二房室模型 数学建模

1、 房室系统的概念 二房室模型的建立 模型求解 不同给药方式分析 参数估计技巧 进一步推广5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型）（药物动力学之房室模型） 药物进入机体形成药物进入机体形成血药浓度血药浓度( (单位体积血液的药物量单位体积血液的药物量) ) 血药浓度需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学药物动力学 建立建立房室模型房室模型( (Compartmental Models) ) 房室房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀机体的一部分，药物在一个房

2、室内均匀分布分布( (血药浓度为常数血药浓度为常数) )，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移 本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、肾等心、肺、肾等) )和周边室和周边室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等) )药物动力学之房室系统药物动力学之房室系统 中心室中心室周边室周边室给药给药排除排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假设模型假设 中心室中心室(1)和周边室和周边室(2), ,容积不变容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，药物在房室间转移速率及向体外排

3、除速率，与该室血药浓度成正比与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间药物从体外进入中心室，在二室间相互转移相互转移, ,从中心室排出体外从中心室排出体外模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容积浓度药量2211122)(xkxktx复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)dxAxdt| 0IA特征方程(1)两个不等的实数特征根, , (2)两个相等的实数特征根=, (3)两个共轭复数特征根i, 111222( )( )ttttxtA eB extA eB e111222( )()( )()ttxtAB t extAB t e111222( )(cossin)( )(c

4、ossin)ttxtAtBt extAtBt etttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc2 , 1),()(itcVtxiii线性常系数线性常系数非齐次方程非齐次方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解模型建立模型建立可证明：特征可证明：特征方程有两个不方程有两个不相等负根相等负根)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf几种常见的给药方式几种常见的给药方式1. .

5、快速静脉注射快速静脉注射t=0 瞬时注射剂量瞬时注射剂量D0的药物进入中心室的药物进入中心室, ,血血药浓度立即为药浓度立即为D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc12( ),( )0c t c t 给药速率给药速率 f0(t) 和初始条件和初始条件齐次方程通解带入初始条件和原方程得详解 因因f0(t)=0, 为齐次方程，通解为为齐次方程，通解为 代入方程第一式（第二式也可）代入方程第一式（第二式也可） 比较两边比较两边e- t, e- t系数得到系数得到 由初始条件得由初始条件得 求解得求解得22112131212112

6、13121211(), ()VVAkkAk ABkkBk BVV 111222( ),( )ttttc tAeBec tA eB e21112131121221-)()()ttttttVAeBekkAeBekA eB eV（011221,0DABABV00121121110 120 122222(),()()(),()()DDAkBkVVD kD kABVV 12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .

7、恒速静脉滴注恒速静脉滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零(解的公式？解的公式？)药物以速率k0进入中心室0Tt tT以后，静脉注射停止TtckckVVtcckVVckktc,)()()(22111221222112113121方程21321012211301)()(VkkkkTcVkkTcT充分大，初值当)(2)(22)(1)(11)()(TtTtTtTteBeAtceBeAtc通解)(,)(,)()(,)()(132121202132121202132112

8、101132112101kkVkkBkkVkkAkkVkkBkkVkkA常数0010 xkf )(0tx吸收室中心室000010)0()(Dxxktx 011( )0ktttc tAeBeEetkeDtx0100)(010001( )k tf tD k e3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物( 剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcttBeAetctc)()(11参数估计技巧参数估计技巧各种给药方式下的各种给药

9、方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大设t ,由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101为什么不为什么不4个参个参数一起拟合？数一起拟合？211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除参数估计技巧参数估计技巧房室模型建模小结 分析各房室的关联； 建立线性微分方程组模型； 写出微分方程组的通解； 用初始条件和代入方程求得特解； 用观测数据估计模型参数 参数估计可用分解技巧，简化计算，使结参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。果更可靠。进一步的问题 多房室系统模