数值分析报告上机题3

1、数值分析上机题目3实验一1. 根据Matlab语言特点，描述 Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2. 编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和 SOR迭代法的 M文件。3给定AR20 20为五对角矩阵312412321412314121214312141231214123(1)选取不同的初始向量 x(0)及右端面项向量b,给定迭代误差要求，分别用编写的 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。用编写的SOR迭代法程序，对于(1)所选取的初始向量 x(0)及

2、右端面项向量b进行求解,松驰系数3取1<3 <2的不同值，在 x(k) x(k 1)10 5时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。实验11、根据MATLAB 语言特点，描述 Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2、编写Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和 SOR迭代法的 M文件。Jacobi迭代法 function x1,k=GS_2(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;whi

3、le n orm(x1-x0,1)>10A(-7 )&k<100k=k+1;x0=x1;x1=D(L+U)*x0+b);endk=kx=x1Gauss-Seidel 迭代法function x1,k=GS_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;while n orm(x1-x0,1)>10A(-7 )&k<100k=k+1;x0=x1;x1=(D-L)U*x0-Db;endk=k x=x1SOR 迭代法fu

4、nction x1,k=SOR_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;w=0.96;while n orm(x1-x0,1)>10A(-7 )&k<100k=k+1;x0=x1;x1=(D-w*U)(1-w)*D+w*L)*x0+w*b);endk=kx=x13、采用Jacobi迭代法，Gauss-Seide迭代法求解五对角矩阵clear,clcA=diag(3*ones(20,1)+diag(-0.5)*ones(19,1),

5、-1)+diag(-0.5)*ones(19,1),1)+diag(-0.25)*ones(18,1),-2)+diag(-0.25)*ones(18,1),2);b=sum(A')'x1,k1=Jacob_h(A,b)x2,k2=GS_h(A,b)运行结果：两种方法都收敛，k仁27,k2=13。说明Gauss-Seidel迭代速度比Jacobi迭代速率快4、采用 SOR 迭代法程序对五对角矩阵进行求解clear,clcA=diag(3*ones(20,1)+diag(-0.5)*ones(19,1),-1)+diag(-0.5)*ones(19,1 ),1)+diag(-0.

6、25)*ones(18,1),-2)+diag(-0.25)*ones(18,1),2);b=sum(A')'x3,k3=SOR_h(A,b)运行结果 当 w=0.5 时，k3=53，当 w=0.96 时，k3=19，当 w=1.1 时，k3=14，当 w=1.5 时, k3=33。该结果说明，当w选取合适时，可以大大加快运算速率。实验二题目：多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过 实验的观察和测量给出离散的一些点， 再来求出具体的函数解析式。又因为测量 误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。最小二乘法是求

7、解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。数学原理:对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,，n)，设函数分布为my(x)aj j(x)(j=0, 1,m)特别的，取j(x)为多项式j(x) xj则根据最小二乘法原理，可以构造泛函H (a°,ai, ,am)令H0ak则可以得到法方程(0,0) (1,0)(0,1)(1,1)(0,m)(1 , m)求该解方程组，则可以得到解a。(k=0, 1，m)nm(fiaj j(xj)i 1j 0(m ,0 )a°(f,0)(m ,1)a(f,1)(m ,m)am(f,m)ai, ,am，因此可得到数据的最小

8、二乘解f(x) aj j(x)j o程序设计：编写求解多项式拟合的 Matlab函数子程序 实验要求：用最小二乘法处理下面的实验数据.xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出f(x)的近似分布图分别采用一次，二次、五次和偶数次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项 式，并分别作出它们的曲线图。实验2clcclearn=i nput('请输入多项式拟合次数：');syms tfor i=1: nf(i)=tA(i)；endx=3 4 5 6 7 8 9'y=2.01 2.983.505.025.476.027.05'm=le

9、 ngth(x);for i=1:mfor j=1: nhs=i nli ne(f(j),'t');A(i,j)=hs(x(i);end endh=ones(m,1);A=h A;A1=A'*A;y1=A'*y;x1=A1y1;f=0;for i=1:n+1f=f+x1(i)*t A(i-1);endplot(x,y,'*');hold onx1=flipud(x1);x2=linspace(min(x),max(x);y2=polyval(x1,x2);tt=poly2str(x1,'x')text(5,7,0, tt)plot

10、(x2,y2)实验三实验名称：非线性方程组数值求解的Newt on类方法试验。实验目的：用Newt on类方法求解线性方程组F（x）=0,理解其解的复杂性、 初始点选择策略、减少算法工作量的方法等。实验容与要求：分别用Newt on法用Broyde n秩1校正法求解下面非线性方程组3% cos(x2x3) 0.5 02Xi81区0.1)2 sinx3 1.060e経20x31-(103)03（1）写出MATLAB源代码；（2）给出迭代五次以上的结果；（3）尝试不同的初值，如可取(0.1,0.1, 0.1)；4) 计算两种方法的用时。实验 31、2、采用Newt on法clear,clcx0=0

11、,0,0'y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0y0;k=1;format longwhile n orm(x1-x0,1)>10A(-5) & k<100k=k+1;x0=x1;y0=f(x0);yy0=df(x0);x1=x0-yy0y0;endx=x1k=k运行结果：x=0.499997120040332-0.007962547035047-0.52379823491238345Broyden 秩 1 法clear,clcx0=0,0,0'y0=f(x0);A0=df(x0);x1=x0-A0y0;y1=f(x1);k=1;form

12、at longwhile n orm(x1-x0,1)>10A(-2) & k<100000k=k+1;g=y1-y0;y=x1-x0;A1=A0+(g-A0*y)/(y'*y)*y'x0=x1;x1=x0-A1y1;A0=A1;y0=f(x0);y1=f(x1);endx=x1k=k运行结果，0.499997036123973-0.008051039053592-0.523800456021240k =3. 尝试不同初值。x0=0.1,0.1,0.1采用Newt on法0.499997123882459-0.007958473536348-0.52379813267084868B