4第四讲直线与圆锥曲线的位置关系教师讲义手册课件(全国版) 文 新人教A版 课件

1、基础知识一、设直线l：AxByC0，圆锥曲线：f(x，y)0， 消元(x或y)，若消去y得a1x2b1xc10. 1若a10，此时圆锥曲线不是 当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线 ；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴 2若a10， 4a1c1，则0时，直线与圆锥曲线 ，有 交点；0时，直线与圆锥曲线 ，有 的公共点；0时，直线与圆锥曲线 ，没有 椭圆平行或重合平行或重合相交两个不同的相切唯一相离公共点二、当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)若直线过圆锥曲线的焦点，当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为 ，其中|AB| ，(p为

2、焦准距)若椭圆 (ab0)的弦AB过焦点F1(c,0)，则|AB| ；若双曲线 (a0，b0)的弦AB过焦点F1(c,0)，且A、B在左支，则|AB| ；若抛物线y22px(p0)的弦AB过焦点F( 0)，则|AB| .通径2ep2ae(x1x2)2ae(x1x2)x1x2p三、弦的中点问题设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆 上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为AB的中点，则 易错知识一、数形结合思想应用失误1若直线ya与椭圆 恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_答案：(2,2)二、忽视判别式产生的混淆2斜率为1的直线与椭圆 交于A、B两点，O是 原 点 ， 当

3、O A B 面 积 最 大 时 ， 直 线 的 方 程 是_答案：三、应用“差分法”失误3已知双曲线方程为2x2y22，以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为_答案：4xy70四、性质应用错误4在直角坐标系平面内，对于双曲线 (a0，b0)，有以下四个结论：存在这样的点M，使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点；存在这样的点M，使得过点M可以作两条直线与双曲线有且只有一个公共点；不存在这样的点M，使得过点M可以作三条直线与双曲线有且只有一个公共点；存在这样的点M，使得过点M可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点这四个结论中，正确的是_答案：解题思路：正确，点M在双曲线

4、的中心时，过M的直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点因为，当直线斜率|k|时，直线与双曲线无交点，而当|k|时直线与双曲线有两个交点；正确，当点M在双曲线的渐近线上(非中心)或在双曲线含焦点区域内部时，过M与双曲线只有一个公共点的直线可以作两条，当M在双曲线的渐近线上时，过点M只能作双曲线的一条切线，且能作另一条渐近线的平行线，与双曲线只有一个公共点；过双曲线含焦点区域内部一点，不能作双曲线的切线，但可以作两条与渐近线平行的直线，分别与双曲线只有一个公共点；错误，过双曲线上一点，可以作双曲线的一条切线和两条与渐近线平行的直线，这三条直线分别与双曲线有一个公共点；正确，当M在双曲线含焦点区域外

5、部(非渐近线上)时，可以作双曲线的两条切线，可以作两条直线分别与两条渐近线平行，因此可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点因此，正确的是. 失分警示：误区1：过点M作与双曲线只有一个公共点的直线有两类，一类是双曲线的切线，另一类是与渐近线平行的直线，学生解答这类问题时，极易漏掉第二类的情形误区2：学生易判为错，以为过中心可作双曲线的切线，所以不存在点M，使得过M的任意直线都不可能与双曲线有且只有一个公共点这是因为学生忽视了双曲线是中心对称图形，对称中心的特殊性使过中心的直线与双曲线要么有两个交点，要么无交点回归教材1若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，那么m的取值范围是()A(0

6、,5)B(1,5)C1,5)D与k有关解析：直线恒过定点(0,1)，要使直线与椭圆总有公共点，当且仅当(0,1)在椭圆上或在椭圆内部 1，又0m5，1m5.故选C.答案：C2过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A1条 B 2条 C3条 D4条解析：因为点(2,4)在抛物线y28x上，所以所求的直线有2条，一条与抛物线相切，一条与抛物线的对称轴平行故选B.答案：B答案：B4短轴长为 离心率为 的椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为_|F1A|F2A|3，|F1B|F2B|3，ABF2的周长为6.答案：65(2009福建

7、，13)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.答案：2【例1】已知直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点，求实数a的值分析：先用代数方法即联立方程组解决，再从几何上验证结论 (1)当a0时，此方程组恰有一组解为 (2)当a0时，消去x，得 若0，即a1，方程变为一元一次方程y10，方程组恰有一组解 可解得a ，这时直线与曲线相切，只有一个公共点综上所述知，当a为0，1， 时，直线y(a1)x1与曲线y2ax恰有一个公共点方法技巧本题用代数方法解完后，应从几何上检验一下，当a0时，曲线y2ax变为直线y0，此时与已知直线y

8、x1，它们恰有一个交点(1,0)；当a1时，直线y1与抛物线y2x的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到一元二次方程中二次项系数为零)；当a 时，直线y 1与抛物线y2 相切温馨提示联立直线方程与圆锥曲线方程并消元后，易不注意讨论二次项系数是否为零的情况(2009福建)已知双曲线 的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()命题意图：本题考查双曲线的基本性质、焦点、渐近线及数形结合思想答案：C解析：如图，当过右焦点的直线与渐近线平行时，由双曲线性质可知，此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点(且与整个双曲线也仅此一个交点)当过右焦点的直线位于

9、两条渐近线之间时，直线与双曲线左右支均交于一点，也符合题干要求，总结评述：本题还可设直线方程为yk(x4)，(因为k不存在时，直线x4与右支显然交于两点，不合题意)与双曲线联立，求0.但不可忽略直线与双曲线左右支各交于一点的情况，利用韦达定理确定k的取值基于本题属于选择题，不提倡采用解析法本题重点在于考查数形结合思想.【例2】已知双曲线方程2x2y22.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 分析：对于“中点弦”问题，往往

10、采用“设而不求”的策略. 解答(1)设以A(2,1)为中点的弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有关系x1x24，y1y22.又根据对称性知x1x2，所以 是中点弦P1P2所在直线的斜率，因此不必求出点P1、P2的坐标，只要确定比值 问题就可解决. 由P1、P2在双曲线上，则有关系两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，x1x24，y1y22所求中点弦所在直线方程为y14(x2)，即4xy70.严格地讲，求出的这个直线方程只是满足了必要性，因为是我们假定过A点的直线与双曲线交于P1(x1，y1)与P2(x2，y2)两点，因此还必须验证充分性，即所求直线确

11、实与双曲线有两个交点. 为此只要将直线方程与双曲线方程联立消y(或x)，得0就可断言充分性成立. 事实上，从2221272，也可判定A(2,1)在双曲线内部(即含焦点的区域). (2)可假定直线l存在，采用(1)的方法求出l的方程为y12(x1)，即2xy10.消y得2x24x30.(4)242380，解法二：由解法一知弦AB的中点为P(3，m)点P(3，m)在抛物线内部(m)2234.总结评述本题利用点(x0，y0)在抛物线“内部”建立不等式求取值范围含有焦点的区域为圆锥曲线的内部，那么易得点P(x0，y0)在椭圆 内部的充要条件是 1(若把不等号改为相反的方向，则为点P在椭圆外部的充要条件

12、)，若点P(x0，y0)在抛物线y22px内部，则有 等，应用如上结论，可使许多问题的解答显得简捷、巧妙、有着非凡的功效对于本题还可以借助于均值不等式求解，解法如下：试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同两点关于直线y4xm对称. 解析：设椭圆上两点A(x0u，y0v)，B(x0u，y0v)，AB的中点为C(x0，y0). A、B关于y4xm对称，【例4】(2009北京朝阳5月)已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为(1,0)、(1,0)，动点A、M、N满足(1)求点M的轨迹W的方程；(2)点P( y0)在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，若12，求实数m的范围 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且长半轴长，am，半焦距c1，b2a2c2m21.由点P、Q均在椭圆W上，(2008辽宁，20)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0， )、(0， )的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A、B两点(1)写出C的方程；(2)若 求k的值；(3)若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有解析：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义可知，点P的轨迹 总结评述：本小题主要考查平面向量、椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系