高等数学公式总结

1、高等数学公式导数公式：(tanx)=sec2x(cotx)=-csc2x(secx)=secxtanx(cscx)=-cscxcotx(ax)=axlna(logax)=xlna基本积分表：(arcsinx)=-x2(arccosx)=-x21(arctanx)=1+x2(arccotx)=-1+x2tanxdx=-lncosx+Ccotxdx=lnsinx+Csecxdx=lnsecx+tanx+Ccscxdx=lncscx-cotx+Cdx1x=+Ca2+x2aadx1x-a=lnx2-a22ax+a+Cdx1a+x=a2-x22alna-x+Cdxx=arcsin+Ca2-x2a2ndx

2、2=sec2cosxxdx=tanx+Cdx2=csc2sinxxdx=-cotx+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=-cscx+Caxadx=lna+Cxshxdx=chx+Cchxdx=shx+Cdxx2a2=ln(x+x2a2)+C2In=sinxdx=cosnxdx=n-1In-2nx2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22x2a2x222a-xdx=a-x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分：2u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tan，dx=1+u21+u22

3、1+u2一些初等函数： 两个重要极限：ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=shxex-e-x双曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x2+1）archx=ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： 诱导公式：limsinx=1x0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045.xx和差角公式： 和差化积公式：sin()=sincoscossincos()=coscos sinsintgtg1 tgtgctgctg 1cot()=ctgctgtan()=sin+sin=2sin+22+-sin-sin=2cossi

4、n22+-cos+cos=2coscos22+-cos-cos=2sinsin22cos-倍角公式：sin2=2sincoscos2=2cos2-1=1-2sin2=cos2-sin2cot2=cot-12cot2tantan2=1-tan22sin3=3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos3tan-tan3tan3=1-3tan2半角公式：sin2=-cos1+coscos=2221-cos1-cossin1+cos1+cossin=cot=1+cossin1+cos21-cossin1-cosabc=2R 余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCta

5、n 2正弦定理：反三角函数性质：arcsinx=2-arccosxarctanx=2-arccotgx高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)(n)k(n-k)(k)=Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)(n-2)n(n-1) (n-k+1)(n-k)(k)uv+ +uv+ +uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f()(b-a)f(b)-f(a)f()=F(b)-F(a)F()曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=+y2dx,其中y=tan平均曲率：K=.:从M点到M点，切线斜率

6、的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：K=lim=. 23s0sds(1+y)直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abb-a(y0+y1+ +yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+ +yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+ +yn-2)+4(y1+y3+ +yn-1)3n 梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：功：W=Fs水压力：F=pAmm引力：F=k122,k为引力系数 rb1函数的平均值：y=f(x)dxb-aa12f(t)dtb-aa空间解析几何和向量代数： b空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1

7、)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：Prju=cos,是u轴的夹角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2 ab=abcos=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cos=i c=ab=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222k az,c=absin.例：线速度：v=wr.bzaybycyaz bz=abccos,为锐角时， czax 向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,

8、M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx-x0y-y0z-z0 =t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=（马鞍面）1abc微分方程的相关概念：一阶微分方程：y=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形

9、式，解法：g(y)dy=f(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。dyy=f(x,y)=(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u=，则=u+x，u+=(u)，=代替u，xdxdxdxx(u)-ux齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：dy1+P(x)y=Q(x)dx-P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce当Q(x)0时，为非齐次方程，y=(Q(x)edy2+P(x)y=Q(x)yn，(n0,1)dx全微分方程： P(x)dxdx+C)e-P(x)dx如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0=P(x,y)=Q(x,y) xyu(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy +P(x)+Q(x)y=f(x)dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y+py+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程