1.2.2充要条件

1、1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.(重 点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、 充要条件.(重点)3. 能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.(难点)自主预习探新知1.充分条件与必要条件命题真假“若 p,则 q”是真命题“若 p,则 q”是假命题推出关系PZqp *q条件关系p 是 q 的充分条件p 不是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件q 不是 p 的必要条件思考 1: (1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2) 以下五种表述形式：p? q；p 是 q

2、 的充分条件；q 的充分条件是 p； q是 p 的必要条件；p 的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗？提示相同，都是 p? q (2)等价2.充要条件一般地，如果既有 p? q,又有 q? p,就记作 p? q.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.概括地说，如果 p? q,那么 p 与 q 互为充要条件.(2) 若 p? q，但 q=-3p，则称 p 是 q 的充分不必要条件.(3) 若 q? p，但 pWq 则称 p 是 q 的必要不充分条件.(4) 若 p q，且 q p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.思考 2: (1)若 p 是 q 的充要条件，则命题

3、p 和 q 是两个相互等价的命题，这 种说法对吗？“ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q”的区别在哪里？提示(1)正确.若 p 是 q 的充要条件，则 p? q,即 p 等价于 q.(2)p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论.2p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论.基础自测1. 思考辨析(1) q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.()(2) q 不是 p 的必要条件时，“pD? /q”成立.()(3) 若 q 是 p 的必要条件，则 q 成立，p 也成立.()答案(1)V(2)V(3)x2. “x2”是“x1 2 3 4 5 3x+ 2

4、0” 成立的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件A 由 x2 3x+ 20 得 x2 或 x0, y0, q： xy0;(3) p： ab, q： a+ cb+ c.在(1)(3)中，p? q,所以(1)(3)中 p 是 q 的充要条件，在(2)中，q? p, 所以中 p 不是 q 的充要条件.合作探究攻重难1*1_件.充分条件、必要条件、充要条件的判断卜阿 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充分必要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答).2 在厶 ABC 中，p：ZAZB, q： BCA

5、C;3 对于实数 x, y, p： x+ yM8, q：XM2 或6;4 p: (a 2)(a 3) 0, q: a 3;a5 p：avb,q：bv1.思路探究判断 p? q 与 q? p 是否成立，当 p、q 是否定形式，可判断 q 是 p 的什么条件.解(1)在厶 ABC 中，显然有/ AZB? BCAC，所以 p 是 q 的充分必要条(2) 因为 x=2 且 y= 6? x+ y= 8,即-q? - p,但-p? -q,所以 p 是 q 的充分 不必要条件.(3) 由(a 2)(a 3) = 0 可以推出 a= 2 或 a = 3,不一定有 a= 3;由 a= 3 可以 得出(a 2)(

6、a 3) = 0因此，p 是 q 的必要不充分条件.a(4) 由于 avb,当 bv0 时，b 1;aa当 b0 时，bv1,故若 avb,不一定有bv1;a,当 a0, b0,bv1 时，可以推出 avb；a当 av0, bv0,bv1 时，可以推出 ab.因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.规律方法充分条件与必要条件的判断方法定义法认蒲pd _I井沦邹牛崔華忙，轉 卜毘加廉b”是“ a2b2”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件D 令 a= 1, b= 1,满足 ab,但不满足 a2b2,即“ab”不能推出“a2b2”; 再令 a=

7、1, b = 0,满足 a2b2，但不满足 ab,即卩“a2b2”不能推出“ab”, 所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.(2)对于二次函数 f(x)= ax2+ bx+ c(aM0),下列结论正确的是()b2 4ac 0 是函数 f(x)有零点的充要条件；b2 4ac= 0 是函数 f(x)有零点的充分条件；b2 4ac0 是函数 f(x)有零点的必要条件；b2 4ac 0?方程 ax2+ bx+ c= 0(a 0)有实根？f(x) = ax2+ bx+ c(a工 0)有零点，故正确.2若 = b24ac= 0,则方程 ax2+ bx+ c= 0(a 0)有实根，因此函数 f(

8、x)= ax2+ bx+ c(aM0)有零点，故正确.3函数 f(x) = ax2+ bx+ c(aM0)有零点时，方程 ax2+ bx+ c= 0(a0)有实根， 未必有二 b2 4ac0,也可能有二 0,故错误.4厶二 b2 4ac0?方程 ax2+ bx+ c = 0(a 0)无实根？函数 f(x) = ax2+ bx+ c(a0)无零点，故正确.6 7的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“？”写出证充要条件的探求与证明卜列 (1) “x24x0”的一个充分不必要条件为()A.0 x4B. 0 x0 D. xy，求证：x0.思路探究(1)先解不等式 x24x0 得

9、到充要条件，则充分不必要条件应是 不等式 x2 4x0 的解集的子集.(2)充要条件的证明可用其定义，即条件？结论且结论？条件.如果每一步明.解析(1 )由 X8 94x0 得 0 x4,则充分不必要条件是集合x|0 x0 及 xy,得xyxy，即xy.1111yx必要性：由xy,得xy0，即xyy，所以 yx0.1 1所以x0.、1111yx法二：Xy?xy0?xyy? y x0，故由xy0.1 1所以x0，2.(1)不等式 x(x 2)0.规律方法1探求充要条件一般有两种方法：(1) 探求 A 成立的充要条件时，先将 A 视为条件，并由 A 推导结论(设为 B)， 再证明 B 是 A 的充

10、分条件，这样就能说明 A 成立的充要条件是 B,即从充分性 和必要性两方面说明.(2) 将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过 程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性 和必要性分开来说明.充分条件、必要条件、充要条件的应用探究问题B 由 x(x 2)0 得 0vx2，因为(0,2) 1,+)， 所以 “x 1,+)”是“不等式 x(x 2)0 成立”的一个必要不充分条件.(2)求证：关于 x 的方程 ax10 11+ bx+ c= 0 有一个根是 1 的充要条件是 a+ b+ c =0.证明假设 p：方程 ax2+ bx+ c= 0 有一

11、个根是 1,q： a+ b+ c= 0.1证明 p? q,即证明必要性.Ix= 1 是方程 ax2+ bx+ c= 0 的根，a + b 1 + c= 0,即卩 a+ b+ c= 0.2证明 q? p,即证明充分性.由 a+ b+ c= 0, 得 c= a b.Ia+bx+c=0, a 点 + bx a b= 0,即 a(x21)+ b(x1)= 0.故(x 1)(ax+ a+ b) = 0. x= 1 是方程的一个根.故方程 ax2+ bx+ c= 0 有一个根是 1 的充要条件是 a+ b+ c= 0.1*31_10 .记集合 A=x|p(x) , B = x|q(x)，若 p 是 q 的

12、充分不必要条件，则集合A、B 的关系是什么？若 p 是 q 的必要不充分条件呢？JT*提示：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B,若 p 是 q 的必要不充分条件，B A.2.记集合M= x|p(x) , N = x|q(x)，若 M? N,贝 U p 是 q 的什么条件？若 N? M ,M = N 呢？提示：若 M?N,则 p 是 q 的充分条件，若 N? M，则 p 是 q 的必要条件，若M= N,则 p 是 q 的充要条件.创 已知 p： x2 8x 20 0, q： x2 2x+ 1 m20),且 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为_ .思路探究解析由 x

13、8x 20w0，得一 2wxW10,由 x 2x+ 1 mw0(m0)，得 1mWxw1+m(m0).因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 p? q 且 p.即x| 2wxw10是x|1 mWxw1+ m，m0的真子集，1mQ所以1+存10或1+m10,解得 mA9.所以实数 m 的取值范围为m|m 9.答案m|m9(或9，+)母题探究：1本例中“ p 是 q 的充分不必要条件”改为“ p 是 q 的必要不充 分条件”，其他条件不变，试求 m 的取值范围.解由 x? 8x20w0 得一 2wxw10，由 x? 2x + 1 m?w0(m0)得 1 mwxw1+m(m0)因为 p 是 q 的

14、必要不充分条件，所以 q? p，且 pWqu则x|1mwxw1+m，m0宁x|2wxw101一m2所以1+mw10，解得 0mw3.即 m 的取值范围是(0,3.2.若本例题改为：已知 P= x|a 4xa + 4，Q= x|1x3，“x P”是 “x Q”的必要条件，求实数 a 的取值范围.解因为“x P”是 x Q 的必要条件，所以 Q? P.a4w1所以a+4A3解得一 1waw5即 a 的取值范围是 1,5.规律方法利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围化简 p、q 两命题,(2) 根据 p 与 q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3) 利用集合间的关系建立不

15、等关系，(4) 求解参数范围.当堂达标固双基1. “ x 匸 yi” 是“x=y的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 若 x= 1, y= 1,则 |x|= |y|,但XMy;若 x= y,则 |x|= |y|,故选 B.2. “x2 4x 5= 0” 是“ x= 5” 的()A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B 由 x2 4x 5 = 0 得 x= 5 或 x= 1,则当 x= 5 时，x2 4x 5 = 0 成立， 但 x2 4x 5= 0 时，x= 5 不一定成立，故选 B.23. 下列条件中，是 x4 的必要不充分条件是()A. 2x 2 B . 2x0C. 0 x2D . 1x3A 由 x24 得一 2x2，必要不充分条件的 x 的范围真包含x| 2x0”的充分不必要条件，贝 U m 的取值范围 是_.(X,1由(x1)(x2)0 可得 x2 或 xv1,由已知条件，知x|xvm x|x2 或 xv1, m0,所以方程 x2+ mx+ 1 = 0 有实根，设两根为 X1, X2,由根与系数的关系知，X1x2= 10,所以 X1, X2同号.又 xi+ X2= mW20,m2或mW 2,