最近九年北京高考数学(理)压轴题(含答案)

1、1(d匕京17)设引和5是两个等差数列，记o=max bi Win,b2-a2n,，bn -ann(n=1,2,3,)，其中maxK2，,xs表示xx2，,xs这s个数中最大的数.(I )若an=n, bn=2 n 1 ,求ci,C2,C3的值，并证明g是等差数列；(n )证明：或者对任意正数M,存在正整数 m,当n沏时，% M ;或者存在正n整数m,使得Cm,Cm+1,Cm+2,是等差数列.2 (北京 16)设数列A： ai , a2，aN (N>2)。如果对小于n(2w nw N)的每个正整数k都有ak v an ,则称n是数列A的一个G时刻”。记G (A)是数列A的所有“G时刻”组

2、成 的集合。(I)对数列A: -2 , 2, -1 , 1, 3,写出G (A)的所有元素；(II)证明：若数列A中存在an使彳导an > a1，则G (A)；(III)证明：若数列 A满足an- an 1 <1 (n=2,3,N)，则G (A)的元素个数不小于 aN - a1。3 (北京 15 ) 已知数列 an 满足：a1 N* , aW36 ,且 2an , an W18，an 1c cc n n 1, 2, .2an 36, an 18 * 记集合M an |n N .(I )若© 6 ,写出集合M的所有元素；(n)若集合 M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有

3、元素都是3的倍数； (出)求集合M的元素个数的最大值.4 (北京 14)对于数又W列 P(&,bi),(a2,b2),L，心)，记Ti(P) & bi,Tk(P) bk maxTk i(P),ai a? L aj(2 k n),其中maxTk i (P), ai a? L aj 表示 Tk i(P)和 a a2 L ak 两个数中最大的 数， 对于数对序列P(2,5),(4,1),求Ti(P),T2(P)的值.(2)记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列gP(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d)，试分别对 m

4、a和m d的两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小.(3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值.(只需写出结论).5 (北京13)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ,第n项之后的各项an 1 , an 2 , L L的最小值记为Bn, dn An Bn(1)若an为2, 1,4, 3, 2, 1, 4,3, LL,是一个周期为4的数列(即对任意n N* , an 4 an)写出 d1，d2, d3, d4的值。(2)设d为非负整数

5、，证明：dn d ( n 1,2,3,L )的充分必要条件为a0是公差为d的等差数列。(3)证明：若a 2, dn d (n 1,2,3,L)则an的项只能是1或2,且有无穷多项为1.6 (4b京12)设A是由mxn个实数组成的 m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零，记S(m, n)为所有这样的数表构成的集合。对于A S(m,n),记n(A)为A的第i行各数之和 (K i < m), Cj(A)为A的第j列各数之和(1 <j< n)：记 K(A)为 I ri(A) I , I R2(A) I ,； I Rm(A) I , I C(A) I , I C

6、2(A) I , I Cn(A) I 中的最小值。(1)对如下数表A,求K (A)的值；11-0.80.1-0.3-1(2)设数表ACS (2,3)形如11CAB-1求K (A)的最大值;(3)给定正整数t,对于所有的 ACS (2,2t+1 ),求K (A)的最大值。7 (北京 11)若数列 An :a10,L ,an( n 2)满足 ak 1 ak 1(k 1,2,L ,n 1),则称An为E数列，记S(An) a1 a2 Lan。(i)写出一个满足 a1 a5 0,且S(A) 0的E数列A ；(n)若a1 12,n 2000,证明E数列An是递增数列的充要条件是 烝 2011 ；8 （北

7、京10）已知集合SnX|X（Xi,X2，Xn）,X10,1,i1,2,n（ n2）对于 A (a1，a2,an,),B (匕也,bn,)Sn,定义A与B的差为A B(|ai b! |,|a2 b2|,|an b n|);A与B之间的距离为d(A,B)1al bi|i 1(I)证明： A, B,C Sn,有 A B Sn,且 d(A C,B C) d(A,B)；(n)证明： A, B,C Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数(ID)设P Sn, P中有m(m > 2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为一(P).d证明：一(P)dmn< 2(m

8、1)9 (北京09)已知数集Aai,a2,L an 1 a a? L an,n 2 具有性质 P；对任一,aj _,一息的i, j 1 i j n , aiaj与 两数中至少有一个属于A.ai(I)分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P,并说明理由;(n)证明：a11 且a1比 L an a .1 111101n ,aa2 L an(出)证明：当n5时，a1，a2 ,a3, a4, a5成等比数列.一1(北京17)【解析】(1)易知a11 ,a22 ,a33 且 b 1 ,b23,b35 .Ci bi ai 0 ,c2maxh2a1 , b22a2 max1,11 ,c3maxb

9、13a1 , b23a2,b3 3a3 max2,3,42.下面我们证明，对n N*且n>2,都有Cn bi ai n .当k N*且2< k < n时，bk ak nb1a1n 2k i nkin2k 2 n k ik i 2 nk 10且 2 n< 0, 1 bk aknbi ai n < 0 b ain > bk ak n.因此，对n N* 且 n > 2 , Cn biain1 n ,则 Cn i Cn1 .又C G 1 ,故Cn i Cn1对n N*均成立，从而 Cn为等差数列.(2)设数列an与bn的公差分别为da,db,下面我们考虑Cn的

10、取值.Xbi ai n , b2 a2 n ,，bn an n ,考虑其中任意项bi ai n ( i N*且1&in),biai nb1i 1dba i 1 da n(b1a1n) (i1)(dbdan)下面我们分da 0, da 0, da 0三种情况进行讨论.(1)若 da 0,则 n a n bi a n i 1 db若 db w 0 ,则 b ai n b ai n i 1 db < 0则对于给定的正整数 n而言，Cn bi ai n此时Cn 1 Cna ,故Cn为等差数列.若 db 0 ,则 bi a nbn an n i n db < 0则对于给定的正整数 n

11、而言，Cn bn an n bn ai n .此时Cn 1 Cn db ai ,故Cn为等差数列.此时取m 1 ,则g , C2, C3, L是等差数列，命题成立.(2)若da 0,则此时 da n db为一个关于n的一次项系数为负数的一次函 数.故必存在m N* ,使得当n>m时，da n db 0则当 n>m 时，bi ai nbi ai n i 1 da n db < 0 ( i n ,1 < i < n ).因此，当 n > m时，Cn bi ai n .此时Cni Cnai,故Cn从第m项开始为等差数列，命题成立.(3)若 da0,则此时da n

12、db为一个关于n的一次项系数为正数的一次函故必存在s N ,使得当n>s时，dadb 0则当n > s时，,IJ /*ai nbnan n i n da n db < 0 （ i N ,1 < i < n ）因此，当n>s时，此时 cn bn an n n n令 da A 0, daCnbn an n .bnanda n da ainaidb B, bdbCdb卜面证明cn An B C对任意正数 nncnM .nM ,存在正整数m ,使得当n>m时,1 ( x表示不大于x的最大整数) M B - -1 B A B M ,ACnM B> An B

13、> Am B A JnA此时命题成立.若C 0,则取m当n > m时，CnIM C B> An B C > Am B C A J1 B C > MnA此时命题也成立.因此，对任意正数 M ,存在正整数 m ,使得当n> m时， M .n综合以上三种情况，命题得证.2 （北京16） 解：（I ）根据题干可得，a1= - 2, a2=2 , a3= - 1, a4=1 , a5=3 , av a2满足条件，2满足条件，a2>a3不满足条件，3不满足条件,因此5满足条件，因此G (A)a2>a4不满足条件，4不满足条件，a1, a2, a3, a4,均

14、小于a5 =2, 5.(n )因为存在an > a1,设数列A中第一个大于 a1的项为ak,则ak>a1办i,其中244- 1,所以 kCG (A), G (A)名；（出）设A数列的所有 G时亥为iiVi2Lvik,对于第一个 G时刻”ii,有a- >ai冶(i=2, 3, L, ii-1),则1 «自-a<3. - - a- _ 尸1 11L对于第二个 G时刻”ii,有立一 > a.咕(i=2, 3, L, ii- 1),则a - a - Wa, _ a- _ 】司2 - -n 1才 JL n 1 m 1 匚1* IIj类似的a - - a -得， a

15、 a 局.1! 1； % ”于是，k> ( a - - a .) + ( 0“7L&二 )+L+ (a- a； ) + (a； a1) =a-工111 11对于aN ,右N CG (A),则&.=a n .若 N?G (A),则 aNW亘，11.L, aN,中存在G时刻”与只有k个G时刻”矛盾.3 (北京 i5 )解：(i ) ai M 6,i2,24 .6,a2 i2,a3 24,a4 2 24 36 i2,（n）因为集合 m存在一个元素是3的倍数，所以不妨设 ak是3的倍数。2an , an w i8，由an in i, 2, 24 36, an i8当n k时，an

16、都是3的倍数。如果k i ,则集合M的所有元素都是3的倍数。如果k i ,因为ak 2ak i或ak 2ak i 36 , 所以2ak i是3的倍数，于是ak i是3的倍数。类似可得，ak 2,ak 3,L ai都是3的倍数。综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数。2a , an < i8,（出）若 ai 36,由 % in i, 2,2纵 36,， i8，可归纳证明an 36 n i, 2, M 36 .因为ai是正整数，由a?2&,& 182al 36同 18所以a2是2的倍数。从而当n 3时，4时4的倍数。如果ai是3的倍数，由（n）知对所

17、有正整数n , an是3的倍数。因此当n 3时，an12,24,36 .这时M的元素个数不超过 5.如果ai不是3的倍数，由（n）知对所有正整数n , an不是3的倍数。因此当n 3时，an4,8,16,20,28,32 .这时M的元素个数不超过 8.当 ai 1 时，M 1,2,4,8,16,20,28,32 由 8 个元素。综上可知：集合 M的元素个数的最大值为8.4 （北京 14）解：（I） T1（P） 2 5 7T2(P') max c d b,c a bT1（P） 1 max T1（P）,2 41 max 7,6 =8(H) T2(P) max a b d,a c d当 m=

18、a 时，t2(P')= max c db, c a b = c d b因为 c d b cbd,Sacdc b d ,所以 T2(P) WT2(P')当 m=d 时，T2(P')max c d b,c a bcab因为 a b d < c a b,且 a c dc a b 所以 Tz(P)&T2(P')。所以无论 m=a还是m=d , Tz( P) & Tz(P')都成立。(m)数对序列 P: (4,6), (11,11), (16,11), (11,8), (5,2)的 T5(P)值最小,T1(P)=10, Tz(P)=26, T

19、3(P)=42, T，P)=50, Ts(P)=525 (北京 13)解：(1) d1 2 1 1 , d2 2 1 1, d3 4 1 3, d4 4 1 3(2)充分性：若an是公差为d的等差数列，则an a1 (n 1)d于是 An an a (n 1)d , Bn an 1 a nddn An Bn d必要性：若dn d (n 1,2,3,L )，假设ak是第一个使得an烝10的项，则dk Ak Bk aki Bk aki ak 0, Bk ak 1 ak 0,与 dn d 0矛盾因此an是不减的数列进而，dnAn Bn an an 1 d ,即烝 i Hn d因此是公差为d的等差数列

20、。(3)首先，an中的项不能是0,否则di ai 0 2 ,矛盾其次，an中的项不能超过2,用反证法证明如下：若an中有超过2的项，设ak是第一个大于2的项，中一定存在某项为i,否则与di i矛盾。当n k时，an 2,否则与dk i矛盾；因此存在最大的i在2到k i之间，使得aii ,此时diAiBi2Bi2 2 0综上，an中没有超过2的项所以an中的项只能是i或2下面证明i有无数个，用反证法证明如下：若ak为最后一个i,则dk Ak Bk 2 2 0,矛盾因此i有无数个6 (北京 i2)解：(i)由题意可知 ri A i.2,2 A i.2, Ci A i.i, q A 0.7,C3 A

21、 i.8 k A 0.7(2)先用反证法证明 kAWi：若 k A i ,则 1cl A | |a i| a i i , /.a 0同理可知b 0, . a b 0由题目所有数和为0即a b c i c i a b i与题目条件矛盾，k A <1 .易知当a b 0时,k A 1存在，k A的最大值为1"白，,士， 2t(3) k A的最大值为一 t首先构造满足k(A)1.22t 1t 2的 A "j(i 1,2,j1,2,，2t 1)：a1,1a1,2ai,t1,al,t 1ai,t 2a1,2t ia2,1a2,2a2,tt2 tt(t 2)1一 , a2,t 1

22、a2,t 2a2,2t 1经计算知,A中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且|n(A)l g(A)|2t 1t 2|C1(A)| |C2(A)| . |Ct(A)|t2t 1 2t1 |Ct 1(A)| |Ct 2(A)| . |c2t 1(A)| 12t 1t 22t 1 口 4 小下面证明是最大值.若不然t 22t 1k(A) x .t 2则存在一个数表A S(2,2t 1),使得由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x,而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2,故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间x,2中.由于x 1.x 1 ,故A的每一列两个数符号均与

23、列和的符号相同，且绝对值均不小于设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g h ,则 g t,h t 1.另外，由对称性不妨设 A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t 1个负数，每 个正数的绝对值不超过 1 (即每个正数均不超过 1),每个负数的绝对值不小于 x 1 (即每 个负数均不超过1 x).因此1rl(A)| r1(A) t 1 (t 1)(1 x) 2t 1 (t 1)x x 2t 1 (t 2)x x,故A的第一行行和的绝对值小于x,与假设矛盾.因此k A的0是一具满足条件的E数列A5。7 (北京 11

24、)解：(I ) 0, 1, 2, 1,(答案不唯一，0, 1, 0, 1, 0也是一个满足条件的 E的数列A5)(n )必要性：因为 E数列A5是递增数列，所以 ak 1 ak 1(k1,2,1999).所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.所以 a2000=12+ (2000 1 ) M=2011.充分性，由于 a2000a1000<1,a2。一a©。司a2 a1 W所以 a2000aW9999 ,即 a2000、1+1999.又因为 a1=12 , a2000=201 1,所以 a2000=a 1+1999.故 an1an10(k1,2,1999)，即 An是递增数列.

25、综上，结论得证。(出)令Ckak1ak 10(k1,2,n1),则Ca1.因为 a2a1c1a1a1 c1 c2an aC1C2Cn 1,所以 S(An)na (n 1)c1(n 2电(n 3电g1nn (1C1)(n1) (1C2)(n2)(1 Cn 1).因为Ck 1,所以1 Ck为偶数(k 1, ,n 1).所以 *1 C1)(n1) (1C2)(n2)(1Cn)为偶数，所以要使S(An) 0,必须使1)为偶数,8 (北京 10)证明：(I)设 A(a1,a2,., an) , B (匕,1,., bn), C (g。,.。) Sn因为 ai , b 0,1，所以 abi0,1 ,(i

26、1,2,., n)从而 A B(旧b1|,|a2b? |,.,| %bn |) Sn又 d(A C, B C)11a c I lbC- II由题意知 a- bi, q 0,1 (i 1,2,., n).当 G0时，|aiG |bc |ai b |;当 G1 时，|aiG |bG |(1aJ (1bi)| bi|n所以 d(A C,B C)|ai b | d(A,B)i 1(II)设 A 0,，an), B 依为，bn) , C (g。，a) Sd(A, B) k , d(A,C) l，d(B,C)记 O (0,0，,0)(I)可知d(A,B)d(AA,B A)d(O,B A)d(A,C)d(AA,C A)d(O,C A)d(B,C)d(BA,C A)所以|bi ai | (i1