追及与相遇问题(详解)

1、追及与相遇问题刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度-位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、相遇或防止碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。一

2、、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 初速度比较小包括为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a、当两者速度相等时，假设追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离;b、假设两者速度相等时，两者的位移也相等3#能追上，也是两者防止碰撞的临 界条

3、件;c、假设两者速度相等时， 追者位移大王被追者， 说明在两者速度相等前就已经追上； 在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个 值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度,被追者还 有一次追上追者的时机，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点： 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上

4、等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的 位移关系是解题的突破口。假设被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意 v t图象的应用。第1页共11页二、相遇同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：(1) 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？(2) 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速

5、度是多大？解：汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为 tv 汽=21=丫自 t=10s设汽车追上自行车所用时间为此时距停车线距离x=v最远距离 x = x自一x汽=v自t at2 = 25m2t 此时 x 自=x 汽 v 自 t= a t 2 t = 20s2自t=100m此时汽车速度 v汽=a t = 10m/s【例2】客车以30m/s的速度行驶，突然发现前方72 m处有一自行车正以 6m/s的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车，假设以3m/s2的加速度匀减速前进，问：(1) 客车是否会撞上自行车？假设会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？(2) 假设要保证客车不会撞上

6、自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？(3) 假设要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？1速度相等时用时t,则30-3t=6m/s解得t=8s,此时自行车行驶6*8=48m,客 车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m144m,所以会撞上。假设t时刻撞上，则有 30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得 t1=4s , t2=12s 舍去2不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由1中得144=48+6所以至少相差96m【例3】2的匀减速运动，则两车初始距离 L满足什么条件时可以使：1两车不相遇；2两车只相遇一次；3两车能相遇两次设两车相遇时互不影响各自的运

7、动。a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.s 甲=v2*t+atA2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s 乙=v1*t=100L=s 甲-s 乙=25m即当L25时为两车不相遇【例4】 如图，A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动 ，而 物体B此时速度V2=10米/秒，方向向右，做匀减速直线运动(不能返回)，加速度大小a=2米/秒2, 从图示位置开始计时，经多少时间A追上B.VV1V 2第2页共11页二一任AB- S 解：物体B

8、的运动时间为在此时间内B前进了tBVa102这日A前进了可见在此时间内SbV tB10225米Sa VAtB 4 5 20米A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上 B.故A追上B的时间为：tS SbVa【例5】一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应 具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：1 , 2-atV0t+s。122Vt 2s2 25 240 2 1000Z 224020.24 m/s22第7页共11页摩托车追上汽车时的速度：V = at = 0

9、.24240 = 58 (m/s) 3因为摩托车的最大速度为30m/s,所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。12 at； Vm t t1s。V0t42V m at15由45得：11=40/3秒a=3040/32.25 (m/s)40V0匀速追赶要车【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度停下.已知人在离车小于 20ml且持续时间为 2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以 V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？ 解：60 m+ 1/2aT2-VcT=20mT 1 - T2= 801-T2 = 2方

10、法一、设经过时间T人和车相距20m,则根据位移关系可得将a=1m/ s 2代入上式并整理得T 2-2V0T+80=0设为该方程的两个根，由韦达定理有T 1+T2 = 2V0又因为人车相距 20 m以内的时间至少持续 2s,所以有 T解可得的最小速度为 9m/s。当V0= 10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为d=1/2aT 2+60 VqT= 1/2T 2-10T+60= 1/2(T -10) 2+ 10当T= 10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m点评 此题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便 不仅表达在求解运算上，更表达在解题思路上。方法二、

11、已知人在离车小于 20m,且保持时间为 2s喊停车方能把停车信息转到达司机，那么题 意就是当距离为20m后，再经过2s,距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.所以有，vt-1/2at2=40 同时 v(t+2-1/2a (t+2)2=40-得 t=v/a+1将代入得最小速度v = 9m/s.如果10m/s,当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。所以最小距离 =60-10*10-1/2*10 2=i0m方法三、即1/2at 2+60-v ot=20此时车速为at ,接下来2s内保持20m距离即 2 * v0=at *2+1/2a *22.解得 t=8s.vo=9m/s方法四、根

12、据题意，要在汽车的速度到达V之前，人与车的距离小于20m,因为如果在汽车速度到达V的时候人车的距离还大于20m,那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20 m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1因为a=1时，人距车必须小于 20米，有60+1/2*(v+1)A2-v*(v+1)2m/s2x4s2=16m两车的最大距离为A Xmax=x货一x警=52m 16m=36m两车的位移分

13、别为 x警=2, x货=丫0t+t0-at1追上时两车位移相等x警二x货，即乙=v0t+t0解得追上时所用时间t2=10s。方法2、利用二次函数的知识求解。1 3-ar货车和警车的位移分别为 x警=2, 乂货=丫0t+to，两车的位移之差为1 3atAx=x 货一x 警=vo t+to 一 = - t2+8t+20= - t42+36当t=4s时，A x有最大值36m,即追上之前相距最大为36m。当t=l0s时，A x=0,即相遇。2 .客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨道前方 120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速 行驶，于是客车紧急刹车，假设以0.9m/s2的加速度匀减速前进，问

14、：(1) 客车是否会撞上货车？假设会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？(2) 假设要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？(3) 假设要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3 .甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以vi=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以ai=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以 a2=1m/s2的加速度从同一 车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析： 解法一公式法：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为v1t v1 a1to lOm/s 2 4

15、 m/s=2 m/s,此时离甲车停止运动的时间Wt 2t s=0.5s。a14根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。甲车停止时离车站 A的距离 诲2V12a110212设乙走完这段路程所需的时间为t,由& 1a2t2x甲得t2故乙车出发后经过 5s追上甲车。联想求解此题最易犯的错误是：根据追上的条件121, 2x甲 x乙，有v/t t0) 一a(t tO)a2t ,222x甲a22 12.5s=5s。代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。此题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速

16、度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4 .在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为V0、加速度大小为2a的匀减速直线运动； 而B车同时做初速度为 0、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求 A车的初图2-37速度V0应满足的条件。解析： 要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最多只能与 B车速度相等。设 A、B两从 相距s到A车追上B车时，A车的位移为Xa,末速度为VA,所用时间为t; B车的位移为XB,末 速度为Vb,运动过程如图237所示。现用四种方法求解。解法一利用位移公式和速度公式求解：1 2对 A车有 xa Vot

17、 ( 2a )t , Va v0 ( 2a)t。21 9对 B 车有xB -at , vB at。2两车有 S Sa Sb,追上时，两车刚好不相撞的条件是Va Vb ,由以上各式联立解得V0 J60S。故要使两车不相撞，A车的初速度Vo应满足的条件是VoW J6。解法二利用速度公式和速度一位移关系式求解两车刚好不相撞的临界条件是：即将追上时两车速度相等。设此速度为v, A车追上B车前,A车运动的时间为aA2a 2aB车运动的时间为VB一, 因为atA tB,所以Vo V2avov - d3A车的位移XaVo2aA4aB车的位移Xb2VB2a2V2a因为xA s xB ,所以2Vo 4a2Vo2

18、a2Vo3v24a两式联立解得VoV VoVo故要使两车不相撞，A车的初速度vo应满足的条件是vo 66as o解法三利用判别式解：1212由斛法一可知 xA s xB ,即 vot -( 2a)t s - at ,22整理得3at2 2vot as 0。这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式（2v0）2 4 3a 2s0时，t无实数解，即两车不相撞。故要使两车不相撞， A车的初速度vo应满足的条件是 vo 6as o解法四用速度图象解：如图2 38所示，先作A、B两车的速度图象。设经过时间t两车刚好不相撞，则对A车有vAvv02at ,对B车有 vb第14页共11页经时间t两车的位移

19、之差，即为原来两车间的距离s,它可用速度图象中阴影部分的面积表示，由速度图象可知由以上两式联立解得1,1v0V0svtv0 223a 6a故要使两车不相撞， A车的初速度v0应满足的条件是vwJ6as。联想 分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在理解题意的基础上，认清两物体在位 移、速度、时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这类问题的特殊之处是常与极 值条件或临界条件相联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法，分析临界条件、 解决相关的临界条件方程或用数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突破口。5.甲、乙两车相距为s,同时同向运动，乙在前面做加速度为ai、

20、初速度为零的匀加速运动,甲在后面做加速度为 a2、初速度为v。的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度 的关系。解析 解法一物理方法由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+ a2t, v乙=ait。1当aia2时，aita2时，aita2t, v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增大而发生变化.。刚开始ait和a2t相差不大且甲有初速度 v0,所以v甲v乙.。随着时间的推移，ait和a2t相差越来越大， 当ait-a2t= v0时，丫甲=v乙，接下来 ait-a2t v0,贝U有 v甲v乙。假设在丫甲二v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于 v甲v乙，甲车就没有时机超过乙车， 即两车

21、不相遇；假设在丫甲二v乙时，两车刚好相遇，随后由于 v甲v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；假设在丫甲二v乙之前，甲车已超过乙车，即已相遇一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次。方法二(数学方法：设经过时间t两车能够相遇，由于1212s=vot -a2t ，5乙二一2共，22相遇时有s甲s乙s,则（a1 a2）t2 2v0t 2s 0,v0v0 2( a1 a2 )s所以t 0%0。a1 a21当aia2时，假设v2 2(a1 a2)s, t无解，即不相遇；2假设册 2(a14后，t只有一个解，即相遇一次；假设v； 2(a1 a2)

22、s, t有两个正解，即相遇两次。联想 以上两种解法，正好表达了解答物理问题的两种典型思路。方法一从比较两车的速度 关系和位移关系出发，经过仔细而严密的逻辑推理，得出了不同条件下的不同结果。这种解法注 重物理过程的分析，物理情景比较清楚。方法二先假设两车相遇，由两车位移之间的关系列出求 解相遇时间的方程，然后再对方程解的个数展开讨论。这种解法的特点是将物理问题转化为数学 问题，充分运用数学规律和技巧使问题得以解决，论述简洁明了。6.羚羊从静止开始奔跑，经过 s1=50m的距离能加速到最大速度 v1=25m/s,并能维持一段 较长的时间。猎豹从静止开始奔跑，经过 s2=60m的距离能加速到最大速度 v2=30m/s,以后只能 维持这个速度4.0s。设猎豹距离羚羊x时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后 1.0s开始奔跑，假 设羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，问：(1)猎豹要在达最大速度且未减速前追到羚羊，x值应在什么范围？(2)猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围？解析：(1)