数学思想方法（整体思想、转化思想、分类讨论思想）（一）

1、专题知识突破五 数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华

2、，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 （2014德州）

3、如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是 1思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例2 （2014潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“

4、枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺思路分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，

5、它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏例3 （2014潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20x220时，车流速度v是车流密度x的一次函数（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小

6、时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度求大桥上车流量y的最大值 思路分析：（1）当20x220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当x20和20x220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论四、中考真题演练一、选择题1（2014威海）已知x22=y，则x（x3y）+y（3x1）2的值是（）A2B0C2D42（20

7、14临沂）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（）A2 B4C8D163（2014济南）如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把AOB沿直线AB翻折后得到AOB，则点O的坐标是（）A BCD4（2014青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A4B C4.5D55（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ，则 的值为（）A16B17C18D196（2014临沂）在平面直角坐标系中，函数 （x0）的图象为 ，关于原点对称的图象为 ，则直线y=a（a为常数）与

8、的交点共有（）A1个B1个或2个C1个或2个或3个D1个或2个或3个或4个7（2014天门）已知m，n是方程x2x1=0的两实数根，则 的值为（）A1B CD18（2014东营）如图，已知扇形的圆心角为60°，半径为 ，则图中弓形的面积为（）A B CD二、填空题9（2014枣庄）已知x、y是二元一次方程组的解，则代数式 的值为为 10（2014枣庄）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 5 11（2014江西）若、是方程 的两个实数根，则 = 8或2 12（2014吉林）若ab，且a，b为连续正整数，则 = 13（2014青岛）如图，在等腰

9、梯形ABCD中，AD=2，BCD=60°，对角线AC平分BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 14（2014东营）若函数 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为 15（2014烟台）如图，AOB=45°，点 在OA上， ， 的半径为2，点 在射线OB上运动，且始终与OA相切，当和相切时，的半径等于 （0，2），（0，-2），（-3，0），（3，0）16（2014济南）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到ABC，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移

10、动的距离AA等于 ，0）17（2014济南）如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B若 ，则k的值为 18（2014东营）在O中，AB是O的直径，AB=8cm， ，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 cm5三、解答题192014台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t

11、（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入经营总成本）求w关于x的函数关系式；若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润20（2014德州）问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF

12、=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50&#

13、176;的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离21（2014潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB22（2014义乌市）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每

14、件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1x7，且x为整数）之间的函数关系如下表：月份x1234567成本（元/件）565860626466688至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8x12，且x为整数）（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1x7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=0.1x+3（

15、8x12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润23（2014宿迁）如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：DHF=DEF24. （2014宿迁）如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置

16、时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由25. （2014北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1（1）分别判断函数 y=（x0）和y=x+1（4x2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=x+1（axb，ba）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数 （1xm，m0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足t1？专题五 数

17、学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）【重点考点例析】考点一：整体思想例1 解：连接ADABC是正三角形，BD=CD=2，BAC=B=C=60°，ADBCAD= 阴影部分的面积=×2×3× 故答案为： 考点二：转化思想例2.解：如图：解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为 故答案为25考点三：分类讨论思想例3 解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得 ，解得： ，当20x220时，v=x+88，当x=100时，v=×100+88=48（千

18、米/小时）；（2）由题意，得 ，解得：70x120应控制大桥上的车流密度在70x120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当0x20时y=80x，k=800，y随x的增大而增大，x=20时，y最大=1600；当20x220时y=（x+88）x=（x110）2+4840，当x=110时，y最大=484048401600，当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时【备考真题过关】一、选择题1答案：B2答案：B3答案：A4答案：A5答案：B6答案：C7答案：A8答案：C二、填空题9答案： 10答案：411答案：1012答案：713答案： 14答案：m=±

19、;2或m=015答案：3或15°16答案：4或817. 答案：618. 答案：8三、解答题19. 答案：解：（1）当2x8时，如图，设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得： ，解得 ，y=x+14；当x8时，y=6A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y= （2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20x）吨当2x8时，wA=x（x+14）x= ；wB=9（20x）12+3（20x）=1086xw=wA+wB3×20=（x2+13x）+（1086x）60= ；当x8时，wA=6xx=5x；wB=9（20x）12+3（20x）=1

20、086xw=wA+wB3×20=（5x）+（1086x）60=x+48w关于x的函数关系式为：w= 当2x8时， ，解得x1=9，x2=2，均不合题意；当x8时，x+48=30，解得x=18当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（mx）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为12+3（mx）万元，3m+x+12+3（mx）=132，化简得：x=3m60当2x8时，wA=x（x+14）x= ；wB=9（mx）12+3（mx）=6m6x12w=wA+wB3×m=（

21、）+（6m6x12）3m= 将3m=x+60代入得：w= 当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=，mx= ；当x8时，wA=6xx=5x；wB=9（mx）12+3（mx）=6m6x12w=wA+wB3×m=（5x）+（6m6x12）3m=x+3m12将3m=x+60代入得：w=48当x8时，有最大毛利润48万元综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元20. 答案：解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG

22、=180°，B=ADG，在ABE和ADG中， ，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中， ，AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30°+90°+（90°70°）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°30°）+（70°+50

23、°）=180°，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里21答案：解：过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F，ABCD，AEF=EFB=ABF=90°，四边形ABFE为矩形AB=EF，AE=BF由题意可知：AE=BF=1100200=900米，CD=1.99×104米=19900米在RtAEC中，C=60°，AE=900米CE= （米） 在RtBFD中，BDF=45°，BF=900米DF= （米）AB=EF=CD+DFCE

24、=19900+300900=19000+300（米）  答：两海岛间的距离AB为（19000+300）米 22答案：解：（1）由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数设y1=kx+b    则解得： ，经检验其它各点都符合该解析式， （1x7，且x为整数）（2）设去年第x月的利润为w万元当1x7，且x为整数时， =（0.1x+1.1）（922x54）= ，当x=4时，w最大=45万元；                         当8x12，且x为整数时，当x=8时，w最大=48.4万元该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元23答案：证明：（1）点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，DE、EF都是ABC的中位线，EFAB，DEAC，四边形ADEF是平行四边形；（2）四边形ADEF是平行四边形，DEF=BAC，D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，DH=AD，FH=AF，DAH=DHA，FAH=FHA，DAH+FAH=BAC，DHA+FHA=DHF，D