振动理论总结报告

1、振动理论总结报告第一章 概述振动的研究定义 广义振动：如果表征一种运动的物理量作关于时间的时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 机械振动：在广义振动的前提下，若变化着的物理量是一些机械量或者力学量，例如物体的位移、速度、加速度、应力、应变等，这种振动边称为机械振动。振动研究的问题 （1）振动隔离 （2）在线控制 （3）工具开发 （4）动态性能分析 （5）模态分析 按振动输入、振动系统、输出，可以把振动问题分为以下三类 （1）振动分析 （2）振动环境预测 （3）系统识别振动的分类 （1）按系统输入类型分类：自由振动、受迫振动、自激振动、参数振动 （2）按描述系统的微分方程分类：线

2、性振动与非线性振动 （3）按系统的自由度分：单自由度系统振动、多自由度系统振动、无限自由度系统振动 （4）按系统输出的振动规律分类：周期振动、非周期振动、随机振动振动研究的基本方法 （1）建立系统的力学模型：确定振动的激励、质量、弹性和阻尼这四大要素。 （2）建立运动方程：对系统进行受力分析，用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理建立运动微分方程。 （3）求解方程，得到响应规律简谐振动 定义：简谐振动是指机械系统的某个物理量（位移、速度、加速度）按时间的正弦（或者余弦）函数规律变化的振动。 简谐振动的表示方法：函数表示法、旋转矢量表示法、复数表示法 简谐振动的合成：三角函数法、复数法、旋转矢量法第二章

3、 单自由度系统的振动单自由度参数的确定 单自由度振系需要确定质量参数、刚度参数、和阻尼参数 等效刚度：对参考点施加广义力 时产生的广义位移 ，则刚度可表示为： ，其中组合弹簧系统可通过串联和并联求，对于复杂系统可以用能量法 等效质量：在实际系统较复杂时，用能量法确定等效质量 等效粘性阻尼：根据振动在一个周期中实际阻尼所耗散的能量等于粘性阻尼所耗散的能量的关系，确定出等效粘性阻尼。Fkx振动微分方程的建立 方法一：A、建立力学模型 B、取隔离体 C、进行受力分析 D、建立牛顿第二定律建立微分方程 方法二：能量法()0TUdTUdt常数单自由度无阻尼自由振动 微分方程简化为： 20 xp xcos

4、sinxaptbpt00cossinsin()xxxptptAptp000,txxxx时，初始条件固有频率的求法 1、根据固有频率的定义来求 2、根据等效质量和等效刚度来求 3、应用能量法来求有阻尼自由振动运动微分方程0mxcxkx0ckxxxmm2222(1)(1)121112()ttppppptptptxC eC eeC eC e2cnm2kpmnp有阻尼自由振动结论 1、当1，称为过阻尼，它所表示的运动是按指数规律衰减的非周期蠕动。有阻尼自由振动结论 1、当=1 ，称为临界阻尼，这个方程表示的运动是非周期性的，根据不用的初始条件确定常数 和 后，可知运动是按指数规律衰减的有阻尼自由振动结

5、论 1、当1 ，称为弱阻尼，有阻尼时系统的自由振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线 之内，并随时间作按指数衰减的振动。当 时， ，即振动最终将完全消失。单自由度振系的强迫振动 建立微分方程( )mxcxkxf t0( )sinf tFt22sinxpxp xqt1sin()ptxAept02222sin()(1)(2)Xxt通解，表示瞬态振动特解，表示稳态振动单自由度振系的强迫振动结论 1、当0时，1，而与阻尼无关。这意味着，当激振力接近0时，振幅与静位移相近。 2、当 时，0，这意味着激振频率很高时，质量跟不上力的变化，将停在平衡位置。 3、当=1时，振幅趋于无穷大，这种现象叫做

6、共振。此时的频率为共振频率。强迫振动的复数求解法 定义频率响应函数为复数响应与复数激振力之比为( )( )( )cx tHf t频率响应函数为系统的特性，单自由度系统2211( )( )12jkHHekmici强迫振动的复数求解法0( )sincf tFt()0( )( )itcx tF He()0()( )i tcx tF He 支座简谐运动引起的强迫振动 振动微分方程ssmxcxkxkxcx求出频率响应函数2222( )2pipHpip 2()22222221 (2)( )( )( )(1)(2)1 (2)sin()(1)(2)itsx tHx taeat一般性周期激励的强迫振动 对这些不

7、同频率的简谐激励，求出各自的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各响应叠加起来而求得一半周期干扰力作用下的总响应。22221cos()sin()2(1)(2)jijijaj tbj taxkkjj 。j=1+cos()sin()2jjamxcxkxaj tbj t。傅里叶变换任意激励下的响应 1、杜哈美积分法在系统上作用脉冲函数，求相当于在系统施加速度01xm/1( )( )sinpth tx tep tmp得到系统响应杜哈美积分法01( )( )sin()tx tfp tdmp任意激励下的响应 2、傅式积分法1( )( )2i tf tFed( )( )i tFf t edt1( )( )2i

8、 tx tXed( )( )i tXx t edt( )( ) ( )XHF任意激励下的响应 3、拉式变换法0( )( )stL x tx t edt2( )( )( )( )( )L f tF sZ smscskL x tF s( )( ) ( )X sG s F s 1x tLX s称为传递函数( )G s激励脉冲函数响应激励傅式变换频响函数响应傅式变换激励拉式变换传递函数响应拉式变换系统动态特性简谐激励频响函数简谐响应第三章 二自由度系统的振动微分方程的建立1 1121221212212221232212322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xf tm xc x

9、cc xk xkk xf tMX+CX+KX=F(t)方程之间存在耦合二自由度振系的自由振动2312221122kkkkkkdmmmm令 a=， b=， c， ， 1122sin()sin()xAptxApt221,22()2222adadpadbcadadbc221112111222222122ppppAacAbdAacAbd 振幅比确定了系统的振动形态，因此，称为主振型。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性质，而与初始条件无关。二自由度振系的自由振动111121111122222122211122221111121222sin()sin()sin()sin()sin()sin()

10、xxxAptAp txxxAptAp tAptAp t110220110220,xxxxxxxx22210201121020121221102012110202121210201210202110201110201()1()()arctan()arctanxxAxxpxxAxxppxxxxpxxxx汽车二自由度无阻尼振动 1、 以质心点c（ x, ）为 广 义坐标，惯性项不耦合，弹性项耦合 2、以c1点的垂向位移x和绕质心轴的转角为广义坐标，惯力项耦合，弹性力不耦合 3、采用前后悬挂点的垂向位移（x1，x2）为坐标，既有惯性力耦合，又有弹性力耦合 当方程满足 的关系是，两微分方程解耦。 21

11、21cl l二自由度有阻尼的自由振动111122122122322322220000 xxxccckkkmccckkkmxxx 1212111122221111122222ecos()ecos()ecos()ecos()ttttxBp tBp txBp tBp t1122eettxAxA设解的形式为二自由度强迫振动 和前面相同的解法21211222122222()sinsin()()()sinsin()()dqbqxBttadbccqaqxBttadbc22122112()()BcqaqBdqbq两质量的振幅比 在一定幅值和频率的激振力作用下，系统振幅比同样也是确定值，也就是说，系统有一定的振

12、型。同时，系统在任何一个共振频率下，振型就是相应的主振型。叠加法求系统响应 由于振动系统是线性振动系统，因此，可以利用叠加法，即把二自由度系统视为双输入、双输出系统，用频率响应函数法求解系统的振动响应，即可得系统强迫振动的解。 m1 和m2上分别单独作用单位谐波激振力 ，分别求出频率响应函数，然后将两者叠加，得到系统在两个激振力下的总的响应路面激励下的强迫振动 采用叠加法求系统响应 1、求出m1、m2的频率响应函数 2、对激励傅式变换 3、求出响应的傅式变换 4、求出响应的傅式逆变换，得到时域解第四章 多自由度系统的振动多自由系统运动微分方程建立 1、直接法 2、拉格朗日法 3、影响系数法，包

13、括刚度矩阵影响系数、质量矩阵影响系数、柔度矩阵影响系数的求法。其中柔度矩阵对应位移矩阵，对于一个振动系统，刚度矩阵一定存在，但位移矩阵不一定存在。无阻尼多自由度振动系统的模态分析 用来描述振动系统的广义坐标是任意选取的，但是选择的广义坐标不同，得出的运动微分方程就不同，方程的耦合情况就不同。运动微分方程可能存在弹性耦合和惯性耦合。 进行坐标变换， ，得到1niipiXq AA QM( )ppA QKA Qp tpMpPQK QP PP为广义坐标Q下的广义激振力，Mp和Kp为广义坐标Q下的质量矩阵和刚度矩阵。变换之后，并没有改变系统性质，但是改变了耦合状况。无阻尼多自由度振动系统的模态分析 1、

14、主振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都有正交性。因此，如果以主模态组成的模态矩阵作为坐标变换矩阵，可以使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化。 2、由于主振型不唯一，则主坐标也不唯一。为了应用方便，实际采用能够使模态质量矩阵正则化为单位矩阵的坐标变换矩阵进行坐标变换。 3、以正则模态矩阵作为坐标变换矩阵进行坐标变换，得到的模态方程为正则形式，主坐标为正则坐标 QN。对应于正则坐标的广义质量阵为单位矩阵，正则坐标下的广义刚度矩阵为由特征值组成的对角矩阵。无阻尼多自由度系统的响应计算 1、求出模态质量，模态矩阵，模态坐标的广义激振力 2、解耦的方程进行求解，得到模态坐标下的响应 3、进行坐标变换变换到物理坐标X

15、下，得到初始条件下的响应 注：当激励为任意激励时，同样，进行坐标变换到模态坐标下，由给定的初始条件，得到模态条件下的初始条件，再根据杜哈梅积分，就可以得到模态坐标下的响应。将其进行坐标变换，得到初始条件下的物理坐标下的响应。 有阻尼多自由度系统的实模态分析 假设阻尼能表示成 1、坐标变换，求出求出模态质量，模态刚度，模态阻尼，模态坐标的广义激振力 2、对解耦方程按求解有阻尼单自由度方程求解，得到模态坐标下的响应 3、进行坐标变换变换到物理坐标X下，得到初始条件下的响应。 对于非简谐的周期振动，可以将激振力展开为傅立叶级数，在计算，后叠加，即可。 CMK有阻尼系统的复模态分析 当阻尼不能表示为质

16、量和刚度的线性关系时，此时不能用实模态分析，可以用复模态分。 两种方法: 1、状态空间方法 2、拉氏变换法有阻尼系统的复模态分析 状态空间法 1、对微分方程进行形式上的改写 。 2、对以上方程求解，得到复特征值、复特征向量和复模态矩阵。 3、由于复特征向量对系数矩阵A、B都具有正交性，可以以复模态矩阵作为变换矩阵进行坐标变换。 4、在进行坐标变换，得到物理坐标下的响应。0AYBY第六章 连续系统振动分析概念 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用

17、时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。弦的横向振动 对微段进行分析22()umdxTdxTtx22222uuctx1( , )(sin)(sincos)iiiiii xu x tctdtl边界条件初始条件杆的纵向振动22()uPdmPdxPtx22()uPdmPdxPtx确定初始条件，解方程可以得到振动最终解梁的横向振动确定初始条件，解方程可以得到振动最终解242240uuatx 对梁微段受力分析，并考虑相关材料力学的关系，建立运动方程第八章 随机振动随机振动概述概述总体平均与平稳随机过程 总体平均：是在各样本函数之间进行的，即是各

18、样本函数在某时刻的取值的平均值。 总体均值： 自相关函数： 平稳随机过程：一随机过程的总体均值和自相关函数一般与时刻有关，这表明此过程的统计特性是随时间变化的，这种过程称为“非平稳的”。如果随机过程的一、二阶平均值均与时刻无关，则称为（弱）平稳随机过程。平稳随机过程的均值是常数。11( )( )lim( )nxikikinktE x tx tn11( ,)( )()lim( )()nxiikikikikinkR t tE x t x tx t x tn时间平均与各态历经随机过程01( )( )lim( )TxkkTkx tx t dtT时间均值时间自相关函数01( , )( )()lim( )()TxkkkkTR kx t x tx