数值分析报告课后问题详解

1、第一章绪论本章的学习要求(1) 会求有效数字。(2) 会求函数的误差及误差限。(3) 能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式(1)绝对误差：设 x为精确值，x为x的一个近似值，称 e：=x”-X为x的绝对误差。(2)相对误差:(3)绝对误差限:e*(4)相对误差限:x x(5) 元函数的绝对误差限：设一元函数(6)元函数的相对误差限:(7)二元函数的绝对误差限:设一元函数 f x, y二0,则；1疋y丿；y 。(8)二元函数的相对误差限:三本章习题解析1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别X 片估计A及A2=的相对误差限。Xi =1.102

2、1,X2 =0.031,X3 =3856x4 =56.430解：（1） X1有5位有效数字，X2有2位有效数字，X3有4位有效数字，X4有5位有效 数字。（2）A =曲2禺凸=x2x3，夬订x3,刍订x2,由题可知：A”为A的近似值，X1 , X2 X 分别为X1, X2,X3近似值。1X1 X2 X3次1次2次3= 0.215x2 x3110 x/x/-10“ x1x/ 110JIL222X2，X4 为 X2，丄，刍同理有傀”为A2的近似值,X4 ' &4（X4 ）X4的近似值，代入相对误差限公式:* 欽A；）£A2&X4X；JXLX:丁予宀102.正方形的

3、边长大约为 100cm,怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?解：设正方形的边长为X，则面积为s =x2，dT2x，在这里设X为边长的近似值,面积的近似值：由题可知:Idx丿即：2x” ； x空1推出:1X 试 0.005cm。3.测得某房间长约L”=4.32m,宽约为d =3.12m，且长与宽的误差限均为0.01m，试问房解:4.解:相对误差限为：；r s”二F列公式如何计算才比较准确:(2)(3)S0.0744.0.0055。当x的绝对值充分小时，计算当N的绝对值充分大时,当X的绝对值充分大时,(1 )当 XT 0时,2xe -12计算计算(2)当Nt处时,4.32 3.122xe；2

4、，-2x2xe -1 e 14xe -1r Xx 3x_xe e -e2x X XX、X/ X_x r2 e 12e e e 2e e e3x_x.e e e e e12dx = argtgx1 X2x 2x-2xN 1= argtg(N 十1 )_argtgN N间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？/SrS设s=ld则有： =d ,兰=1。在这里I； d ，S分别为I , d，s的近似值: £cdl"-d ”；|； d =3.12 0.01 4.32 0.01 =0.0744cm2=argtg1 N N 1当XT畑时,X ：一x£(x 1X；5. 列&

5、#163; 满足递推关系yn=10yn1-1， n=1,2,，若y0 = ；2 ： 1.41，计算到y10时误差有多大？这个计算数值稳定吗?，则有:解：已知准确值y()= J2，近似值y0 =1.41，设他们的误差为& =y1 y, =(i°y0i)pi°y0=100一丫0讥0*2= y2_y?= (10y1-门-(敗-)=100以此类推所以0 =10_%0=叫-1)"1"°。； 010=10 y。-y°=1010010I=10 721.41 兰1010 1-2 1 82 10 匕 106.计算f =(72-1 6，取421.

6、4 ,直接计算和用1来计算，哪一个最好?(3+242.)解：依题意构造函数 f x = x1 ”，贝y f 1 x =65x -1，由绝对误差公式(广)=f (xV(x=6x(1.41 *V21.4=6X0.0124X1X10=0.0030727.求二次方程x2-16x+仁0的较小正根，要求有 3位有效数字。解:由求根公式：x二一16 4。所以。 x1=8+J63, x2=8-J63对比可知:较小的根为x2=863，由相近数相减原理则有:： 8. 63 8 - ： 63x2 =8 - 63 =0.06278638.如果利用四位函数表计算 1 - cos20,试用不同方法计算并比较结果的误差。解

7、:1 - cos2° ： 1 - 0.994 =0.006.2 0 26.092 10*“ 卫 sin 20.03491 -cos201+cos2 1.9949.设x的相对误差限为3,求 x100的相对误差限。解：由题意可知：设 f x =x100, 则有f' (x尸100X99在这里设为X的近似值，广 为f的近似值，由已知 x的相对误差限为、：。所以：；f”f11厂x匚J 100(X99（x（貯）叫100； x= 100、.10.已知三角形面积S=；absinc,其中c为弧度，满足0<c<，且a,b,c,的误差分别为2.：bbc解：由误差定义：蜃<|Aa|

8、 +|Ab| +cscc证明面积误差 as满足abcosc，代入上式可得:|- .c，又因为：=-bsinc，一Sca 21asinc:b 2：s 1:c 2As <1bsin c|Aa| +1 a sin c|Ab +1一 ab cosc222两边同除以s可得:1bs inc|1 absi n(21asinc2abs inc2Ababcosc2-abs inc2约分可得:成立。所以命题n "亠因为：0<c< 则有：tgc>c>0.，2第二章插值法本章的学习要求(1 )会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。(2) 会应用插值余项求节点数。(3) 会

9、应用均差的性质。本章应掌握的重点公式()线性插值：L1 x = l0 x y0 l1 x y1。(2)抛物插值：L1 x = l0 x y0 li x y! l2 x y2。n(3) n 次插值：Ln xlk x yk。k J0、f鋼(4) 拉格朗日插值余项：Rn x = f x；-Ln x =n 1 x 。n +1!(5) 牛顿插值公式：NX = fxof k,xi! X-Xof仪0必Xn X-XoX-XiX-Xn4。(6)(7)Xo,Xi,XnLaXXo XXiXXj X Xj.iX Xn(8)牛顿插值余项：Rn x = f X - Nn X 二 fxo, Xi Xn ! 'n 1

10、 X 。三本章习题解析1.给定 （x, f（X ）的一系列离散点（1, 0）, （2, 5）, （3, 6）, （ 4, 3），试求 Lagrange插值多项试。解：设所求插值多项式为 p x =l3 X =|0 x y 11 x y J 2 x y，且已知:Xo=1，y°=0,X1=2，y1=-5，X2=3，= -6,X3=4，y3=3，代入插值基函数公式：可得：xx-X1 x-X2 X-X3= X- 试用Newton插值公式求一个三次插值多项式n3 X，并由此求f 0.5的近似值。 x-3 x-X0=0, y° 一-7，人=1，y1-4,X2=22=5，X3=3,y 2

11、6。则X。X1X。X2 X0 X312解：(1) n=3,取0.5附近的4个点为宜。故取，,xX-X0 X-X2 X-X3= X" x-3 x-411 X -（X1 X。XX1 X2 ）（X1 X3）（仆-化-2 ）,xX-X0 X-X1X-X3= x-1 x-2 x-41 2 x（X2X0 XX2 X1 ）（X2 X3 ）（玄1 沢1 ）化简代入p x得：p x =x3-4xL3 X i=|0 x y l1 x y l2 x y，按照习题1求出插值基函数。代入L3 X。2.若 f X =2x6 -3x5 X31，求 f30,3ll36，f 30,3|37。解：由 f 6 x =2

12、6!,所以：f 6=26!，f 7x=f 7i：l： 0.由均差的性质（三）可知:30,3|36 二学2 6!6!f 30,3|37 =七厂07!=03.给定函数表Xi012345f（X-7-452665128(1) 试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式山X，并由此求f 0.5的近似值。可得：L3 x ;=x3 2x _7，所以:f 05 . q2 1 -5.875(2)设牛顿插值多项式为N3 X 二f Xo f |IXo，Xi x -Xo f|X，XiX x-Xo x-Xif |IXo，Xi，X2，X3 X Xo X X1 x X2，列差商表:yi一阶插商二阶插商三阶插商0-71-

13、4325933262161所以：N3 X = -7 3 x -o3 x-o x-1|亠 Ix-o x-1 x-2 = x3 2x - 7 =-5.875n kk4.设Xj为互异节点（j=o,1,2,n ）求证：7 Xj| j x三X，k=o,1,2,，n其中i j xj=o为n次插值基函数。证明：根据题意：设f x = x*，所以有y = f x j - x j，结合上式所以有：nnn' xjl j x 八 f Xj 1 j x 八 l j x y =Ln Xj，j 0j =0j ：0由余项定理可知：f xj =Ln Xj Rn Xj，且由定理二可知，当0乞j乞n时，尺xj =0所以就

14、有f Xj二Ln Xj二Xjk。在这里令变量Xj =X，所以命题:nj =0，成立。E(b_a $ max fII (x )。8a童至5.设 f X c2 l.a,b 1且 f a i= f b ；=0 ,求证：max f xu'a : x: b证明：由题可知：x0 = a,y0 = 0, x b, = 0，故可构造线性插值多项式即为下式:L1 X =lo X f Xo l1 x f X1，记为（"式，因为f x =L1 X R1 X，记为（2）式，其中R X ：严x-a x-b，记为（3） 式，将（1） （3）代入（2）整理：6.若iix _bx -af (-)f x &q

15、uot;L1 XR1 x =Jb f af bR1厂 x-a xbx-a所以:f X = 2!II入，可推出：f（X»WX,f&(b-a.2!4f ManXn -anjXnJx -a x -b1再放缩得 max f(x$ 兰一(ba max f" (xa尘申 8a空II-aix ao有n个不同实零点捲，x?,川Xn,证明：kXj0,0 乞 k 乞 n 2 f Xjan,k 二n"证明：由题可知：f x有n个不同实零点，故 f x还可以表示成根形式的多项式，即:f X =an X1X -X2 IH X - Xn ；由导数的定义可知：f. f x -f Xjf

16、 Xj 吧 xXj二呗总广呗乩八“ X-X2 X-X2 X-xX-Xnan x X1 x X2Xj Xjx Xj1x xn在此设：X = xk -kXjIf Xj丄 nan 7 Xj X1Xj -XjA XjXj1Xj -Xnn1_ 1，记为（1）式a： xx Xn首冇1当 k=n1 时，如 °（x）=（ n T J，则（1）变为一；ax当0 乞n-2，则（1）式变为0,综上所述：nxk0,0 Ek 乞 n2'、Xj *j 土，k = n Tjf xan,7.给定函数表Xi-2-10123f (Xj )-5111725已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出

17、这个多项式。解：用牛顿法：N X =f Xo !亠 f lx0,x X x0 !亠 f lx0,x1,x2J x-x0 x-片 +f I.Xo,X1,X2,X3,X4,xJ Xg x _x X-X2 X-X3 X-X4 ，列插商表:Xif区）一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-311001276310325186100N X 严5 6(x 2) -3(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)(x-0)=x3 -x 1，为三次。8.对函数f x ， g x及任意常数a,b,证明:af x bg x J X 0, XiXn I = af Ro , Xi,Xn I * b

18、g xo , Xi ,，'，Xn 。证明：由高等数学的知识，我们构造函数F X二af x bg x，于是就有下式成立:af x bg x jxo,Xi, xJ-F x %必，各 1n=zj- Xj -Xo XjF(Xj)X1Xj -Xj 丄 Xj-Xj 1 Xj-Xnaf Xj bg Xj心 XjXo XjX1XjXj 丄 XjXj1XjXn由分式法则:f Xjnb"j =0g Xjna'，j - Xj -XoXjX1XjXj 1XjXj1 XjXn v XjXoXjX1XjX2 XjXj 1XjXn=af lo ,X1 x 1 bg ko,X1，Xn 1,所以命题成

19、立。10.给定函数表Xi0.00.20.40.60.8f (Xi )1.000001.221401.491821.822122.22554试分别用Newt on前插值公式和Newt on后插值公式计算 f 0.05的近似值。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入 Newt on前插值公式和Newt on后插值公式可得 f 0.05 =1.05126.11. 右要给出f(X)_COSX， x0,卫 的一张按等距步长 h分布的函数表，并按线性插值计IL 2算任何x 0王I的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过

20、22104。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出h < 0.02。12. 设f (x庐C2H2 Ia,b】，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项f2n卡匕2R X 二 f X -H2n1 x" X。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。13. 求不超过3次的多项式H X，使其满足H -1 =9, H I -1 =15, H 1 =1, H 1 - -1。分析：基于

21、本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，设所求多项式为：h x二aoa1Xa3X2a3X3,代入条件，即可求得：H x = x3 -4x2 4x。14. 求不超过4次的多项式P X，使其满足 P 0 = P' 0=0, P1=P 1=1,P 2 =1。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析p x = a0 ' a1x a2x2 a3x3 a4x4,代入条件，即可求得：p x =x2 x-32。15.给定函数表Xi0123f(X )00.521.5(1)

22、 在边界条件f1 0 =0.2 , f1 3=1下求三次样条插值函数S X ；(2) 在边界条件f"(0)=_0.3，f"(3)=3.3下求三次样条插值函数S(X卜分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。0.48x3 -0.18x2 +0.2x,x 10,1 |32结果为：(1)s(x) = <1.04(x1)+1.25 (x1 ) +1.28(x1)+0.5,xEl,232.10.68 x -2 ； -1.86 x -20.68 x -22.0,x：二 |2,3

23、 1I0.5x3 -0.15x2 0.15x,1.0,1 132(2) s x - -1.2 x-11.35 x -11.35 x-10.5,x：= 1,21.3 x-2 -2.25 x-20.45 x-22, 12,3 第三章函数逼近及最小二乘法一本章的学习要求(1) 会用最小二乘法求拟合曲线。(2) 会将非线性函数转化成线性函数。二本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：nn二0 八0 t0 ti，= S0 八°ti ti ，i7nr1 八i r ti 1 ti，i兰nn° ti yi，ti yi。三本章习题解析1.设© °(x )冲X )忙4(X卜是

24、区间0,1上带权P (x)=x的最高项系数为1的正交多1项式序列，其中' o X =1，求k x dx及行x和' 2 X 。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣工11 丄k = 0n的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x'xdx»2，k 0 ；' X =x-2；L0k1X /o|0,k 式032X *63x5102.判断函数二x =1, T ix =x,，-，在I -1,1上带权' i x =1正交，并求3 3(x )使其在-1，1上带权P(x)=1与化(x), * 3, * 2(x)正交。分

25、析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：X3 _3X。53. 证明：若函数组© o（x）,© Jx ”4 n Jx ）是在a,b上带权P（x ）正交的函数组，贝U叫（X艸1（X ）'4n 1（X ）必然是线性无关的函数组。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行证明。4. 已知点列X。- -2 ,xi- -1 ,x2= 0 ,x3= 1 ,x4= 2 及权函数门 |% = 0.5, ' I X =X =X3 =1,门i x

26、4 =1.5，利用公式（47）和（4 8）构造对应的正交多项式 Po X , 口 X , P2 X。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为2Po X "， P! X =X_5，一土 x，-46115.515Xi01234yi1.003.856.509.3512.05P2 X=X5.已知数据表求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：y=a° wx，这里 m = 4 , n=1 , ox=1, 】x=x ,44仲 0化）=送伴 o（Xi o（Xi）=5，仲 0° 1 E

27、1* 0）=送 5° o（Xi $ 1（xJ=10，1j=011i44（化中 1 ）=无 P 1（Xi 沪 1（Xi 戶30，仲 of）吃种 o（Xi “ =32.75，'i=07化f电化（xp®,所以可得到以下方程组：鑑；：卜卷；5解得：ao =1.03,=2.76，所以所求方程为 y =1.03 2.76x。6.已知数据表Xi12345678yi33455667求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为：y =a0 a1X，这里 m = 7，n =1，。X；=1，1 X yX，77 0 Xi 0 Xi 二8， 1 八 10 八 0 Xi 1 Xi 二3

28、6，i =0777i1 Xii Xi = 285， n心° x yi =41，8, 36 曲。/41：36,285a1!2®i _07 7y = 2.22 0.95x。打f 八.，Xi y =216，所以可得到以下方程组: ,7八解得：30 =2.22，a0.95，所以所求方程为:7.某发射源的发射强度公式为I = I0：t，现测得|与t的一组数据如下表ti0.20.30.40.50.60.70.8li3.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数|0和的值。解：先将I =loeF线性化，即两边取以10为底的对数，变为Iglg |

29、0 a|g；，设yrlg： Alg10，Aa|ge，所以上式变为=人0 2衫。这里m = 7，n=1，7”0（x 尸，* 1（x）=x，代入公式得：仲 0*0 ）=迟们化（Xi）°0（Xi）=8，i=077<*0*X*1*® 化（Xi1（Xi ）=3.5，3 1*1）=三3 ®1（XiW1（Xi 产2.03，77仲 0f 尸迟们 i*3xi）yi =0.8638，仲 J ）=% i化（Xi Wi =0.08062，i =0i =0所以可得到以下方程组8, 3.5暑。8638 I,解得：傀".08777，3.5,2.03 一 A 一 0.08062

30、一A ： -0.04618，相应的 I。: 5.64, a : 2.89。8.试用最小二乘法根据以下数据表Xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求y =aebx的最小二乘拟合曲线。解：先将y =aebx线性化，即两边取以10为底的对数，变为lg ' = lg blge x，设y = lg y , eAo = lg -'， Ai = b Ig ，所以原式变为：丫 二 Ao Ax。这里 m = 4，n = 1，4 ,：=i，1 x二x，代入公式得八,=Xi "o Xi =5，i 244(*0*X*理 o )=头 e o(X

31、i 步 1 (Xi )=7.5，(* 1* 1 戶迟 a i* i(Xi P 1(Xi i875，i兰i47W°f )=瓦伸 0(Xi Wi=33.33，伸 f 戶迟们 Q 1(Xi )yi =51.2275，所以可以得到以下方程组：|5,7.5| A°= 33.33 I,解得：厲=3 708，1(7.5,11.875 | A11(51.22750 5056 xA =1.972，代回求得，a - 3.071, b = 0.5056,故方程为 y=3.071e，9.用最小二乘法求形如 y =a bx2的经验公式，使它拟合以下数据。Xi1925313844yi19.032.34

32、9.073.397.8解：先将y二a bx2线性化，设 X =x2，则原式变为 y = a bX，这里m = 4， n = 1，4"戸，* 1（X）二X，代入公式得仲0化）=送皿0仗化仗）=5，'i =044（化°1）=y °）=送化/化氐）=5327，（° »1戶迟怕出仗丸仗戸277699，''i z0'i z044伸 0f 戶皿冲 0（Xi）yi=271.4，（* 巴戶头化（Xi 九（Xi ）=369321.5，i 0所以可以得到以下方程组: 5,5327門=；271.4 15327,7277699占一占69

33、321.5_解得：a =0.05004，b =0.97258，所求方程为：y =0.97258 0.05004X2。第四章数值积分和数值微分本章的学习要求(1) 会求各种插值型求积公式。(2) 会应用求积公式分析代数精度。(3) 掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。(4) 掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。本章应掌握的重点公式(2)辛甫生公式:(1)梯形公式:f x dxb -a2_f a f b 。af xdx:詈f a 4f f b。(3)复化梯形公式:h -nTf a4'f Xk f b 。-心(4)复化辛甫生公式:Xk 2 f b 。hn丄nSn=2 fa 2、f

34、 Xk 4' f2 -kz!K 土(5) 梯形公式的误差余项：Rt (x-a 3。”(a,b)ba(6) 复化梯形公式的误差余项：Rt Xh2f11。 a,b12三本章习题解析1.用复化梯形公式和复化 Simps on公式计算下列积分。(1)1 二取 n=8 ； (2)丁4sin2xdx，取 n=6解:( 1 )代入复化梯形公式可得 丁8=丄f o ' f Xk f 1 =0.1114024，（2）代入梯复化形公式可得：t6ff x6f =1.03562 ,72 y16丿同理，分别代入复化 Simpson公式可得：S8 =0.1115724 , & =1.03577。2

35、.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具 有的代数精度。(1)hJ xdx:A°f -h A1f 0 A2f h(2)10 f X dx ：A0f 0 AfA2f 1(3)2h2hf xdx:A°f 比Af 0A2f h(4)h上 f x dx:A。f -hA f X1解：（1）设f x =1，x，x2，求积公式准确成立,代入（1）式可得:2h = A。* A1 + A?0=A。h + A2 h232訥=(A° + A2)h解得：民二民A =4h，3 3代入原式整理得：h141f xdxf -h -h f 0- h f h，3

36、33对于f xi；=x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f X = X4，代入上式验证,左边=右边，即所构造的求积公式具有 3次代数精度。（2）设f x =1，x，x2，求积公式准确成立，代入（2 ）式可得:仁A0+A + A21 ,?=A° x+A212丄G = Ax +2A2121解得：民=A；， A ， xl632代入原式整理得：f x dx ：、1 f 0 - f 111 f 1 ，力6312丿6对于f x =x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f x = x4，代入上式验证，左边=右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。2（3）设f x=1 , x , x ,求积公式

37、准确成立,代入（3）式可得:4h = A0 A1 A20 = - A h ： A h16 32h = Ao A2 h84解得：A（）= A2h, Ah,332h848代入原式整理得：二h f x dx h f -hh f Xih f h ，333对于f x = x3，代入上式验证，左边=右边，继续令f x = x4，代入上式验证,左边=右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。f 2h = A + A（4）设f X =1，x，求积公式准确成立，代入（4）式可得f °0 = _A（）h + A%解得：xi，Ao，Aih,323hh3i'h '代入原式整理得：f x d

38、f - h i亠一 h f i - ，丄2213 .丿23对于f X二X，代入上式验证，左边=右边。继续令f X二X，代入上式验证,左边=右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。1 1 _ 1 _3.证明：o f x d - |J 0 f 1f 1 f1 0 具有3次代数精度。证明：当f x=1时，AA左边=1，右边=1 1，一 0 一0 =1，左边=右边。2 12当f x =x时，左边=_，右边=1 0 1,丄11丨-1，左边=右边。2 2 12 2当f x =x2时，左边二1，右边=1 10 C-丄（2 -0 J -1，左边=右边。3 2123当f x =x3时，11左边=-，右边=-，

39、左边=右边。4 4当f x = x4时，11左边二-，右边二-，左边=右边。5 6故所求积公式具有 3次代数精度。4.用复化Simpson公式Sn计算积分2sinxdx，要使误差不超过 1 10-，问应将区间0 2。，2分为多少等份？若改用复化梯形公式时要达到同样精度问应将区间为多少等份?解:复化Simpson公式的余项的绝对值为:JI z化为R(坛'maxsi nx 4n丿0空呼同理若应用复化梯形公式，则有Ttb -aV22fhfI' (n)<212肚I由此可将原问题转5"92 4 10卫解得：“一6。max前x弓10色解得：n 255。15.求积公式o f

40、x dx ：、A°f o厂aJ 1 r- a2 f1 o，已知其余项表达式为R f = kf111 。试确定求积公式中的待定参数 Ao，A1，A2，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。解:设 f X =1， X，X2求积公式准确成立，代入原式可得:仁 Ao A A2 丄=o 2A A?1打A_1八 _1，A肓，A二飞，1 2 1 1 I°f xdx：；f 0;f 1 訂 0 ,33611当f x =x3 *时，代入原式，左边 二一，右边二一，左边=右边，43IIIIII彳-1 =k f ： j且 f x =3! =6，所以求得 k = - ，37

41、2解得：廿|所以原式变为:由题意知误差为丄41即 Rf2fIH为所求，上式求积公式具有 3次代数精度。6.点上的函数值?解：f1 x = -4exsinx,在这里取复化Simpson公式余项的绝对值180 2代入已知条件得:进行放缩得："山 180“max4esinx2,解得：心6。Rs f 二3 _12 180 2n4e"Sin -7.推导下列三种矩形求积公式，其中一三i a,bb1 I2（1）。彳 xdx 二 ba f a f b-ab1 I2（2）f x dx 二 b -a f b - f maa2bf a + b、 13（3）f x dx 二 b - a ff11

42、L i b - a右比厂 f 2 J 24r证明：（1）将f x在f a处展开成一阶泰勒公式，即：f x = f a f V .1： x-a上式两边在 a,b 1积分，得：f x dx f a dx亠i f1 ： x - a dxa a2 avb=f a b-aa f x-adx，bb这里我们应用广义积分中值定理：f x g x d I I f x dx， a,b，a avvbb于是上式中第二项就化简为如下形式：a f1x-a dx = f1 L x-a dx ,a,b，tb1.2积分整理得到：f x dx = b-a f a fTb-a 。a 2(2)将f x在f b处展开成一阶泰勒公式，即

43、：f x = f b f x-b上式两边在la,b 1积分，得：f x dx f b dx亠i f1 ： xb dx"a"a"a工bi工=f b b - a亠 i f i ： 1 x - b dx，-a上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：b12a f X dx 二 b-a f b -2f 1 b -a。(3)将f x在fI -_b j处展开成二阶泰勒公式，即:.2上式两边在la,b 1积分得:2dx，dx abUbb a _bb If x dx fdx 亠 | f1 Ia-a2ab_由广义积分中值定理a f x g x dx = g L i i f x

44、 dx，三a, b ，a bx.2 , 2b代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：ba b 1 II3a f x dx 二 b-a f24 f b-a。38.对积分J。f(xdx构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。解：将0,3 三等分，即取节点 0，1，2，3.构造求积公式：3n230 f X dx 二 Aof 0 Aif 1 A?f 2 Asf 3，令 f X 日，x，x，x 求积公式准确成立，代入公式得:'3=A°+A+A2+A39厂o+A+2A2+3A32解得:27§=0 + A1+4A2+9A381N=0+A+8A2+27A33At9A飞9A

45、飞3 A飞9.所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即:3 一83390 f x dx 蔦 f 0- f 18 8用高斯-勒让德求积公式，取 n=2计算定积分x2exdx。0分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式:bnQ x dx =a心AkQ Xk即可求出:2 x(x e dx =0.7119418。10.用龙贝格求积公式计算定积分解：代入复化梯形递推化公式，求得:31dx。0 x31 一4Ti =迈 ILf 1 f 3 =3，1314T2 匕二-f5 匕，T4二T2 2丨24_4413-13)T8T4 T

46、 f 88 7诣喘，12小49，ST4796_16=405，C2 =15 S4179921216 1C1 二亦S2 -15 s_63丄 _Rl _64C2 64C1 一 89302515241-3方，S4 飞128548q = ?15214175:2.01473867。1898""945 '11.若f11 x 0，证明用梯形公式计算积分ba f X dx所得的结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：已知梯形公式为I _打=尽f ，II312由已知f11 X 0及余项公式 R ff ;：0，也就是I - In ”： 0即I n I造成结果比准确值大。几何意义：由f11

47、 X 0可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。第五章常微分方程的数值解法本章的学习要求（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。（2）掌握龙格库塔方法。本章应掌握的重点公式（"欧拉公式：yniyn "f Xn，yn。（2） 后退的欧拉公式：ynyn hf Xn1，yn1。（3） 梯形公式：厂yn十打（XnJn ）十f （ X+ yn J。三本章习题解析改进的欧拉1.对初值问题 y 0，在Q1 1区间内取步长h =0.1，分别用欧拉公式、 "（0）=1公式及经典的四阶 Runge-Kutta公式作数值计算。解:（ 1）由欧拉公式可知：yn 广 ynf Xn，

48、yn 二 丫.91 一丫.=0.9丫（2）由改进的欧拉公式可知:yyn hf Xn，ynV广yn+hf（xn 卅,yp）1ym 石 yp yc将已知代入化简可得:Yp 二 yn Z -yn "9yn，广yn °1-Yp 491yn，1Yn1 丁 °.9Yn °.91Yn。(3)由经典的四阶 Runge-Kutta公式可知:kfk1 = f Xn，Ynhh2, yn k1hhn 2，Yn *kf xn h，yn hk3h公式为： yn = yn +石(& +2k2 +2k3+ k4)记为(1)，所以有： & = yn，k2=-Yn0.05%

49、 ,k3-yn亠0.05yn-0.0025yn,k4 二-yn - 0-1 - yn 0.05yn - 0.0025yn ,代入到(1)得:YnYn 60 -5.70975 =0.9048375%。602.用欧拉公式解初值问题总"XT，证明其整体截断误差为y(xn)-y Janh2。y 0 -0n 2证明：将已知代入欧拉公式Yn 广 Yn Xn，Yn，化简为 Yn 广 Yn ' h aXn b，展开得：yn + = yn+haxn+hb，应用递推关系可得:Yn 二 YnJhaXnjhb，以此类推： y3 =y2+hax2+hb，yy/ hax1 hb，丫1 二 y° hax° hb，然后迭代得： y =_ ah2 + nbh，n 2由题可知，对原定解问题积分得：y x =1 ax2 bx，故可得y xn =axn2 bnh，所以有y Xn -yn =anh2成立。23.用欧拉公式计算积分Xet dt在X=0.5，1，1.5，2点的近似值。 x2f x 的定 .f 0 -0七DX丄解：设 f x =.0 et2r Ix2dt，则f x二e，且f0=0，故原问题转化为解条件在Xo ， x 0.5， X2=1，X3=1.5， X4 = 2时的定解问题。由欧拉公式J.广 f f XnVn，可知：丫厂丫。0.%0"5，1 44y2 = y