高等数学模拟试题(二)标准答案及评分标准

1、内蒙古农业大学农科高等数学模拟试卷（二）参考答案与评分标准一、选择填空题（每小题3分，共15分）1. 若x 0时ax 2+ bx +c 与14x +1同阶，则a , b , c 的值为（ C ）A. a , b , c 任意 B.a =0, b , c 任意 C.a =0, b 0, c 任意 D.a =0, b =8, c =12. 设f (x =3-exx 2x >2，则f f (x =（ D ） 1A2 B. 3-e 2 C. 4 D. 1设z =f (x , y 是由方程F (x +az , y -bz =0所定义的隐函数，F (u , v 可微，a , b 为常数，则必有（ B

2、 ） af f x +b y =-1 B.a f x -b f y =-1 C.b f f f f x +a y =-1 D.b x -a y=-1 x >0设，f (x =则在x =0处（ D ）1-2x 0A 无定义 B. 连续但不可导 C. 可导 D. . 极限存在5设I =2d 42sin rf (r cos , r sin dr ，则在直角坐标系下的二次积分为（ C ）1dx x , y dy B. 1xxf (0dx 1f (x , y dy 3. A. 4 AC.dy 1yf (x , y dx +dy 12f (x , y dx D. 0dy y1f (x , y dx

3、x二、填空题（每小题3分，共15分）11设f (x = ，则当x 时，极限为32. 更换积分次序不存在x 304.1dy 4-y 23yf (x , y dx =dx f (x , y dy +dx 0330f (x , y dy .3. 设y =f (x 在x =0处的切线方程为x -2y =1，则y =f (x 在x =0处自变量增量x =0.04的微分dy =0.02.4设对任意的实数x 都有f (-x =-f (x ，且f '(2=1，则f '(-2 =21.5 若dt =cos 2x -e +e 4, 则 f (x =x1(2sin2x +e x 22x.三、判断题（

4、每小题3分，共15分）1设f (x +y +f (x -y =2f (x f (y 对一切x , y 都成立，且f (x 0，则f (x 是偶函数. （ ）1x sin2设f (x =x1sin x，g (x =xx =00x 0x 0x =0，则f (x +g (x 在x =0处连续. （ ） 3设y =f (x 是微分方程y ''-2y '+4y =0的解，且f (x 0 <0, f '(x 0 =0，则f (x 在x 0处取得极大值. （ × ）x 2-14函数f (x =有两个间断点. ( x (x +1 5y =Ce 2x 是y 

5、9;=2y 的通解. ( 四、计算题（每小题8分，共48分）1-cos(x 2+y 2 1求极限lim . 2x 0xy y 0122(x +y 1-cos(x +y 解：lim 7分 =lim 22x 0x 0xy xy y 0y 022x 4+2x 2y 2+y 4=lim 2x 02xy y 0=0 8分2求方程(x +2xy -y dx =(y +2xy -x dy ，当y 解： (x 2+2xy -y 2 dx =(y 2+2xy -x 2 dy2222x =1=1的解.y y 1+2- 22dy x +2xy -y x x =222dx y +2xy -x y y +2-1 x x

6、 令u =2yxy =xu ,dy du =u +x 4分 dx dxdu 1+2u -u 2du 1+2u -u 2-u 3-3u 2+3u +1=-u = x u +xdx u 2+2u -1dx u 2+2u -1u 2+2u -1(u 2+2u -1 du dx= 6分 3-u -3u 2+3u +1x 11d (-u 3-3u 2+3u +1 dx 32-ln(-u -3u +3u +1 =ln x +C 1 = -3233-u -3u +3u +1xC y 3y 2y C -u -3u +3u +1=3 -3-32+3+1=3x x x x x32 -y 3-3xy 2+3x 2y

7、 +x 3=C 由yx =1=1 C =0特解为 -y 3-3xy 2+3x 2y +x 3=0. 8分 3. 设z =(1+xy ，求yz z , . x y解：z=y (1+xy y -1y =y 2(1+xy y -1 4分 xz xy y ln(1+xy 'y ln(1+xy =e =e ln(1+xy + 8分 y 1+xy 2x0x 0x 1，求g (x =f (t dt 的表达式.-2其它4. 设f (x =解：x <0时，f (x =0 g (x =0 2分 0x <1时，f (x =2x g (x =xx-2f (x dx =2tdt =x 2 5分0x

8、1xx 1时，g (x =f (x dx =0dt +2tdt +0dt 7分-2-21=1 8分2z5. 设z =f (x -y , xy ，求.x y22解：令u =x -y , v =xy22z=2xf u +yf v 4分 x2z =2x (-2yf uu +xf uv +f v +y (-2yf vu +xf vv 8分x y6. 求积分140dy dx +dy e dx 的值. yy x121412yy x解：D =(x , y y x 1111y (x , y y x , y 42421 2分 2120xy x=(x , y x 2y x ,0x 140dy dx +dy e dx =dx x 2e dy 6分yy x121412yy x=120(ex -xe x dx 7分111=e +e 2-1 8分82五、证明题（7分）22设z =yf (x -y ，其中f 为可微函数，证明：1z 1z z+=2. x x y y y证明：z=2xyf '(x 2-y 2 3分