第一节 不定积分的概念与性质_第1页
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1、第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质原函数的概念原函数的概念定义定义 设设 是定义在空间是定义在空间 上的函数上的函数, ,)(xfI若存在函若存在函数数 对任何对任何 均有均有)(xFIx )()(xfxF dxxfxdF)()( 或或则称函数则称函数 为为 在区间在区间 上的上的原函数原函数. .)(xF)(xfI不定积分的概念不定积分的概念定义定义若存在原函数若存在原函数, ,为为积分符号积分符号, ,由定义知由定义知, ,则则在某区间在某区间 上的函数上的函数I),(xf称称 为可积函数为可积函数, ,)(xf并将并将 的全体原函数记为的

2、全体原函数记为)(xf则则dxxf )(称它是函数称它是函数 在区间在区间 内的内的不定积分不定积分, ,)(xfI其中其中 称称 称为称为被积函数被积函数, ,)(xf称为称为积分变量积分变量. .x若若 为为 的的原函数原函数, ,)(xF)(xf( 称为称为积分常数积分常数)Cdxxf )(CxF )(基本积分表基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)Ckxkdx k( 是常数是常数)Cxdxx 11 )1( Cxxdx |lnCxdxx arcsin112Cxxdx sincos(4)Cxdxx arctan112(7)Cxxdx cossin基本积分表基本积分表(7)Cxxdx co

3、ssin(9)(10)(11)(12)(13)Cxxdxxdx cotcscsin22Cxxdx tansec2Cxx cotcsc2Cedxexx .lnCaadxaxx (8)Cxxdxxdx tanseccos22例例1 问问)( dxxfdxd与与 dxxf)(是否相等是否相等? ?例例2 求下列不定积分求下列不定积分 ;)1(3dxx ;1)2(2dxx .11)3(2dxx例例3 已知曲线已知曲线)(xfy 在任一点在任一点处的切线斜率处的切线斜率x为为,2x且曲线通过点且曲线通过点),2 , 1(求此曲线的方程求此曲线的方程. .不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 两函数代数

4、和的不定积分两函数代数和的不定积分, ,分分的代数和的代数和. .即即等于它们各自积等于它们各自积 dxxgxf)()( dxxgdxxf)()(性质性质2 求不定积分时求不定积分时, ,即即非零常数因子可提到积分号外面非零常数因子可提到积分号外面. .dxxfkdxxkf )()();0( k例例5 计算不定积分计算不定积分 .1232dxx 例例6 求不定积分求不定积分 .2dxexx求不定积分求不定积分例例7.)1(122 dxxxxx例例8 求不定积分求不定积分.1142dxxx 例例9求不定积分求不定积分.124 dxxx例例10 求下列不定积分求下列不定积分: :;tan)1(2 xdx.2sin)2(2 dxx例例12 求满足下列条件的求满足下列条件的).(xF,2

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