高等数学复习资料集锦

1、高等数学期末复习资料高等数学（本科少学时类型）第一章 函数与极限第一节 函数函数基础（高中函数部分相关知识）（） 邻域（去心邻域）（）U(a,)=x|x-a<U(a,)=x|0<x-a<第二节 数列的极限数列极限的证明（）【题型示例】已知数列xn，证明limxxn=a【证明示例】-N语言1由xn-a<化简得n>g()， N=g()2即对>0，N=g()，当n>N时，始终有不等式xn-a<成立， limxxn=a第三节 函数的极限xx0时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数f(x)，证明xlimxf(x)=A【证明示例】-语言1由f(x)-A&l

2、t;化简得0<x-x0<g()， =g()2即对>0，=g()，当0<x-x0<时，始终有不等式f(x)-A<成立， xlimxf(x)=Ax时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数f(x)，证明limxf(x)=A【证明示例】-X语言1由f(x)-A<化简得x>g()， X=g()2即对>0，X=g()，当x>X时，始终有不等式f(x)-A<成立， limxf(x)=A第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（） 函数f(x)无穷小limf(x)=0函数f(x)无穷大limf(x)=无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三

3、）假设f(x)为有界函数，g(x)为无穷小，则limf(x)g(x)=0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f(x) 为无穷大，则f-1(x)为无穷小；反之，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则f-1(x)为无穷大 【题型示例】计算：limxxf(x)g(x)0（或x）1f(x)M函数f(x)在x=x0的任一去心邻域U(x0,)内是有界的；（f(x)M，函数f(x)在xD上有界；） 2xlimxg(x)=0即函数g(x)是xx00时的无穷小； （limxg(x)=0即函数g(x)是x时的无穷小；）3由定理可知limxx0f(x)g(x)=0（limxf(x)g(x)=0）第五节 极限运算法则

4、极限的四则运算法则（） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式p(x)、q(x)商式的极限运算设：p(x)=amm-10x+a1x+amq(x)=bnn-10x+b1x+bnn<则有limp(x)mxqx=a0n=m b00n>mf(x0)limf(x)gxg(x0)00xx=g(x0)=0,f(x0)0 0gx0g(x0)=f0(x0)=0（特别地，当limf(x)0xxx=0（不定型）时，通常分0g子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值limx-3x3x2-9【求解示例】解：因为x3，从而可得x3，所以原式=limx

5、-3x3x2-9=limx-3x3x+3x-3=lim11x3x+3=6其中x=3为函数f(x)=x-3x2-9的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：第1页（共9页）高等数学期末复习资料解：limx3x-311=lim=lim= 2'Lx3x3x-92x6(x2-9)'00(x-3)'1UsinUtanUarcsinUarctanUln(1+U)(eU-1)连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（） 2U1-cosU12（定理五）若函数f(x)是定义域上的连续函数，那么，limxxf(x)=flimxx(x) 00【题型示例】求值：limx-3x3x

6、2-9【求解示例】x3= =第六节 极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：limsinxx0x=1 x 0,sinx2，sinx<x<tanxlimx0x=1 limx1lim1x0x0sinx=limx0sinx=1 xlimsinxx0 x（特别地，limsin(x-x0)x=1）x0x-x0单调有界收敛准则（P57）（）x第二个重要极限：lim1x1+x=e（一般地，limf(x)g(x)=xlimf(x)limg()，其中limf(x)>0）x+1【题型示例】求值：lim2x+3x 2x+1【求解示例】解：lim2x+3x+12x+1+2x+

7、12x+1x 2x+1=limx 2x+1=2xlim+11+2x+122x+122x+12x+1(x+1)=22x+1(x+1)2xlim+11+22x+1=22xlim+1 1+2x+122x+12xlim+1(x+1)=222x+1lim22x+1(x+1)2xlim+1 1+2x+1=e=e2xlim+12x+22x+1=e1=e第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（）（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：limln(1+x)+xln(1+x)x0x2+3x【求解示例】解：因为x0,即x0,所以原式=limln(1+x)+xln(1+x)x0=lim(x2+3x1+x)l

8、n(1+x)xx+3=lim(1+x)xx0x0xx+3=limx+1x0x+3=13第八节 函数的连续性 函数连续的定义（）xlimxf(x)=xlim0-x+f(x)=f(x0)间断点的分类（P67）（）第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数f(x)=e2xx<0a+x ，x0应该怎样选择数a，使得f(x)成为在R上的连续函数？【求解示例】f(0-)=e20-=e1=e1f0+=a+0+=a()f(0)=a2由连续函数定义xlim0-f(x)=xlim0+f(x)

9、=f(0)=e a=e第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（）【题型示例】证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】1（建立辅助函数）函数(x)=f(x)-g(x)-C在闭区间a,b上连续；2(a)(b)<0（端点异号）3由零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点，使得()=0，即f()-g()-C=0（0<<1） 4这等式说明方程f(x)=g(x)+C在开区间(a,b)内至少有一个根 第二章 导数与微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（）第2页（共9页）高等数学期末复习资料【题型示例】已知函数f(x)=ex+1 ，x

10、0ax+bx>0在x=0处可导，求a，b【求解示例】f-10f'(0)=e=1，(0-)=e0+1=e0+1=2-ff0+= +'(0)=a()bf(0)=e0+1=22由函数可导定义f-'(0)=f+'(0)=a=1(0)=f(0)=f(0)=b=2f-+a=1,b=2【题型示例】求y=f(x)在x=a处的切线与法线方程 （或：过y=f(x)图像上点a,f(a)处的切线与法线方程） 【求解示例】1y'=f'(x)，y'|x=a=f'(a) 2切线方程：y-f(a)=f'(a)(x-a) 法线方程：y-f(a)=-1

11、f'a(x-a) 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则（） 1线性组合（定理一）：(u±v)'=u'+v' 特别地，当=1时，有(u±v)'=u'±v' 2函数积的求导法则（定理二）：(uv)'=u'v+uv'3函数商的求导法则（定理三）： u'u'v-v=uv'v2第三节 反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）【题型示例】求函数f-1(x)的导数【求解示例】由题可得f(x)为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且f&#

12、39;(x)0；f-1(x)'=1f'x 复合函数的求导法则（）【题型示例】设y=ln(e，求y'【求解示例】解：y'=(e'='ex2+a2' = e =earcsi第四节 高阶导数 f(n)(x)=f(n-1)(x)'（或dny(n-1)y'）dxn=ddxn-1（） 【题型示例】求函数y=ln(1+x)的n阶导数 【求解示例】y'=11+x=(1+x)-1， y''=-1'(1+x)=(-1)(1+x)-2， y'''=-2'(-1)(1+x)=(-1)

13、(-2)(1+x)-3y(n)=(-1)n-1(n-1)！(1+x)-n第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对x求导）（） 【题型示例】试求：方程y=x+ey所给定的曲线C：y=y(x)在点(1-e,1)的切线方程与法线方程【求解示例】由y=x+ey两边对x求导 即y'=x'+(ey)'化简得y'=1+eyy' y'=11-e1=11-e切线方程：y-1=11-e(x-1+e) 法线方程：y-1=-(1-e)(x-1+e)参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程x=(t)d2y=(t)，求ydx2dy'【求解示例

14、】1.dy'(t)d2y dxdx='t2.dx2='t 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dy=f'(x)dx第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 引理（费马引理）（） 罗尔定理（） 【题型示例】现假设函数f(x)在0,上连续，在(0,) 上可导，试证明：(0,)， 使得f()cos+f'()sin=0成立【证明示例】1（建立辅助函数）令(x)=f(x)sinx显然函数(x)在闭区间0,上连续，在开区间(0,)上可导；第3页（共9页）高等数学期末复习资料2又(0)=f(0)s

15、in0=0()=f()sin=0即(0)=()=03由罗尔定理知(0,)，使得f()cos+f'()sin=0成立拉格朗日中值定理（）x【题型示例】证明不等式：当x>1时，e>ex1lnx解：limxlnx=lim=lim=lim'x0x0Lx0'x0x-1 1-2 xxx1=-limx=0ax0(lnx)'（一般地，limx(lnx)=0，其中,R）x0【证明示例】1（建立辅助函数）令函数f(x)=ex，则对x>1，-型（通分构造分式，观察分母） 11显然函数f(x)在闭区间1,x上连续，在开区间(1,x)上可导，并且f'(x)=ex

16、；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex-e1=(x-1)e成立， 又e>e1，ex-e1>(x-1)e1=ex-e，化简得ex>ex，即证得：当x>1时，ex>ex 【题型示例】证明不等式：当x>0时，ln(1+x)<x 【证明示例】1（建立辅助函数）令函数f(x)=ln(1+x)，则对x>0，函数f(x)在闭区间0,x上连续，在开区间(0,)上可导，并且f'(x)=11+x； 2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln(1+x)-ln(1+0)=11+(x-0)成立， 化简得ln(1+x)=11+x，又0,x， f'(

17、)=11+<1，ln(1+x)<1x=x， 即证得：当x>1时，ex>ex第二节 罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（00,）且满足条件， 则进行运算：limf(x)f'(x)xagx=limxag'x （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：limxx0lnx【求解示例】【题型示例】求值：limx0sinx-x【求解示例】解：lim1

18、1x-sinxxx0 sinx-x=limx0 xsinx=limx0 -sinxx200=0(x-sinx)'L'limx0=lim1-cosx(1-cosx)'sinx(x2)'x02x=L'limx0(=lim=02x)'x0200型（对数求极限法） 【题型示例】求值：limxx0x【求解示例】解：设y=xx,两边取对数得：lny=lnxx=xlnx=lnxx对对数取x0时的极限：limlnx(lnx)'x0(lny)=limx01=L'limx0x 1'x1=lim=-limx=0，从而有limy=limelny=

19、elimx0lnyx0-x0x0x0=e0=1x2 1型（对数求极限法）1【题型示例】求值：limxx0(cosx+sinx)【求解示例】解：令y=(cosx+sinx)1x,两边取对数得lny=ln(cosx+sinx)x,对lny求x0时的极限，limln(cosx+sinx)x0lny=limx0x=0ln(cosx+sinx)'cosx-sinx1-0L'limx0(=limx)'x0cosx+sinx=1+0=1,从而可得limy=limelny=exlim0lnyx0x0=e1=e0型（对数求极限法）tanx【题型示例】求值：lim1x0 x【求解示例】第4

20、页（共9页）高等数学期末复习资料1解：令y= xtanx1,两边取对数得lny=tanxln ,x1对lny求x0时的极限，limlny=limtanxln x0x0x1' lnx)(lnx=-lim=-lim=-lim2x0x01L'x0secx'1- 2tanxtanxtanxsin2x)'(sinx2sinxcosx=lim=lim=lim=0,x0x0xL'x0x'121-1<0，（x>0） 1+x(x)<(0)=02'(x)=3既证：当x>0时，ln(1+x)<x连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论

21、函数y=1+3x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】2y'=-3x+6x=-3x(x-2) 1 ''y=-6x+6=-6(x-1)x1=0,x2=2y'=-3x(x-2)=02令解得：x=1''y=-6x-1=0()从而可得limy=limelny=ex0x0x0limlny=e0=1运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）0000(2)(1)(3)-010通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） 取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性

22、和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间）（） 【题型示例】试确定函数f(x)=2x-9x+12x-3的324函数y=1+3x-x单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-,0),(2,+)；函数y=1+3x2-x3的极小值在x=0时取到，为f(0)=1，极大值在x=2时取到，为f(2)=5；函数y=1+3x-x在区间(-,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,+)上凸； 函数y=1+3x2-x3的拐点坐标为(1,3)第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系（）设函数f(x)的定义域为D，如果xM的某个邻域U(xM)D，使得对xU(xM)，都适合不等式f(x

23、)<f(xM)，我们则称函数f(x)在点xM,f(xM)处有极大值f(xM)；令xMxM1,xM2,xM3,.,xMn则函数f(x)在闭区间a,b上的最大值M满足：单调区间【求解示例】1函数f(x)在其定义域R上连续，且可导 f'(x)=6x-18x+122232令f'(xx(-1x)(-2=)0)=6，解得：x1=1,x2=24函数fx的单调递增区间为-,1,2,+； 单调递减区间为(1,2)x【题型示例】证明：当x>0时，e>x+1 【证明示例】1（构建辅助函数）设(x)=e-x-1，（x>0）x2'(x)=e-1>0，（x>0）

24、x(x)>(0)=03既证：当x>0时，e>x+1【题型示例】证明：当x>0时，ln(1+x)<x 【证明示例】1（构建辅助函数）设(x)=ln(1+x)-x，（x>0）xM=maxf(a),xM1,xM2,xM3,.,xMn,f(b)；设函数f(x)的定义域为D，如果xm的某个邻域U(xm)D，使得对xU(xm)，都适合不等式f(x)>f(xm)，我们则称函数f(x)在点xm,f(xm)处有极小值第5页（共9页）高等数学期末复习资料f(xm)；令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn则函数f(x)在闭区间a,b上的最小值m满足：(x)'(x)

25、dx=f(x)d(x)f【题型示例】求1a2+x2m=minf(a),xm1,xm2,xm3,.,xmn,f(b)；【题型示例】求函数f(x)=3x-x3在-1,3上的最值 【求解示例】1函数f(x)在其定义域-1,3上连续，且可导 f'(x)=-3x2+32令f'(x)=-3(x-1)(x+1)=0， 解得：x1=-1,x2=14又f-1=-2,f1=2,f3=-18 f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-18 第六节 函数图形的描绘（不作要求）第七节 曲率（不作要求）第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质 原函数与

26、不定积分的概念（） 原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函数为F'(x)，即当自变量xI时，有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，则称F(x)为f(x)的一个原函数原函数存在定理：（）如果函数f(x)在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F(x)使得F'(x)=f(x)，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为：f(x)dx=F(x)+C（称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x则称为

27、积分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1f(x)+k2g(x)dx=k1f(x)dx+k2g(x)dx 第二节 换元积分法第一类换元法（凑微分）（） （dy=f'(x)dx的逆向应用）【求解示例】1a2+x2=112=12d x1x1+ xaa1+ xa=aarctana+Ca【题型示例】求【求解示例】1=2(2x+1)=(2x+1)=C第二类换元法（去根式）（）（dy=f'(x)dx的正向应用）对于一次根式（a0,bR）：t=，于是x=t2-ba， 则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a>0）：x=atant（-2<t<2）， 于

28、是t=arctanxa，则原式可化为asect；对于根号下平方差的形式（a>0）：ax=asint（-2<t<2），于是t=arcsinxa，则原式可化为acost；bx=asect（0<t<2），于是t=arccosax，则原式可化为atant；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】t1x=22t-2ttdt=dt=t+C=Cdx=tdt【题型示例】求（三角换元）【求解示例】t(-x=asin2<t<2)t=arcsinxa2cos2tdt=a22(1+cos2t)dtdx=acosat=a22 t+12sin2t+C=a22(t+sintcost

29、)+C第三节 分部积分法 分部积分法（）设函数u=f(x)，v=g(x)具有连续导数，则其第6页（共9页）高等数学期末复习资料分部积分公式可表示为：udv=uv-vdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” 为一次因式(x-a)；而另一个多项式可以表示为2k(2)l运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： 遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； 就近凑微分：（v'dx=dv） 使用分部积分公式：udv=uv-vdu 展开尾项vdu=vu'dx，判断a若vu'dx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出

30、结果）； b若vu'dx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数Cexx2dx解：exx2dx=x2exdx=x2dex=x2ex-exd(x2)=x2ex-2xexdx=x2ex-2xd(ex)=x2ex-2xex+2exdx=x2ex-2xex+2ex+Cexsinxdx解：exsinxdx=-exd(cosx)=-excosx+cosxd(ex)=-excosx+excosxdx=-excosx+exd(sinx)=-excosx+exsinx-sinxd(ex)=-exco

31、sx+exsinx-exsinxdx即：exsinxdx=-excosx+exsinx-sinxd(ex)exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C 第四节 有理函数的不定积分 有理函数（）设：P(x)p(x)=am0x+am-11x+Qx=amqx=bnn-10x+b1x+bn对于有理函数P(x)Qx，当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，有理函数P(x)Qx是真分式；当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，有理函数P(x)Qx是假分式有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数P(x)Qx的分母Q(x)分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示二次质因式x+p

32、x+q，（p-4q<0）； 即：Q(x)=Q1(x)Q2(x)一般地：mx+n=m nx+m，则参数a=-nm ax2+bx+c=abcx2+ax+a则参数p=ba,q=ca则设有理函数P(x)Qx的分拆和式为：P(x)P(x)P2(Qx=1x)(x-a)k+( x2+px+q)l其中P1(x)(x-a)k=A1A2Akx-a+(x-a)2+.+(x-a)kP2(x)N1M2x+N(x2+px+q)l=M1x+x2+px+q+2(x2+px+q)2+.+Mlx+Nl(x2+px+q)l参数AAM1M2Ml1,A2,.,k,N,1N,.,2N由待定系l数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分

33、即可求解【题型示例】求x2x+1dx（构造法） 【求解示例】x2(x+1)x-(x+1)+1x+1=x+1dx= x-1+1x+1dx=xdx-dx+11x+1dx=2x2-x+ln(x+1)+C第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 定积分的定义（）bnaf(x)dx=lim0f(i)xi=Ii=1（f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，a,b称为积分区间）定积分的性质（） bf(x)dx=baaf(u)du第7页（共9页）【题型示例】求【求解示例】【题型示例】求【求解示例】高等数学期末复

34、习资料f(x)dx=0 kf(x)dx=kf(x)dxababaa（线性性质）f(x)'(x)dx=af(x)d(x)21dx 【题型示例】求02x+1bbabak1f(x)+k2g(x)dx=k1af(x)dx+k2ag(x)dx（积分区间的可加性）bb【求解示例】解：baf(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaccb若函数f(x)在积分区间a,b上满足f(x)>0，211211dx=d(2x+1)=ln2x+1002x+1202x+121ln5=ln5-ln1=222（第二换元法）则baf(x)dx>0；（推论一）若函数f(x)、函数g(x)在积分区间a,b上满足f(x)g(x)，则bf(x)dxbaag(x)dx；（推论二）bf(x)dxbaaf(x)积