面为等边三角形，C C为为形心，梁上作用有均布载荷，其作用方向及形心，梁上作用有均布载荷，其作用方向及位置如图所示，该梁变形有四种答案位置如图所示，该梁变形有四种答案: :（A A）平面弯曲；）平面弯曲；（B B）斜弯曲；）斜弯曲；（C C）纯弯曲；）纯弯曲；（D D）弯扭结合。）弯扭结合。53 例例 ：偏心拉伸杆，弹性模量为：偏心拉伸杆，弹性模量为E E，尺寸、受力如图所示。求：尺寸、受力如图所示。求：（1）最大拉应力和最大压）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；应力的位置和数值；（2）AB长度的改变量。长度的改变量。最大拉应力发生在最大拉应力发生在AB线线上各点，最大压应力发上各点，最大压应力发生在生在CD线上各点。线上各点。分析：这是偏心拉伸问题分析：这是偏心拉伸问题54解：解：(1)应力分析应力分析NPMPhMPbyz,22tcyyzzNAMWMW6/2/6/2/22hbPbbhPhbhPbhPbhPct57（2